湖南省部分学校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题

湖南高一年级期末联合考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据集合求交集即可.【详解】因为，，所以.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据终边相同的角的三角函数值相等，结合充分不必要条件的定义，即可得到答案；【详解】，当，“”是“”的充分不必要条件，故选：A3.已知弧长为的扇形面积也为，则该扇形的圆心角（正角）为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用扇形弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，则，解得.故选：D.4.已知，则的最小值为（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可.【详解】由重要不等式得，当且仅当时取等，解得，显然A正确，故选：A5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小即得.【详解】依题意，，，所以.故选：A6.函数零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理判断即可.【详解】因为函数单调递增，又，，故，所以函数的零点所在区间为.故选：B7.若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正切与正、余弦的的关系求出，再结合正切二倍角公式求得结果.【详解】因为，，所以，，所以.故选：A.8.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（取：）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可.【详解】的物块经过后的温度，的物块经过后的温度.要使得两块物体的温度之差不超过，则，即，解得.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知且，，则函数.与的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据条件确定的范围，利用与的单调性分析即得.详解】因且，，则中必有一个大于1，一个小于1且大于零.当时，有，则B项符合，当时，有，则D项符合.故选：BD.10.已知函数在上单调递增，则的取值可能为（）A.1 B.2 C.4 D.5【答案】CD【解析】【分析】结合对数函数及复合函数的单调性，列出不等式组求解即可.【详解】解：因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，则，解得．故选：CD.11.如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱距离地面的高度为92.5米，则（）A.B.该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟C.D.该摩天轮座舱距离地面的最大高度为120米【答案】BCD【解析】【分析】由即可求出，结合周期，即可求解.【详解】依题知，则，因为，所以，A错误；由，则周期为，则该摩天轮转动一周需30分钟，B正确；，由，可得，故座舱距离地面的最大高度为，CD正确.故选：BCD12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A. B.在上单调递减C. D.函数恰有8个零点【答案】AC【解析】【分析】利用周期定义求出周期可判断A；结合周期画出的部分图象可判断B；利用周期计算可判断C；画出函数、的图象可判断D．【详解】对于A，由，得，可得的周期为4，A正确；对于B，当时，，则，得，结合周期画出的部分图象如图所示，由图可得在上单调递增，B错误；对于C，，C正确；对于D，因为，所以为偶函数，当时，令，得，画出函数的图象，因为，所以与在上的图象只有8个零点，根据函数奇偶性可得恰有16个零点，D错误．故选：AC.【点睛】关键点点睛：D选项解题的关键点是画出函数与的图象解题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知角的终边经过点，则______.【答案】##【解析】【分析】利用任意角三角函数的定义求出，再用诱导公式化简求值即可.【详解】由已知得角的终边经过点，则是第一象限角，，由任意角三角函数的定义得，由诱导公式得.故答案为：14.函数（）的图象经过定点，则点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】借助对数函数的定点问题，令，计算即可.【详解】令，得，所以点的坐标为．故答案为：.15.若函数在上恰有3个零点，，则______.【答案】【解析】【分析】先求出函数周期，可得函数在上有个周期，结合图象特征求出的值.【详解】由已知函数的最小正周期，作出函数的草图如图：由于函数在上有个周期，若函数在上恰有3个零点，则.故答案为：.16.已知奇函数的定义域为，且有，若对，都有，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，构造，判断出的奇偶性和单调性，把不等式转化为，利用单调性解不等式即可.【详解】由题知，记，因为是奇函数，所以，所以，所以为偶函数，由题知，记，即，因为，所以，即，所以在上，为减函数，因为为偶函数，所以在上，为增函数，因为不等式可化为，即，又因为，可得，所以可化为，解得，或，所以解集为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）计算：；（2）已知正数a满足，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指数，对数的性质处理即可.（2）利用指数幂运算法则结合条件求值即可.【详解】（1）原式；（2）由已知得，同时平方得，即，平方得，故.18.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标变为原来的2倍.得到函数的图象.（1）求的解析式；（2）若是奇函数，求的值；（3）求在上的最小值与最大值.【答案】（1）（2）（3）最大值2，最小值【解析】【分析】（1）根据周期变换和平移变换即可得解；（2）根据三角函数的奇偶性即可得解；（3）根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.【小问1详解】由题意可得；【小问2详解】，因为是奇函数，所以，解得；【小问3详解】因为，所以，当，即时，取得最小值，且最小值为，当，即时，取得最大值，且最大值为.19.某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表：销售人员个人每月销售额/万元销售额的提成比例不超过100万元的部分5%超过100万元的部分记销售人员每月的提成为（单位：万元），每月的销售总额为（单位：万元）．注：表格中的（）表示销售额超过100万元的部分．另附参考公式：销售额×销售额的提成比例＝提成金额．（1）试写出提成关于销售总额的关系式；（2）若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？【答案】（1）（2）135万元【解析】【分析】（1）根据题意写出提成与销售额的关系式即可；（2）根据关系式，通过求解对数不等式可得答案.【小问1详解】根据题意可知，当时，；当时，．故提成关于销售总额的函数关系式为【小问2详解】当时，，则该销售人员当月的销售总额必定超过100万元，令，得，解得，即该销售人员当月的销售总额至少为135万元．20.已知指数函数.（1）若在上的最大值为8，求的值；（2）当时，若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或2（2）【解析】【分析】（1）根据题意，结合指数函数的性质，分类讨论，即可求解；（2）方法一：由在上单调递减，转化为，即可求解；方法二：根据题意，转化为对恒成立，令，结合哈市的单调性，得到，即可求解.【小问1详解】解：当时.在上单调递增，可得，解得；当时，在上单调递减，可得，解得.综上可得，实数的值为或2.【小问2详解】解：方法一：由函数在上单调递减，当时，在上单调递增，且，所以，即，又因为，所以，所以实数的取值范围是.方法二：由题意得，不等式对恒成立，即对恒成立，令，因为，所以为增函数，所以，所以，又因为，解得，所以实数取值范围是.21.已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）求图象的对称中心的坐标；（3）若，，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解；（2）由（1）中函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；（3）由，求得，得到，结合两角差的余弦公式，即可求解.【小问1详解】解：由函数.令，可得.所以的单调递减区间为.【小问2详解】解：由函数，令，解得，所以图象的对称中心的坐标为.【小问3详解】解：由，可得，则，因为，所以，所以，所以.22.已知函数且.（1）若，函数，求的定义域；（2）若，求的取值