5.4 一次函数的图象与性质（原卷版）

5.4一次函数的图象与性质1.了解一次函数图象的意义，会画一次函数的图象2.会求一次函数的图象与坐标轴的交点坐标3.根据一次函数的图象和表达式探索并理解图象的变化4.掌握一次函数的图象及性质，会利用一次函数的图象和性质解决简单的实际问题知识点一函数的图象及其画法1.函数图象的概念把一个函数的自变量的值与函数的对应值分别作为点的________和________，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的________.2.描点法画函数图象的一般步骤(1)________：首先要考虑自变量的取值范围，再选择具有代表性的自变量的值和函数的对应值列成表格.(2)________：把自变量的值作为点的横坐标，对应的函数值作为点的纵坐标，在坐标系中描出表格中的各点.(3)________：要按自变量由小到大的顺序依次连结各点，时刻注意函数图象的发展趋势，有时不能把所有的点都描出来，就用光滑的曲线连结画出的点，从而得出函数的近似图象.注意：一般地，以图象形式给出的函数，横坐标表示自变量，纵坐标表示函数值.函数图象与函数表达式是一一对应的，即：①函数图象上的任意点中的满足其函数表达式；②满足函数表达式的任意一对的值所对应的点一定在函数图象上.描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多，图象画得就越准确.即学即练分别在同一直角坐标系中画出下列（1）（2）中各函数的图象，并指出每组函数图象的共同之处．（1）y=x+1，y=x+1，y=2x+1；（2）y=−x−1，y=−x−1，y=−2x−1．知识点二一次函数的图象及其画法1.一次函数的图象一次函数可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线也叫做一次函数的图象.2.一次函数图象的画法因为一次函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线，所以只要画出这个图象上的两个点，然后过这两个点作直线，就能得到一次函数的图象.注意：（1）画一次函数的图象时，选点应以计算和描点方便为原则.一般来说，当b≠0时，画一次函数的图象，应选取它与两个坐标轴的交点，，也就是就是横坐标和纵坐标为0的点.（2）画关于实际问题的一次函数图象时，要先明确自变量的取值范围，在自变量取值范围内画函数图象，函数图象可能是直线、线段或射线.3.求一次函数图象与坐标轴交点的方法一般地，令,解得的值即直线与轴交点的纵坐标；令,解得的值即直线与轴交点的横坐标.由此，我们可以求出直线与两坐标轴的交点坐标.根据图象或计算可知，一次函数的图象与轴的交点坐标为.一次函数的图象也可以看作是正比例函数的图象向上(或下)平移个单位得到的.即学即练1如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象大致如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．即学即练2已知等腰三角形的周长为12．

（1）写出底边长y关于腰长x的函数表达式（x为自变量）；（2）写出自变量x的取值范围；（3）在直角坐标系中，画出该函数的图像．知识点三一次函数的性质对于一次函数,当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.的符号与函数图象的位置特征及增减性见下表：的符号的符号图象经过象限增减性一、二、三随的增大而增大一、三、四一、三一、二、四随的增大而减小二、三、四二、四即学即练1若直线y＝2x+b经过点A(﹣2，m)，B(1，n)，则m，n的大小关系正确的是（）A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定即学即练2直线经过第一、二、四象限，那么直线不经过第象限.即学即练3已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（

）， B．， C．， D．，知识点四利用一次函数的图象和性质解决实际问题求实际问题中的一次函数的最大值、最小值有两种方法：一是利用图象；二是利用一次函数的增减性.注意：(1)对于实际问题中的一次函数，画图象时一般都要求出自变量的取值范围，所画的图象也经常是直线的一部分(2)对于一般的一次函数，当自变量的取值为所有实数时，它既无最大值，又无最小值.当自变量的取值范围有限制时，它就可能有最大值或最小值.即学即练经过一年多的精准帮扶，王二家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国．王二家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：商品

红枣小米规格袋袋成本（元/袋）售价（元/袋）根据上表提供的信息，解答下列问题：(1)已知今年前五个月，王二家网店销售上表中规格的红枣和小米共，获得利润万元，求这前五个月王二家网店销售这种规格的红枣多少袋：(2)根据之前的销售情况，估计今年月到月这后五个月，王二家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共，其中，这种规格的红枣的销售量不低于．假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x（），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为（元），求出y与x之间的函数关系式，并求这后五个月，王二家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．题型1正比例函数的图象例1下列图形中，表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）的图象的是（

）

B．

C．

D．

举一反三1已知正比例函数的图象过点，则k的值是（

）A． B． C．1 D．2举一反三2正比例函数的图象经过，两点，则的值为（

）A．2 B． C．1 D．4题型2正比例函数的性质例2正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx﹣k的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

举一反三1一次函数与正比例函数（k，b是常数，且）的图像可能是（

）A． B．C． D．举一反三2若正比例函数的图象y随x的增大而减小，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．题型3判断一次函数的图象例3正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（

） B． C． D．举一反三1在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（

）A．

B．

C．

D．

举一反三2一次函数与正比例函数（m，n为常数、且）在同一平面直角坐标系中的图可能是（）A． B．C． D．题型4根据一次函数解析式判断其经过的象限例4一次函数的图象大致是（

）A． B．C． D．举一反三1在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（

）A． B．C． D．举一反三2在同一平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的大致图象可以是（

）A． B．C． D．．题型5已知函数经过的象限求参数范围例5若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是．举一反三1已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围．举一反三2若整数使关于的一次函数不经过第三象限，且使关于的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为．题型6一次函数图象与坐标轴的交点问题例6下列四个选项中，不符合直线的性质特征的选项是（

）A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小C．与x轴交于 D．与y轴交于举一反三1如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（）A．1 B．3 C． D．举一反三2已知一次函数的图象经过点和.(1)求该函数的表达式；(2)若点是轴上一点，且的面积为10，求点的坐标.题型7画一次函数图象例7已知一次函数和，函数和的图象可能是

（

）

B．

C．

D．

举一反三1函数的图像大致是（

）A．

B．

C．

D．

举一反三2一次函数的图象与轴交于点，且经过点．

(1)求点和点的坐标；(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；(3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．题型8一次函数图象平移问题例8已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小举一反三1如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为举一反三2如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．（1）求m的值及l2的解析式；（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．题型9判断一次函数的增减性例9已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定举一反三1某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，如图，其中，，，点，是这两条线段上的点，则正确的结论是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，举一反三2已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．题型10根据一次函数增减性求参数例10已知点、点在一次函数的图像上，且，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．举一反三1若一次函数的函数值随的增大而增大，则（

）A． B． C． D．举一反三2一次函数，求：（1）m，n是什么数时，y随x增大而增大？（2）m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？（3）若时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积．题型11根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况例11若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．举一反三1已知一次函数，当时，x的最大值为．举一反三2已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当时，求的取值范围．题型12比较一次函数值的大小例12若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．举一反三1在直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．举一反三2若点，都在直线上，则下列大小关系成立的是（

）．A． B． C． D．题型13求一次函数解析式例13如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．举一反三1已知直线y＝kx＋b经过M(0，2)，N(1，3)两点．(1)求该直线的表达式；(2)请判断点P（2，4）在不在该直线上举一反三2如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与直线交于点C，直线l与x轴交于点D．（1）求直线的解析式：（2）求点C的坐标；（3）求的面积．题型14一次函数的规律探究问题例14如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（）A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0）举一反三1在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…An在直线l上，点C1，C2，C3，…∁n在y轴正半轴上，则正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是．举一反三2如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点按此规律作下去，则点的坐标为；点的坐标为．一、单选题1．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．下图中表示一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab＜0）图像的是（

）．A． B．C． D．3．三个正比例函数的表达式分别为①；②③，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．a C． D．a4．将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（

）A． B． C． D．5．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②函数不经过第二象限．③不等式的解集是．④，其中正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④二、填空题6．如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而．（填“增大”或“减小”）7．已知m是整数，且一次函数y=(m+3)x+m+2的图象不过第二象限，则m=．8．将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为．9．如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则