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5.3正方形(第1课时)选择题1.下列说法不正确的是()A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形2.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为()A.90°B.60°C.45°D.30°3.如图,边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是()A.2m+3B.2m+6C.m+3D.m+64.如图,AC,BD是矩形ABCD的对角线,过点D作DE∥AC交BC的延长线于E,则图中与△ABC全等的三角形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个填空题5.如图,已知正方形ABCD,以AB为边向正方形外作等边三角形ABE,连结DE,CE,则∠DEC=_______.6.如图,已知矩形ABCD沿对角线BD折叠,记点C的对应点为C′,若∠ADC′=20°,则∠BDC的度数为________.7.如图,E是正方形ABCD内一点,如果△ABE是等边三角形,那么∠DCE=________,如果DE的延长线交BC于G,则∠BEG=_______________. 三、解答题8.在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置,连接DE,BH两线交于点M.求证:(1)BH=DE;(2)BH⊥DE.9.在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.⑴试说明:DE=DF.⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)10.如图,四边形ABCD是正方形,G是BC上任意一点(点G与B、C不重合),AE⊥DG于E,CF∥AE交DG于F.求证:AE=FC+EF.11.已知:如图,矩形ABCD的外角平分线围成四边形EFGH.求证:四边形EFGH是正方形.12.AC为正方形ABCD的对角线,E为AC上一点,且AB=AE,EF垂直AC交BC于F,求证:EC=EF=FB.13.如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由.
参考答案一、选择题1.D2.C3.A 4.D【解析】根据矩形的性质,△CDA,△BAD,△DCB与△ABC全等,因为DE∥AC,所以∠CDE=∠DCA,因为CD=DC,∠ADC=∠ECD,所以△ADC≌△ECD,所以与△ABC全等的三角形有4个,故选择D.二、填空题5.30°【解析】△ABE为等边三角形∠BAE=60°,∠DAE=150°,△ABE为等腰三角形,∠AED=15°同理∠BEC=15°所以∠DEC=30°.6.55°【解析】本题考查矩形的性质和折叠全等的问题,设∠BDC=x°,则∠ADB=(90-x)°,∴x=90-x+20,∴x=55°.7.∠EDC=150∠BEG=450【解析】∵△ABE是等边三角形,∴∠ABE=∠AEB=60°,BE=AB,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∴BE=BC,∠CBE=90-60°=30°,∴∠BCE=∠BEC=(180°-30°)=75°,∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-75°=15°;由对称性可得∠AED=∠BEC=75°,∴∠BEG=180°-∠AED-∠AEB=180°-75°-60°=45°. 三、解答题8.证明:(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中,BC=CD,CE=CH,∠BCD=∠ECH=90°,∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH,即∠BCH=∠DCE,∴△BCH≌△DCE,∴BH=DE(2)由(1)得,∠CBH=∠CDE,∴∠DMB=∠BCD=90°,∴BH⊥DE9.证明:⑴连结AD,∵AB=AC,D为BC的中点∴AD为∠BAC的平分线.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.⑵∠BAC=90°,DE⊥DF.10.解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=90°,又∵AE⊥DG,CF∥AE,∴∠AED=∠DFC=90°,∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°,∴∠EAD=∠FDC,∴△AED≌△DFC(AAS),∴AE=DF,ED=FC,∵DF=DE+EF,∴AE=FC+EF.11.解:由△EAB与△GCD、△FBC与△HAD是两对全等的等腰直角三角形,推得EA+AH=EB+BF=GC+FC=GD+DH,即EH=EF=GF=GH.∴四边形EFGH是菱形.又∵∠E=90°,∴四边形EFGH是正方形.12、证明:在Rt△AEF和Rt△ABF中,AE=AB,AF=AF,∴Rt△AEF≌Rt△ABF(HL),∴FE=FB.∵正方形ABCD,∴∠ACB=45°,在Rt△CEF中,∵∠ACB=45°,∴∠CFE=45°,∴∠ACB=∠CFE,∴EC=EF,∴FB=EC.13.解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下:(1)∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°(正方形的四条边都相等,四个角都是直角)∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°∴∠BC
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