华师大版八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 2.菱形的判定（课件）

2菱形的判定华东师大·八年级数学下册复习导入回顾复习什么是菱形？一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.ABCD几何语言：如图，

对于平行四边形ABCD，若AB=BC，则这个平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.

ABCDO菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点.1.菱形的四条边都相等.2.菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.进行新课

我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这是菱形的定义.我们可以根据定义来判定一个四边形是否是菱形.除此之外，还能找到其他的判定方法？思考对于一般的四边形，如何寻找判定它是不是菱形的方法呢？由菱形的性质“四条边都相等”，你可能会想到：如果一个四边形的四条边都相等，那么它肯定是一个菱形.

结论成立吗？试一试如图，作一个四条边都相等的四边形.1.画两条相等的线段AB、AD；2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C；3.连结BC、CD，即得到一个四条边都相等的四边形ABCD.ABCD它是一个菱形吗？菱形的判定定理1四条边都相等的四边形是菱形.由此可以得到判定矩形的一种方法：有三个内角是直角的四边形是矩形.有三条边相等的四边形是菱形吗？四条边都相等的四边形是菱形.例4如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形？并说明理由.ABDCEHFGABDCEHFG分析：四边形EFGH的四条边分别属于矩形四个角上的三角形，如果能够证明这四个三角形全等，那么就可以利用菱形的判定定理1，得出四边形EFGH是菱形.探索：如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形.转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于90°时，得到的是什么图形？试一试作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.1.作2条互相垂直的直线m、n，记交点为点O；2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；3.以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD；4.顺次连结所得的四点，即得一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD，显然它是一个对角线互相垂直的平行四边形.ACDBO它是一个菱形吗？菱形的判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形.这就是判定菱形的另一种方法：已知：四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，求证：平行四边形ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，又∵AC⊥BD,∴AB=BC（线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等）∴平行四边形ABCD是菱形.（菱形的定义）思考：若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则四边形ABCD是不是菱形？DCABABCDO注：对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形.例5如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形.ABDCEFO12ABDCEFO12分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，所以只需要证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC，所以只需证明OE=OF.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF平分AC，∴OA=OC.又∵∠AOE=∠COF=90°，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形.)ABDCEFO12菱形的判定方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.ADCBO随堂练习1.判断下列说法是否正确：(1)有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形(2)对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形(3)对角线相等且互相平分的四边形是菱形(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形×××√2.平行四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，则平行四边形ABCD____(填“是”或“不是”)菱形.3.四边形ABCD是平行四边形，请补充一个条件：________，使它是菱形.

是AB=BC4.如图所示，下列条件中能说明四边形ABCD是菱形的有（）①BD⊥AC②OA=OC，OB=OD，AB=BC③AC=BD④AB=BC，AB∥CDA.① B.①② C.② D.③④ABCDOC5.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BO平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AE∥BF，∴∠EAC=∠ACB.又∵AC平分∠BAD，∴∠ACB=∠BAC=∠EAC,∴AB=BC.同理