2023年湖南省益阳市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年湖南省益阳市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.

第15题过P(4,8)作圆x2+y2-2x-4y-20=0的割线,所得弦长为8,则此

割线所在直线方程为()

A.3x-4y+20=0或y=8

B.3x-4y+20=0或x=4

C.3x+4y-44=0或x=4

D.4x-3y+8=0或x=4

2.函数''3/(x£R)的值域为

A.y>0B.y<0C.O<y<lD.y<l

3.下列四组中的函数f(x),g(x)表示同一函数的是()

A.A.

B.

C.Kx)=x1,«(*)=(4)'

D.

4以相圈；；：一।I一任点、(长轴两端除外，和两个焦点为顶点的二维形的周长等广

()

A.A.6+245B.6+2由3C.4+2#D.4+2^13

5.函数Zb)•/♦.♦3x-9.巳知/(*)在*=-3时取神履值，则。・A.2B.3C,4D,5

6.若直线mx+y-l=O与直线4x+2y+l=0平行，则m=()

A.-lB,0C,2D.1

(8)已知双数==-3-4i.划:的虚部为

(A)f(B)fi<C)S⑺去

8.设集合M={x|xN-3},N={x|x<l},则MnN=()

A.RB.(-oo,-3]u[l,+oo)C.[—3,1]D.(p

已知点P(8ina-coktana)在第一象限，则在［0,2ir)内a的取值范围是()

⑴(睛M啕⑻信孙(周

9(C)信岑M竽李)⑼信片)口传可

10.已知平面a、氏7两两垂直，它们三条交线的公共点为。过O弓［-条

射线OP,若OP与三条交线中的两条所成的角都是60。，则OP与第三

条交线所成的角为()

A.30°B.45°C.60°D.不确定

U在中.含『项的系数是()

A.A.lB.-1C.252D.-252

12.a£(0,兀/2),sina,a,tana的大小顺序是()

A.tana>sina>aB.tana>a>sinaC.a>tana>sinaD.sina>tana>a

13.如果实数n,6满足cb=100,则矿+62的最小值为()

A.A.400B.200C.100D.50

14.函数》=《尸+1的值域是()

A.A.(0,+oo)B.(-oo,+oo)C.(l,+°o)D.[l,+co)

(13)若(1+4)"展开式中的第一、二项系数之和为6.则n=

(A)5(B)6

15.(C)7(D)8

16.函数y=2x的图像与函数y=log2X的图像关于()

A.A.x轴对称B.y轴对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称

17.已知正三极柱的底面积等于6,借面积等于30,用此正三枪柱的体枳为

A24

B.5招

CIO后

D.15^3

18.直线AX+BY+C=O通过第一、二、三象限时，（）

A.A.AB<0,BC<0

B.AB>0,BOO

C.A=0,BC<0

D.C=0,AB>0

19,函数/（N）=1。卬是

A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数

20.命题甲：A=B;命题乙：sinA=sinB则（）

A.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

B.甲是乙的充要条件

C.甲是乙的必要条件，但不是充分条件

D.甲是乙的充分条件，但不是必要条件

在等比数列Ia」中,已知对任意正整数*%+%+…+a.=2*-1,则a：4

21.M+•••+&=

AA(2—/

B.

c"-1

'(4'-n

D.,

22.i25+i15+i40+i80=()

A.lB.-lC,-2D.2

(11)向量a=(1,2)/=(-2,1),则。与b的夹角为

(A)30°(B)45°

(C)60°(1))90°

24.函数：y=x?-2x-3的图像与直线y=x+l交于A,B两点,则|AB|=()。

A2屈

B.4

C.734

D.-

25.曲找/■/・z+y-l・0关于■线成轴对你的曲线的方程为

A.x1♦1*0B./r-y+l*0

C.*'=0D.』-1«0

26.函数y=x，+x+4在点(-1,4)处的切线的斜率为()

A.-lB.-2C.4D.9

27.设集合M={1,2,3,4,5},N={2,4,6},则MAN=()。

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{1,3,5)D.{1,2,3,4,5,6)

28.方程2sin2x=x-3的解()

A.有1个B.有2个C.有3个D.有4个

双曲线总tMI的渐近战方程为

30.已知全集U=R,A={x|x>l},B={x卜lVx52}贝!|°AUB=()

A.{x|x<2}B.{x<2}C.{x|-1<x<2}D.{x|-1<x<l}

二、填空题(20题)

豕过圆X2+/=25上一点M(-3,4)作该08的切线，则此切线方程为

《+£=1

32.已知椭圆2'上一点p到椭圆的一个焦点的距离为3,则点P

到另一焦点的距离为

33.已知A(，,」)B(3,7)两点，则线段AB的垂直平分线方程为

34.设正三角形的一个顶点在原点，且关于x轴对称，另外两个顶点在

抛物线V=2"才上，则此三角形的边长为.

35.

设-sinx,则=___.

36.过点(2,D且与直线y=*+1垂直的直线的方程为

37.

已知tana—cota=l,那么tan2a+cot2a=,tan3a——

cot3a=

-log/(x+2)

38.函数27+3的定义域为

39.椭圆的中心在原点，-个顶点和一个焦点分别是直线x+3y-6=0与两坐

标轴的交点，则此椭圆的标准方程为.

(2)9111++4*+。,？+•••，<|)■中・&>・・■2。.,那么(1+1尸的展开式

40.中•中间内项依次&

已知球的半径为1，它的一个小圆的面积是这个球表面积的右，则球心到这个小

41.圆所在的平面的距离是___

42.曲线y=x2-ex+l在点(0,0)处的切线方程为。

43.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

44.

若二次函数/(x)=or?+2］的最小值为一；，则a=•

曲线y=/+31+4在点(_1,2)处的切线方程为

45.------------,

46数(i+i'+i'Xl-i)的实部为.

47.

若5条鱼的平均质量为0.8kg,其中3条的质量分别为0.75kg,0.83kg和

0.78kg,则其余2条的平均质量为kg.

48.

已知平面向量a=(L2),b=(—2,3),2a+3b=.

x1-2x+1

49X

50.从一批相同型号的钢管中抽取5根，测其内径，得到如下样本数据

（单位：mm）:

110.8,109.4,111.2,109.5,109.1,

则该样本的方差为mu?。

三、简答题(10题)

51.

(本小题满分12分)

已知参数方程

'x-+e-1)co»d,

y=—e'1)sind.

(I)若，为不等于零的常量,方程表示什么曲线？

(2)若趴8~~.kwN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点•

52.

(本小题满分13分)

巳知函数/(x)=工-2忘

(I)求函数y=/(工)的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数;

(2)求函数y=/(x)在区间［0,4］上的最大值和最小值.

53.

(本小题满分13分)

已知圈的方程为一+/+ax+2y+/=0,一定点为4(1,2).要使其过定点4(1,2)

作圆的切线有两条.求a的取值范围.

54.

（本小题满分12分）

在（a%+l）7的展开式中,%3的系数是％2的系数与％4的系数的等差中项，

若实数a>l,求a的值.

55.（本小题满分13分）

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

56.

（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为净，且该椭例与双曲线=1焦点相同♦求椭圆的标准

和鹿线方程.

57.（本小题满分13分）

从地面上A点处测山顶的仰角为«,沿A至山底直线前行«米到B点

处，又测得山顶的仰角为B，求山高.

58.（本小题满分12分）

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

59.（本小题满分12分）

在AAHC中.AB=8=45°.C=60。.求人C.BC.

60.（本小题满分12分）

设数列满足5=2,az=3a.-2（"为正■数），

a।~I

⑴求六T；

a,-1

（2）求数列ia.l的通项•

四、解答题（10题）

61.

已知个圆的圆心为双曲线f一g=1的右焦点,且此蚓过原点*

（r）求该网的方程；

c"）求直线\一显被该网截得的弦K.

62.已知椭圆的短轴长是4,中心与抛物线y2=4x的顶点重合，一个焦

点与抛物线的焦点重合.求：

（I）椭圆的标准方程；

（II）椭圆的准线方程.

63.甲2010年初向银行贷款10万元，年利率5%（按复利计算（即本

年利息计入次年的本金生息）），若这笔贷款分10次等额归还，从

2011年初归还x万元，设2011年、2012年...2020年的欠款分别为

肉色必、…"试求出妣必、&,推测ai0并由此算出*的近似

值（精确到元）

设数列51满足5=2,4“=3a.-2（n为正整数）.

⑴求也

«,-1

（2）求数列|a.｝的通项.

65.海关缉私船在A处发现一只走私船在它的北偏东54。的方向，相距

15海里的B处向正北方向行驶，若缉私船的时速是走私船时速的2倍，

（I）问缉私船应取什么方向前进才能追上走私船；

（H）此时走私船已行驶了多少海里.

66.设函数f(x)是一次函数，f(8)=15,且f(2),f(5),f(14)成等比数列.

(I)求f(x);

(H)求f(l)+f⑵+...+f(50).

67.

已知『(-3.4)为■♦£,|(・>5>0)上的一个点,且/»与两焦点品，%的连

纹垂直,求此■■方程.

68.

(本小题满分12分)

已知函数f(X)=x3+x2-5x-l。求：

(l)f(x)的单调区间；

(2)f(x)零点的个数。

69.设椭圆的焦点为储(一方,。)田(⑸。)洪轴长为4

(I)求椭圆的方程；

V3

(II)设直线、'=丁"+巾与椭圆有两个不同的交点，其中一个交点的坐

标是(0,1),求另一个交点的坐标。

70.

已知回的方程为一♦/♦3*2y♦/=(),一定点为4(1.2),要使其过定点4(1.2)

作NI的切线有两条，求a的取值范圉.

五、单选题(2题)

71.过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为()

A.x/5+y/5=lB.x/5+y/5=l或y=3/2xC.x+y=5D.y-3=3/2(x-2)

72.

第10题设z=[sin(2n/3)+icos(2n/3)]2,i是虚数单位,则argz等于()

A.TT/3B.2TT/3C.4TT/3D.5n/3

六、单选题(1题)

73.设OVaVb,贝！|()

A.l/a<1/b

B.a3>b3

CJog2a>log2b

D.3a<3b

参考答案

l.B

2.A

利用指数函数的性质，参照图像(如图)

6题答案图

\r,jr>0

|x|=<0,x=0■

、一nVO

⑴当工>0时,(})g=(y)'<l.

⑵当/<0时,([")"=(十)X=3T<1.

(3)当7=0时，()=1.

、O

所以0<y小于等于1，注意等号是否成立

3.D

4.A

由椭圆方畤+誉=1可知d=9/=4,则c=4rz.

则椭圆上任一点（长轴两端除外）和两个焦点为以点的二角形的周氏等」

2a+勿=6+21.（答案为A）

91物:如题，（*）=3/+20«+3.剜*，・-3时八,）・。.带人储将"5

6.C两直线平行斜率相等，故有-m=-2,即m=2.

7.C

8.C

9.B

10.B将a、0、7看成是长方体中有公共点的三个面，OP看成是长方体

的对角线.

11.D

77+1•（/）"-'*（一=<-l）r•Q令20—3厂=5,得厂=5,

所以九《一》•CW=~252xi.（答案为D）

12.B

4W,又•・•A但舄二;：：：*。上才—

13.B

14.C

弓尸>0.尸弓尸+1>1.二其值域为（I.+8）.（答案为C）

15.A

16.D

y=2x与y=log2X互为反函数，故它们的图象关于y=x对称.（答案

为D）

17.B

设正三段柱的底面的边长为a,底面积为十a•*73.得a=2.

设正三检柱的高为A,侧面积为3XaX/i=3X2XA=3O.得/|=5.

则此正三棱柱的体积为底面积X高=5△（答案为B）

18.A

19.A

A【解析】函散定义城为（-8.一DUS，

+8），且/（X）+/<-x）-log,江j+

log,胃m=。,所以八一八・一八工）.因此

人公为奇滴数.

本题考查函数的奇偶性及对数函数的性质.验证函数的奇偶性时应注意

函数的定义域.本题利用f（-x）=-f（x）也可求出答案.

20.D

【!(析】A~B=>sinA厂smB,但sinA=sin8

21.A

22.Di25+i15+i40+i80==i+i3+l+l=2.

23.D

24.D

本题考查了平面内两点间的距离公式的知识点。

Jy=/_2工―3,产=一1,

由£=工+1得1=o

Jx=4,

或\,=5即A(-l,0),B(4,5),则|AB|=

y(-1-4)2+(0-5)2=572.

25.A

A候析:葛求ar■蛾美千百找*附体的u蛾.■（应WK上*礼&的.标（人力算化为仃,即将

原*境中的■校亶，.，接力，放速工

26.A

A,v'-2r].所以如=?-1；+1—―J.

【分析】导数的兄M意义是本题考查的¥段内容.

27.A该小题主要考查的知识点为交集.【考试指导】MAN={2,4}.

28.C

通常三角方程的解法有解析法，还有图像解法.这个方程的解就是函

数：y=2sin2x和函数y=x-3的值相同的时候，自变量x的值，解的个

数就是交点的个数(如图).

29.C

30.B

补集运算应明确知道是否包括端点。A在U中的补集是x<l,如图

1题答案图

VCGA=U|X<1}.

CuAUB

=U|x<l}U{x|-1<JC2}

={x|x<2}.

3x♦25=0

32.答案：7解析：由椭圆定义知，P到两焦点的距离为

2a,a=5,2a=10,d=2a-3=10-3=7

33.答案：x+2y-7=0解析：设线段的垂直平分线上任一点为p(x,y)

则|尸A|=|PB|.即

=-3)2+(y—7)：.

整或存，X+2、­7=0.

34.答案:12

解析：

设A（zo，y5）为正三角形的一个顶

点且在工轴上方，OA=m,

oJ

则Xo=mcos30°=»-加,y>=msin30°=攵-m，

可见A谆加，与）在抛物线丁=2/力上，从而

乙乙

（今*）2=2X^^-zn»m=12.

35.

丁0-sinr-CORT.（答案为~siru*co&r）

36「+7=。

37.

38.

【答案】5-2V工4-1,且£#一号

flog|<x+2>>0

«*+2>0"”-2

3.

,2x+3#O[k一■2

=>-2O4-I•且工#--1*

"1。M(工+2)

所以函敷,=2；+3网定义圾是

(x|-2<x<-l»Ax#-y).

39.x2/40+y2/4=l或y2/40+x2/36=l原直线方程可化为x/6+y/2=l,交点(6,0),

(0,2).当点(6,0)是椭圆一个焦点，点(0,2)是椭圆一个顶点时，c=6,b=2,

22

a2=40^x/40+y/4=l当点(0,2)是椭圆一个焦点，(6,0)是椭圆一个顶点时，

c=2,b=6,a2=40^y2/40+x2/36=l

40.

g

41.3

42.

x+y=0

本题考查了导数的几何意义的知识点。根据导数的几何意义，曲线在

k=y=—1.

(0,0)处的切线斜率-，贝悯线方程为y-0=-L(x-

0),化简得:x+y=0o

43.

【答案】警“'

V31_V3z

224”

由题意知正三校他的他校长为掾a

•••冷）;（岁号）。.

；"=Jf=ga.

和・某=知.

44.【答案】3

【解析】该小题主要考查的知识点为二次函数的最小值.

【考试指导】

由于二次函数/（x）="?十2］有支

2

4aX0—2IfQ

小值，故a>0.故-----；----------z-=>a=3.

4a3

45.

y=x+3

【解析】该小题主要考查的知识点为切线方程.

【考试指导】

5*=>+3工+4=>y=2工+3,

y'liTN1,故曲线在点（一1,2）处的切线方程为

y-2=z+l,即y=N+3.

46.

47.

【答案】0.82

【解析】该小题主要考查的知识点为平均数.

【考试指导】5条鱼的总重为5X0.8=4(kg),剩余2条鱼的总重为4-0.75-

0.83-0.78=1.64(kg),则其平均重量为1.64/2=0.82(kg).

48.

【答案】(-4,13)

【解析】该小题主要考查的知识点为平面向量.

【考试指导】2a+3b=2(l,2)+3(-2,3)=(-4,13).

49.

50.0.7

**HO8+1094+1112+109.5+1091菖

样本平均值*------------------------------110＞故样本方至-

4-1心+QH2T10)'+(109AHO)」+(109i-"。)'

51.

(1)因为"0,所以e'+e-VO.e'-eVO.因此原方程可化为

-=ct»0,①

：=sin9.②

这里。为参数.①1+②1.消去参数仇得

所以方程表示的曲线是椭厕.

⑵由.&eN.知“"0.sin?"。.而，为参数,原方程可化为

①1-S得

因为Ze'e-=2e0=2,所以方程化简为

xa_/

cos"sin*®

因此方程所表示的曲线是双曲线.

(3)证由(1)知，在桶圆方程中记》=运亨2.上/

44

则J=1-y=I,c=1,所以焦点坐标为(±1,0).

由(2)知.在双曲线方程中记J=88%,从=sin”.

'则J=a'+b'=l,c=l.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(1)与(2)中的两方程所表示的曲城有相同的焦点.

52.

(1)/(<)=1-2令人了)=0,解得x=l.当xw(0.l)./(x)<0；

当MW(1.+8)lf(x)>0.

故函数人外在(0.1)是减函数，在(1.+8)是增函数―

(2)当8=1时4x)取得极小值.

又/(0)=0jl)=-l/4)=0.

故函数4*)在区间［0,4］上的最大值为0.最小值为-I.

53.

方程/+y'+a+2y+/=0表示圈的充要条件是:1+4-4a2>0.

即『〈玄.所以-守有<a<圣序

4(1.2)在《|外,应满足：1+22+a+4+a1>0

即『+a+9>0.所以aeR.

综上,"的取值范围是(-第，孥).

由于(ar+l)'=(l+ax)T.

可见.屣开式中的系数分别为C：1，Cja1.CJ

由巳知,2C"=C"+Cja4.

乂—曾7x67x6x52

flx*-X一.、、・/«5a5-10a+3=0.

23x2

54.

55.

设三角形三边分别为a,b,c且Q+6=10,则6=10-a.

方程2?-3x-2=O可化为(2x+1)"-2)=0,所以—产--j-.x,=2.

因为a、b的夹角为凡且Icos&IWl,所以co蚣=-y.

由余弦定理，得

c'=a'+(10-a)，—2a(10—a)x(——)

=2a'+100—20a+10a-a'=a"-10a+100

=(a-5)J+75.

因为(a-S)'O.

所以当a-5=0,即a=5H^,c的值最小,其值为闻=5耳

又因为。+〃=1。,所以c取得最小值,a+b+c也取得最小值.

因此所求为10+5百.

56.

由已知可得椭圆焦点为K(-6.0).吊(方,0).……3分

设椭圆的标准方程为与+旨=1(。>6>0),则

nn

a2=62+5,

叵=应解得｛；=2,"…$分

a3*'

所以椭圆的标准方程为总+£=1.……9分

楠圈的准线方程为=士56.*……12分

57.解

设山高CD=x则RtA4DC中.仞=xcota.

RtABDC中,BD=xcotfl.

财/<8=仞-80,所以a=xcota-xco^所以父=——~—

答:山高为-------金h

coUi-COw

58.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500一10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

59.

由巳如可得4=75。.

又sin750=8in(45°+30°)=sin45°cos30°+«»45o8in30o—..........4分

在中，由正弦定理得

4cBC8%......8分

^45°-sin750~sin600,

所以4c=16.8C=8万+8........12分

60.解

⑴0.“=3a.-2

a..t-1=3a.-3=3(a.-1)

(2)|a.-l|的公比为q=3,为等比数列

0,-1-(cj-1)</"1=9"1=3*'1

/.a.=3***+1

61.

（1）双曲线1一百二1的焦点在，轴匕由"一./，；12.

得<，0/+y=16.c=4.则可知右焦点为《,（）），

又圆过原点•圆心为（4.0）,则留华役为4.

故所求魏方程为（工-4>+y=16.

〈II）求直线y=V3x与该Iffl的交点.即解\尸百‘”

［（工一4"+f=16,②

将①代人②得—Rr+lS+SiZ2-16.4J**-8jr-0.

进一步J/~2XI=0,X（X—Z）=O.j|=0.j•，-2,又得M=O.”=2V5.

故交点坐标为（0.0》.（2.2Q）.

故弦长为4-2>+（-2⑶―/汗江=4.

（或用弦长公式•设交点坐标（可，凶八（/；."）•则工［+勺-2,上|心二0.

故弦长为JT锭•后工小尸-4x^7=/bH•vQ—彳丸=2X2=4.）

62.

（I）桶圜的短半轴长为6=2.

抛物线/=，Lr的顶点为原点,故椭圈的中心为原点.

抛物线V-心的焦点FU.O）即为椭烟的右焦点.

即£■=I.a="+1=，外+「"4居，

所求楠Ml的标准方程为卜1.

（II）桶圜的淮线方程为*=±5.

63.

Qi=10X1.05~x»

2—-

a2=10X1.051.05xx»

32—-

a3=10X1.O5—1.05x1.05xx.

推出a1。=10X1.051°-1.059x~1.058JT--------

1.05x-x»

10X1.05'°

由。解出土=

4l+1.05+1.0524--4-1.059

空费券2937（万元）.

解⑴4.1=34-2

4.1-1=34-3=3(4-1)

•jT-3

0.-1

(2)|a.-II的公比为g=3,为等比数列

•\a.-l=(5-l)g”T=g・T=3-T

64.a.=3*1+1

65.

CI）如图所示,商船在C处相遇.设/助。=夕.走私船行驶距离

BC=H海里.AC=2x里..

由正弦定理可知在"反：中，黑一翁,

・B,C“sNinlf2-6*n一sin\l2—6,=0.80-90a。A.4.A04.cb.