专题20 图形的变化（轴对称、平移、旋转）（讲义）（原卷版）

专题20图形的变化（轴对称、平移、旋转）核心知识点精讲理解掌握图形平移的定义与性质；理解掌握轴对称的定义、性质、判定、理解掌握旋转的定义与性质；理解掌握中心对称的定义、性质、判定、中心对称图形的特点；理解掌握坐标系中对称点的特征；掌握对称、平移、旋转等的作图方法并能够进行正确的作图。考点1平移1.定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。2.性质（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。考点2轴对称1.定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。2.性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。3.判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。4.轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。考点3旋转1.定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2.性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。考点4中心对称1.定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2.性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3.判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4.中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。考点5坐标系中对称点的特征1.关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）2.关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）3.关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）考点6作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．【题型1：平移】【典例1】（2023•遂溪县一模）如图，在△ABC中，BC＝13，将△ABC沿着射线BC平移m个单位长度，得到△DEF，若EC＝7，则m＝．1．（2023•潮州模拟）在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A（﹣1，4）的对应点C（1，2），则点B（2，1）的对应点D的坐标为（）A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）2．（2023•番禺区校级二模）如图，将三角形ABC沿射线AB平移到三角形DEF的位置，则下列说法不正确的是（）A．AC＝DB B．AD＝BE C．AC∥DF D．∠C＝∠F3．（2023•蓬江区一模）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向上平移3个单位后，得到的点的坐标是（）A．（1，4） B．（4，1） C．（1，3） D．（1，﹣2）【题型2：轴对称的性质】【典例2】（2022•广东一模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为．1．（2023•龙岗区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF＝10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°2．（2023•江门三模）如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为33或3【题型3：轴对称图形】【典例3】（2023•龙岗区校级一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．1．（2023•惠城区校级一模）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2022•东莞市校级一模）下列图形中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2023•蕉岭县一模）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【题型4：旋转】【典例4】（2023•茂南区三模）如图，在△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°1．（2023•东莞市校级一模）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为点C′，若点C′落在BA延长线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60° B．90° C．120° D．150°2．（2023•越秀区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数（）A．70° B．80° C．100° D．110°3．（2023•怀集县一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为（1，0），（0，4），将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（1，3）【题型5：中心对称】【典例5】（2023•顺德区校级一模）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．1．（2023•蓬江区一模）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2022•南山区一模）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．绿色饮品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品3．（2023•东莞市一模）2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【题型5：坐标系中对称点的特征】【典例5】（2023•香洲区校级一模）已知点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点，则x+y的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．41．（2023•深圳一模）已知点A（a，﹣1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（）A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣32．（2023•南沙区一模）在平面直角坐标系中，与点A（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）3．（2023•黄埔区校级二模）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（）A．（7，33） B．（7，5） C．（53，5） D．（53，33）【题型6：作图-旋转变换】【典例6】（2023•香洲区校级一模）如图，△OBC的顶点坐标分别为O（0，0），B（3，3），C（1，3）．将△OBC绕原点O逆时针旋转90°的图形得到△OB1C1．（1）画出△OB1C1的图形．（2）将点P（m，2）绕原点O逆时针旋转90°，求点P旋转后对应点P1的坐标．（用含m的式子表示）1．（2022•河源模拟）如图，已知△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ACB绕着点B顺时针旋转90°得到△EDB，弧CD交AB于点F，弧AE交BD的延长线于点G．则图中的阴影部分面积为2．2．（2023•宝安区校级三模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．并保留画图痕迹（不要求写画法和理由）．（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（请用直尺画图）（2）连接CC1，△ACC1的面积为52（3）在线段CC1上找一点D．连接AD，使得△ACD的面积是△ACC1面积的123．（2023•南山区二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．（1）将△ABC绕着点O逆时针方向旋转90度，得到△A1B1C1，并画出旋转后的△A1B1C1：（2）请在网格中，仅用无刻度的直尺画出线段AC的垂直平分线PQ，交AB于点P，交AC于点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）．一．选择题（共7小题）1．如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（）A． B． C． D．2．下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，6），C（0，m）．当△ABC的周长最小时，m的值为（）A．72 B．3 C．103 D4．有以下说法：①△ABC在平移的过程中，对应线段一定相等；②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；③△ABC在平移过程中，周长保持不变；④△ABC在平移过程中，对应边中点的连线的长度等于平移的距离．正确的是（）A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③5．下列运动属于平移的是（）A．荡秋千的小朋友 B．转动的电风扇叶片 C．正在上升的电梯 D．行驶的自行车后轮6．四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．7．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题）8．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，沿直线AD翻折△ABD使点B落在AC上的B′处；如图2，折叠∠A，使点A与点D重合，折痕为EF．若B'DCD=23，则EFB'C的值为9．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如图所示折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PD，此时BP的长为．10．如图，将△ABC沿AC方向平移1cm得到△DEF，若DC＝3cm，则AF＝．11．点A（3，2）向右平移2个单位长度得到A'，则A'的坐标为．12．已知点A（3，﹣2）与点A′关于原点对称，则点A'的坐标为．三．解答题（共3小题）13．在平面直角坐标系中点P（﹣1，5）关于y轴对称点的坐标为．14．如图，每个小正方形的边长为1．（1）画出三角形ABC先向右平移4格，再向下平移1格后得到的三角形A'B'C'；（2）求三角形ABC的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到A′BC′，旋转角为α（0°＜α＜360°），过点A作AE∥C′A′交直线CC′于点E，交AA′于点D．（1）求证：ED＝C′D；（2）若∠ABC＝60°，在△ABC绕点B旋转过程中是否存在某个时刻，使得EC′＝AA′，如果存在，请直接写出此时α的度数；如果不存在，说明理由．一．选择题（共7小题）1．下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3.5cm，PN＝4cm，MN＝5cm，则线段QR的长为（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm3．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，其中DE=55，且sin∠DFA=45A．80 B．64 C．36 D．184．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，1）先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A'，则点A'的坐标为（）A．（0，5） B．（﹣5，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣1）5．如图，三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到的，且点B，E，C，F在同一直线上．若BF＝14，EC＝6，则点A与点D之间的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（）A．2 B．4 C．23 D．227．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.8，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.8 B．1.6 C．2.6 D．2.8二．填空题（共5小题）8．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F，H分别是边BC，CD，AB上的一点，将正方形ABCD沿FH折叠，使点D恰好落在BC边的中点E处，点A的对应点为点P，则折痕FH的长为．9．如图所示，△BDC′是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形对．10．如图所示的是中国古代妇女的一种发饰—“方胜”图案，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥，将正方形ABCD沿对角线BD的方向平移2cm得到正方形A′B′C′D′形成一个“方胜”图案，若BD′＝8cm，则图中阴影部分的面积为cm2．11．如图，A，B的坐标分别为（﹣2，1），（0，﹣1）．若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为（a，3），（3，b），则a+b的值为．12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为．三．解答题（共3小题）13．在4×4的正方形网格中建立如图所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是（0，1），（﹣1，﹣1），请在网格中按要求作图：（1）在图①中作格点△ABC，使得它为等腰直角三角形且点C位于第四象限；（2）在图②中作格点△ABD，使得它为轴对称图形且对称轴为y轴；（3）在图③中作格点△ABE，使得它为轴对称图形且对称轴经过点（1，1）．（注：顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．）14．按要求画图及填空：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．（1）点A的坐标为．（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．（3）计算△A1B1C1的面积．15．问题提出：如图1，在锐角等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，K是动点，满足BK⊥AK，将线段AK绕点A逆时针旋转α至AD，连接DK并延长，交BC于点M，探究点M的位置．特例探究：（1）如图2，当点K在BC上时，连接CD，求证：CD=1（2）如图3，当点K在AC上时，求证：M是BC的中点．问题解决：再探究一般化情形，如图1，求证：M是BC的中