高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测95古典概型与几何概型

[课时跟踪检测]1．(2017届开封模拟)一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：抛掷两次该玩具共有16种情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，…，(4,4)．其中乘积是偶数的有12种情况：(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是P＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).答案：D2．(2018届山西省第二次四校联考)甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)解析：∵甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中两人参加同一个小组的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3个，∴两人参加同一个小组的概率为eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：A3．已知正棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是()A.eq\f(3,4) B．eq\f(7,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)解析：由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC，故使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率P＝eq\f(大三棱锥的体积－小三棱锥的体积,大三棱锥的体积)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).答案：B4．在区间[0,10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0,10]内的概率为()A.eq\f(π,40) B．eq\f(\r(10),10)C．eq\f(1,10) D．eq\f(π,4)解析：所求概率为几何概型，测度为面积，设这两个数为x，y，则0≤x，y≤10，构成一个正方形，面积为102，这两个数的平方和x2＋y2∈[0,10]在正方形中阴影面积为eq\f(10π,4)，因此所求概率为eq\f(\f(10,4)π,102)＝eq\f(π,40)，故选A.答案：A5．如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC与∠BOC都不小于15°的概率为()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：在eq\x\to(AB)上取C1，C2两点使∠AOC1＝15°，∠BOC2＝15°，则满足条件的射线OC落在∠C1OC2内部，∠C1OC2＝60°，则所求概率为eq\f(60,90)＝eq\f(2,3).故选D.答案：D6．(2018届东北四市联考)从3双不同的鞋中任取2只，则取出的2只鞋不能成双的概率为()A.eq\f(3,5) B．eq\f(8,15)C．eq\f(4,5) D．eq\f(7,15)解析：设这3双鞋分别为(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，则任取2只鞋的可能为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，共15种情况，其中2只鞋不能成双的12种情况，故所求概率为P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5)，故选C.答案：C7．如图，在正方形OABC内，阴影部分是由两曲线y＝eq\r(x)，y＝x2(0≤x≤1)围成，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：阴影部分面积S＝eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\f(3,2)－\f(1,3)x3))))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)，所以所求概率为P＝eq\f(\f(1,3),1×1)＝eq\f(1,3).故B正确．答案：B8．(2018届重庆适应性测试)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为_____________________________．解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4(种)(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)9．(2017年江苏卷)记函数f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．解析：由题意得6＋x－x2≥0，所以(x＋2)(x－3)≤0，所以－2≤x≤3，所以P＝eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)10．在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________________________________．解析：由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，即16k2<9，解得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4).由几何概型的概率计算公式可知P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),2)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M(1)求四棱锥M－ABCD的体积小于eq\f(1,6)的概率；(2)求M落在三棱柱ABC－A1B1C1解：(1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M－ABCD的高为h，令eq\f(1,3)×S四边形ABCD×h＝eq\f(1,6)，∵S四边形ABCD＝1，∴h＝eq\f(1,2).若体积小于eq\f(1,6)，则h<eq\f(1,2)，即点M在正方体的下半部分，∴P＝eq\f(\f(1,2)V正方体,V正方体)＝eq\f(1,2).(2)∵V三棱柱＝eq\f(1,2)×12×1＝eq\f(1,2)，∴所求概率P1＝eq\f(V三棱柱,V正方体)＝eq\f(1,2).12．移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求从中任取1人获得优惠金额不低于300的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从这6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．解：(1)设事件A为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”，则P(A)＝eq\f(150＋100,50＋150＋100)＝eq\f(5,6).(2)设事件B为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2则P(B)＝eq\f(4,15).[能力提升]1．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为()A.eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：由题图可知VF－AMCD＝eq\f(1,3)×SAMCD×DF＝eq\f(1,4)a3，VADF－BCE＝eq\f(1,2)a3，所以它飞入几何体F－AMCD内的概率为eq\f(\f(1,4)a3,\f(1,2)a3)＝eq\f(1,2).答案：D2．(2018届重庆适应性测试)在区间[1,4]上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为()A.eq\f(1,18) B．eq\f(9,32)C．eq\f(23,32) D．eq\f(17,18)解析：依题意，记从区间[1,4]上取出的两个实数为x，y，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤4，,1≤y≤4))表示的平面区域的面积为(4－1)2＝9，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤4，,1≤y≤4，,x＋y>3))表示的平面区域的面积为(4－1)2－eq\f(1,2)×12＝eq\f(17,2)，因此所求的概率为eq\f(\f(17,2),9)＝eq\f(17,18)，选D.答案：D3．在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,40)，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是eq\f(1,40).(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(4,4),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,10)，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(eq\o(E,\s\up16(－)))＝1－P(E)＝eq\f(9,10).(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝eq\f(C\o\al(2,5)A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝eq\f(3,4).4．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，得n＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a