《集合的基本运算二》教学设计【高中数学人教A版必修第一册教案】

集合的基本运算(2)

♦教学目标

i.能举例说明全集；对于具体的集合，能写出其补集；并会用符号语言、图形语言表

示补集运算.

2.在具体问题情景中，用三种语言表示集合的基本运算，并能进行转换，有意识地使

用符号语言表述数学对象，积累数学抽象经验.

♦教学重难点

教学重点：全集、补集的含义.

教学难点：补集的含义，利用Venn图解决一些与集合运算有关的问题.

♦课前准备

PPT.

♦教学过程

一、问题导入

问题1:上一节课学习了交集和并集，请你默写定义，并用符号语言和图形语言表示.集

合的并集是类比了实数的加法运算，实数也有减法运算，那么集合是否也可以“相减”呢？

如集合A={1,2,3},B={3},则集合A“减去”集合8应该是什么呢？请写出你的猜想.

师生活动：学生先默写，之后互相检查，再写出猜想，以小组交流，教师适时引导.

设计意图：通过回顾并集概念，寻找集合运算与实数运算之间的相似性，为类比引入补

集做好铺垫.

二、全集

1.形成概念

问题2：小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到整数，再到有理数，引进无理数

后，数的研究范围扩充到实数.思考下面两个集合中元素是否相同？为什么？

A={xGQ|(x—1)($—2)=0}；3={xGR|(x—l)(f—2)=0}.

师生活动：学生独立完成，之后展示交流，教师补充.

预设的答案：两个集合中的元素不相同.原因如下:

A={xGQI(无一1)(/—2)=0}={1};

8={XGR|(L1清—2)=0}={1,V2,-V2}.

教师讲解：在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果，如上述方程(x—1)(F—2)

=0的根在不同数集范围下是不同的.因此,在研究问题时，经常要确定研究对象的范围.即：

一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集

(universeset),通常记作U.

设计意图：利用已有的知识类比学习新知识，学生容易接受，举例说明让学生体会到在

研究对象时，确定研究范围的重要性.

2.初步理解

追问：你能再举出几个全集的例子吗？

师生活动：学生举例，展示交流，教师补充.

预设的答案：上操站队时，全校学生构成的集合是全集；班主任分配宿舍时，我班所有

学生构成的集合就是全集；参加学校运动会按班级报参赛项目时，我班的运动员构成的集合

就是全集.

设计意图：通过举例，让学生初步理解全集的概念.

三、补集

3.形成概念

问题3：阅读教科书，说说什么是补集？默写定义.在问题1中，你的猜想正确吗？有

哪些值得肯定之处？

师生活动：学生阅读课本获得定义，并通过比较发现自己的猜想与教科书中定义的一致

之处，以及不同之处.

预设的答案：在学生默写的基础上教师修正，给出答案(如图1).

图1

设计意图：阅读获得定义，默写记忆定义，并通过比较，肯定学生猜想中的合理之处,

激发学生的兴趣.

4.精致定义

问题4：学习了集合的三种运算，它们之间有哪些异同，你是如何区别的？

师生活动：学生先独立梳理，再展示交流，教师设计表格帮助学生进行整理.

预设的答案:

语言并集交集补集

由全集U中不属于集合

自然由所有属于集合A或属于由所有属于集合A且属于A的所有元素组成的集

语言集合B的元素组成的集合集合B的元素组成的集合合称为集合A在全集U

中的补集

记法QA

记法

A并8A交8A在全集。中的补集

读作

符号

AUB={x\x^A,或xGB}AHB={x\x^A,且xGB}CvA={x^U,且娓A}

语言

图形

语言CIS)

集合

A、8可以是任意集合A、8可以是任意集合A^U

关系

设计意图：集合的三种运算(并集、交集、补集)的定义相近，符号语言表示相似，易

混淆，通过将三者放在一起对比，异同点一目了然，帮助学生进一步理解概念.

四、概念应用

问题5：自己独立完成例5、例6,想想每一个题目求解的依据是什么？

例1设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3),8={3,4,5,6),求CuB.

解：根据题意，U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以

CuA=[4,5,6,7,8},Cc/B={l,2,7,8}.

例2设全集U={x\x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x\x是钝角三角形},求AHB,

CU(AUB).

解：根据三角形的分类可知

A"B=0,AU8={尤|x是锐角三角形或钝角三角形},

Cu(AU8)={x|x是直角三角形}.

师生活动：学生独立完成，教师巡视观察学生做的情况，有个别问题个别纠正，共性问

题教师再针对性讲解.

答案略.

设计意图：练习补集运算，巩固集合运算.

五、运算律

问题6：定义了一种运算之后，为简便计算会研究其运算律.回忆一下并集、交集运算

律有哪些？通过类比猜想补集运算有哪些运算律？

师生活动：学生思考交流，教师给出如下提示：

AU(CyA)=,AA(C(/A)=,Cv(CM)=.(其中U

为全集)

预设的答案：

AU(CyA)=U,An(CyA)=0_,Cu(CyA)=A_.(其中U为全集)

设计意图：通过类比并集、交集的运算律，探索发现补集的运算律.

六、巩固应用

例1(1)设集合。={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},贝!J()

A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6)

(2)设全集U=R,集合A={x|2＜尤W5},则CuA=.

(3)设集合A={1,2,6},B={2,4],C={xdR|一1WxW5},则(AUB)CC=()

A.{2}B.{1,2,4)

C.{1,2,4,6}D.{尤GR|—lWxW5}

(4)设全集为R,A={x[3Wx<7},B={x|2<x<10},则CR(AUB)=,(CM)

ClB=.

师生活动：学生独立完成之后展示交流.

预设的答案：(1)C；

(2){尤:W2,或x>5}；

(3)B；

(4){尤|xW2,或x210},{尤12Vx<3,或7Wx<10}

解：把全集R和集合A,B在数轴上表示如下：

23710④

由图2知,AU2={尤12c尤<10},

...CR(AUB)={4CW2,或尤410}.

'：CRA=[^X<3,或X27},

.,.(CM)AB={X|2<X<3,或7WX<10}.

设计意图：巩固集合的基本运算.

问题7：本题求解的依据是什么？每个题目中所给集合有什么特点？你获得了什么求解

经验？

师生活动：学生观察总结，展示交流，师生完善补充.

预设的答案：求解的依据是定义.对于用列举法给出的集合，可直接观察或借助于Venn

图写出结果.对于用描述法给出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合化为最简

形式；对于连续的数集常借助数轴表示结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组

成了并集，数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集，要注意端点是否在集合

中.

设计意图：通过应用加深对概念的理解，并提升数学运算素养.

例2设。=11,集合A={x*+3x+2=0},B={x\^+(m+l)x+m=O],若(C以)CB

=0,贝Um—.

问题8：本题中两个集合可否化简？集合8化简之后有几种情况？待求解的问题是否可

以化简？

师生活动：学生根据问题7的引导，对题目进行化简，教师引导学生对集合8要分类

讨论写出其化简后的情况.然后再对化简后的问题进行求解就比较容易了.

解：A=[-2,-1},由((:以)口2=0，得8UA,

:方程/+(m+l)x+机=0的判别式A=(%+1)2—4机=(加一1>NO,：.B^0.

.•.8={-1}或3={—2}或2={-1,-2).

①若B={—1},则根=1；

②若B={-2},则应有一(1+1)=(—2)+(—2)=—4,

且m=(-2)•(—2)=4,这两式不能同时成立，.•.8W{—2}；

③若B={—1,-2],则应有一(机+1)=(—1)+(—2)=—3,且加=(—1)•(―2)=2,

由这两式得m=2.

经检验知相=1和加=2符合条件.或2.

设计意图：通过两个集合的运算，转化为两个集合间的关系，利用学生熟悉的一元二次

方程根的情况，分类讨论求解，培养学生分析问题的能力