2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题25 平面几何的最值问题含答案

2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题25平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值．求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点．过点M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE=CM，将问题转化为求CM的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）解题思路：作点B关于AC的对称点B′，连结B′M，B′A，则BM=B′M，从而BM+MN=B′M+MN．要使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥AB时，B′M+MN的值最小．【例3】如图，已知□ABCD，AB=a，BC=b()，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q．求AP+BQ的最小值．（永州市竞赛试题）解题思路：设AP=，把AP，BQ分别用的代数式表示，运用不等式以或a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来求最小值．【例4】阅读下列材料：问题如图1，一圆柱的底面半径为5dm，高AB为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC．如图2所示．设路线l的长度为l1，则l12=AC2=AB2+BC2=25+(5π)2=25+25π2．路线2：高线AB十底面直径BC．如图1所示．设路线l的长度为l2，则l22=(BC+AB)2=(5+10)2=225．∵l12–l22=25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l12＞l22，∴l1＞l2．所以，应选择路线2．(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：

路线1：l12=AC2=；

路线2：l22=（AB+BC）2=．∵l12l22，∴l1l2

（

填“＞”或“＜”），所以应选择路线（填“1”或“2”）较短．

(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．（衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．（中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设DN=x，PN=y，则S=．建立矩形MDNP的面积S与x的函数关系式，利用二次函数性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC，AD的延长线交于P，求AB·S△PAB的最小值．（中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设PD=x(x>1)，根据勾股定理求出PC，证Rt△PCD∽Rt△PAB，得到，求出AB，根据三角形的面积公式求出y=AB·S△PAB，整理后得到y≥4，即可求出答案．能力训练A级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是．（烟台市中考试题）2．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD=3cm，则过点O的所有弦中，最短的弦AB=cm．（广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC=4，宽AB=3，高BB1=5．一只小虫由A处出发，沿长方体表面爬行到C1，这时小虫爬行的最短路径的长度是．（“希望杯”邀请赛试题）第1题图第3题图第4题图第5题图4．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是()（兰州市中考试题）A．4 B．4.75 C．5 D．4.85．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A，则小虫所走的最短距离为()（河北省竞赛试题）A．12 B．4π C．6 D．66．如图，已知∠MON=40°，P是∠MON内的一定点，点A，B分别在射线OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，∠APB的值为()（武汉市竞赛试题）A．80° B．100° C．120° D．140°7．如图，eq\o(⌒,AD)是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为AD上任意一点．若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是()（福州市中考试题）A．15 B．20 C．15+5 D．15+5第6题图第7题图第8题图8．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于M，交DC与N．(1)设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式．(2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？（山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．(1)当∠BAD=75°时，求eq\o(⌒,BC)的长；(2)求证：BC∥AD∥FE；(3)设AB=，求六边形ABCDEF的周长l关于x的函数关系式，并指出x为何值时，l取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D）．Q是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC=，BD=时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=2，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）第2题图第3题图第4题图第5题图 3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧eq\o(⌒,AB)组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，则梯形DEFG面积的最大可能值为．（上海市竞赛试题）已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的最大值是．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为()（鄂州市中考试题）A． B． C． D．3第6题图第7题图第8题图7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值；(2)当y=cm时，求x的值．（河南省中考试题）8．如图，y轴正半轴上有两点A(0，a)，B(0，b)，其中a>b>0．在x轴上取一点C，使∠ACB最大，求C点坐标．（河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2．求：(1)∠MAN的大小；(2)△MAN的面积的最小值．（“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC于F，DE与AB相交于点E．(1)求证：AB·AF=CB·CD；(2)已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点，设DP=xcm(x>0)，四边形BCDP的面积为ycm2．①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小？求出此时y的值．（南通市中考试题）第6题图第7题图第8题图第9题图11．如图，已知直线：(为实数)．(1)求证：不论k为任何实数，直线l都过定点M，并求点M的坐标；(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G，H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，y取得最大值？求出y的最大值．（上海市竞赛试题）专题25 平面几何的最值问题例1提示：当CM⊥AB时，CM值最小，CM＝例2如图，B′M＋MN的最小值为点B′到AB的距离B′F，BE＝cm，BB′＝cm，AE＝cm．在△ABB′中，由BB′•AE＝AB•B′F，得B′F＝16cm．故BM＋MN的最小值为16cm．例3由△APD∽△BPQ，得，即BQ＝，∴AP＋BQ＝x＋．∵x＋≥，∴当且仅当x＝即x＝时，上式等号成立．故当AP＝时，AP＋BQ最小，其最小值为2－b．例4⑴，＝49，l1＜l2，故要选择路线l较短．⑵，，．当r＝时，，当r＞时，，当r＜时，．例5设DN＝x，PN＝y，则S＝xy，由△APQ∽△ABF，得即x＝10－2y，代入S＝xy得S＝xy＝y(10－2y)，即S＝－2，因3≤y≤4，而y＝不在自变量y的取值范围内，所以y＝不是极值点，当y＝3时，S(3)＝12，当y＝4时，S(4)＝8，故Smax＝12．此时，钢板的最大利用率＝80%．例6设PD＝x(x＞1)，则PC＝，由Rt△PCD∽△PAB，得AB＝，令y＝AB•S△PAB，则y＝AB×PA×AB＝，求y的最小值，有下列不同思路：①配方：y＝，∴当，即当x＝3时，y有最小值4．②运用基本不等式：y＝32＋2＝4，∴当＝，即当x＝3时，y有最小值4.③借用判别式，去分母，得x2＋2（1－y）x＋1＋2y＝0，由△＝4（1－y）2－4（1＋2y）＝4y（y－4）≥0，得y≥4，∴y的最小值为4.A级1.17提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2.83.4.D5.D6.B7.C提示：当点P与点D重合时，四边形ACBP的周长最大.8.（1）连结ME，过N作NF⊥AB于F，可证明Rt△EBA≌Rt△MNF，得MF＝AE＝x.∵ME2＝AE2＋AM2，故MB2＝x2＋AM2，即（2－AM）2＝x2＋AM2，AM＝1－x2，∴S＝×AD＝×2＝AM＋AM＋MF＝2AM＋AE＝2（1－x2）＋x＝－x2＋x＋2.（2）S＝－（x2－2x＋1）＋＝－（x－1）2＋.故当AE＝x＝1时，四边形ADNM的面积最大，此时最大值为.9.（1）长为.（2）提示：连结BD.（3）过点B作BM⊥AD于M，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC＝AD－2AM＝2r－2AM.由△BAM∽△DAB，得AM＝＝，∴BC＝2r－.同理，EF＝2r－.l＝4x＋2（2r－）＝－（x－r）2＋6r（0＜x＜r）..当x＝r时，l取得最大值6r.10.（1）∵∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，∴△APE∽△ADQ.（2）由△APE∽△ADQ，△PDF∽△ADQ，S△PEF＝S□PEQF，得S△PEF＝－x2＋x＝－（x－）2＋.故当x＝时，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值，（3）作A关于直线BC的对称点A′，连结DA′交BC于Q，则这个Q点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.11.（1）点P恰好在BC上时，由对称性知MN是△ABC的中位线，∴当MN＝BC＝3时，点P在BC上.（2）由已知得△ABC底边上的高h＝＝4.①当0＜x≤3时，如图1，连结AP并延长交BC于点D，AD与MN交于点O.由△AMN∽△ABC，得AO＝x，y＝S△PMN＝S△AMN＝·x·x＝x2即y＝x2.当＝3时，y的值最大，最大值是3.②当3＜x＜6时，如图2，设△PMN与BC相交于点E，F，AP与BC相交于D.由①中知AO＝x，∴AP＝x，∴PD＝AP－AD＝x－4，∵△PEF∽△ABC.，∴＝()2＝()2，即＝.∵S△ABC＝12，∴S△PEF＝（x－3）2.∴y＝S△AMN－S△PEF＝x2－（x－3）2＝－x2＋8x－12＝－（x－4）2＋4.故当x＝4时，y的最大值为4.综上，当x＝4时，y的值最大，最大值为4.B级1.8832提示：当∠CAB＝∠ACD＝90°时，四边形ABCD的面积达到最大值.2.0＜r≤1提示：设BC＝a，CA＝b，AB＝c，b＋c＝2（r＋1），又bcsin60°＝S△ABC＝（a＋b＋c）r，即bc·＝［2＋2（r＋1）］r，.bc＝4r（r＋2）.b，c为方程x2－2（r＋1）x＋4r（r＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r＋1）≤22.因r＞0，r＋1＞0，故r＋1≤2，即0＜r≤1.3.－提示：过P作垂直于OP的弦AB，此时弓形面积最小.4.提示：设＝x，则＝1－x＝，＝x2，＝（1－x）2＝，S梯形DEFG＝1―x2―2（1－x）2＝－3（x－）2＋.5.a提示：当OA＝OB时，OC的长最大.6.C7.（1）由Rt△ABP∽Rt△PCQ，得＝，即＝，y＝－（x－2）2＋1（0＜x＜4）.当x＝2时,y最大值＝1cm.（2）由＝－（x－2）2＋1，得x＝（2＋）cm或（2－）cm.8.当过A，B两点的圆与x轴正半轴相切时，切点C为所求.作O′D⊥AB于D.，O′D2＝O′B2－BD2＝－＝ab，O′D＝故点C坐标为（，0）.9.（1）如图，延长CB到L，使BL＝DN，则Rt△ABL≌Rt△ADN，得AL＝AN，∠1＝∠2，又∵N＝2―CN―CM＝DN＋BM＝BL＋BM＝ML，且AM＝AM，∠NAL＝∠DAB＝90°.∴△AMN≌△AML，故∠MAN＝∠MAL＝＝45°.（2）设CM＝x，CN＝y，MN＝z，则，于是，（2―y―z）2＋y2＝z2.整理得2y2＋（2z－4）y＋（4－4z）＝0.∵y＞0，故△＝4（z－2）2－32（1－z）≥0，即（z＋2＋2）（z＋2－2）≥0.又∵z＞0，故z≥2－2，当且仅当x＝y＝2－时等号成立.由于S△AMN＝S△AML＝·ML·AB＝MN×1＝，因此，△AMN的面积的最小值为－1.10.（1）提示：证明△ADF∽△BAC.（2）①AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝＝，∴CF＝AF＝6，∴．②∵BC＝９（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小，由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，所以PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小．显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小，此时DP＝DE，PB＋PA＝AB．由（1），角∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC．EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝．∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15，∴AD＝10．Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．∴DE＝DF＋FE＝8＋＝．∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝．11．（1）令k＝1，得y＝x＋2；令k＝2，得y＝2x＋6，联立解得x＝4，y＝2，故定点（4，2）．（2）取x＝0，得OB＝2－4k（k＜0），取y＝0，得OA＝．于是△ABO的面积，化简得．由得，故S≥16．将S＝16代入上述方程，得k＝．故当k＝，S值最小．12．（1）如图，延长EF交AC于点D，DF∥BC，Rt△ADF∽Rt△ACB，AE＝AC＝x，，，2x－2y－xy＝，两边平方整理得(x2＋2x＋2)y2－(x3＋2x2＋4x)y＋2x2＝0．解得(y＝x舍去)．（2）由（1）．当且仅当，即时，上式等号成立．故当时，y去最大值．专题26分而治之——分类讨论阅读与思考在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法．运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类．正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行．初中数学分类讨论问题的常见形式有：1．一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；2．题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；3．一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；4．一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性； 5．对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论．例题与求解【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．（北京市宣武区中考试题）解题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交．【例2】解方程：｜－2｜+｜+3｜=+10．解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对的取值范围进行分类讨论．需分下列三种情况：①≤－3；②－3＜≤2；③＞2．【例3】若关于的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)+54=0的解都是整数，则符合条件的整数的值有___________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确．【例4】如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A，C不重合），Q在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．（福州市中考试题）解题思路：对于(3)，使△PQM为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ为直角边，二是以PQ为斜边．【例5】证明：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．（全国初中数学联赛试题）解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论．【例6】设a和b是相异实数，证明：存在整数m和n，使得，．（加拿大中学生竞赛试题）解题思路：a，b为相异实数，则必有a－b>0或a－b<0两种情况．能力训练1．已知a+b=－8，ab=8，化简=．（内江市中考试题）2．已知实数a，b满足以a2－7a+2=0，a2－7b+2=0，则的值为．（淮阴市中考试题）3．在△ABC中过A作△ABC的高，垂足为D．若∠BAD=55°，∠CAD=25°，则∠BAC=．4．在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B（2，－3），点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为．（河南省竞赛诚题）5．平面上A，B两点到直线l的距离分别是2－与2+，则线段中点C到直线l的距离是．6．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆圆周上的一点，且OC2=AC·BC，则∠CAB=．（全国初中数学联赛试题）7．如图，在两直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．当AB=时，这两个直角三角形相似．第7题图第10题图第11题图8．已知方程m22－(2m－3)+1=0的两个实数根的倒数和是S，则S的取值范围是．（天津市中考试题）9．关于的方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)+m2=0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是()A．－＜m＜－ B．m≤－或m≥－C．－＜m＜ D．m≤－或m≥（四川省选拔赛试题）10．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两个点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形，图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为()A．3个B．6个C．7个D．9个（武汉市四月调考试题）11．如图，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的点，使以F，A，D为顶点的三角形和以F，B，E为顶点的三角形相似，则这样的点F有()（绍兴市竞赛试题）A．1个B．2个C．3个 D．4个12．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：①若x2=a2，则x=a．②方程2x(x－1)=x－1的解为x=0．③若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边长为5．其中答题完全正确的题目个数为()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个（重庆市中考试题）13．在半径为5cm的圆内有长为5cm的弦，则此弦所对的圆周角为()A．60°或120° B．30°或120° C．60° D．120°14．如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第14题图第15题图15．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于的方程x2+(2m－1)+m2+3=0的根，则m的值为()A．－3 B．5或－3 C．5 D．－5或3（吉林省中考试题）16．已知：关于的函数的图象与轴总有交点，求的取值范围．（十堰市中考试题）17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，OC分别在轴，y轴上，点B的坐标为(2，2)，反比例函数（x>0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D．(1)求k的值；(2)若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形COPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．18．已知△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，动点P从点C出发，以每秒1cm的速度沿CA，AB运动到B点．(1)设P从C开始运动的距离为xcm，△BCP的面积为ycm2，把y表示成的函数；(2)从C出发几秒时，S△BCP=S△ABC?（荆州市中考试题）19．如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C(0，2)，交x轴于点M；BO的延长线交⊙O2于点D，且OB：OD=1：3．(1)求⊙O2的半径长；(2)求直线AB的解析式；(3)在直线AB上是否存在点P，使△MO2P与△MOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．（吉林省中考试题）20．已知抛物线l1：y=ax2－2amx+am2+2m+1(a>0，m>0)的顶点为A，抛物线l2的顶点B在y轴上，且抛物线l1和抛物线l2关于点P(1，3)成中心对称．(1)当a=1时，求l2的解析式和m的值；(2)设l2与轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．（浙江省竞赛试题）21．已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数，”试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．（全国初中数学联赛试题）22．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c都是平方数（即整数的平方），证明：(1)2a，2b都是整数；(2)a，b，c都是整数，并且c是平方数．反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，ax2+bx+c的值都是平方数？（全国初中数学竞赛试题）23．2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为P1，P2，P3，…，P2007．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂色方案；若不能，请说明理由，、（浙江省竞赛试题）24．甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于2人，甲队最少，丙队最多．同一球队的队员互相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场．统计员作了记录：参加比赛的共有13人，进行的比赛共有54场．求甲、乙、丙三支球队的队员数，并说明理由．（江苏省竞赛试题）专题26分而治之——分类讨论例1R＝2.4cm或3cm＜R≤4cm例2分三种情况讨论：①当x≤－3时，方程为－2x－1＝x＋10解得，符合x≤－3，故是一解；②当－3＜x≤2时，方程为5＝x＋10解得x＝－5，不符合－3＜x≤2，故舍去；③当x＞2时，方程为2x＋1＝x＋10解得x＝9，符合x＞2，故x＝9也是一解．综合①②③可得原方程的解为或x＝9．例3当k＝6时，得x＝2；当k＝9时，得x＝－3；当k≠6且k≠9时，解得，；当6－k＝±1，±3，±9时，x1是整数，这时k＝7，5，3，－3，15；当9－k＝±1，±2，±3，±6时，x2是整数，这时k＝10，8，11，7，12，15，3．综上所述，k＝3，6，7，9，15时，原方程的解是整数．例4（1）；（2）；（3）①如图1所示，设PM⊥PQ且PM＝PQ，点M在AB上，令PQ＝x，∵△CPQ∽△CAB，∴，解得．②如图2所示，当∠PMQ＝90°，且PM＝MQ，点M在AB上，令PQ＝y，∵△CPQ∽△CAB，∴，解得．例5①若n为奇数，设n＝2k＋1，k为大于2的整数，则可写成n＝k＋(k＋1)，显然符合要求．②若n为偶数，则可设n＝4k，或n＝4k＋2，k为大于1的自然数．当n＝4k时，n＝(2k－1)＋(2k＋1)，且易知2k－1与2k＋1互质，假如它们有公因子d≥2，则d＝2，但2k－1，2k＋1均为奇数，此为不可能；当n＝4k＋2时，n＝(2k－1)＋(2k＋3)，且易知2k－1与2k＋3互质，事实上假如它们有公因子d≥2，设2k－1＝nd，2k＋3＝md，m，n均为自然数，则有(m－n)d＝4，可见d＝4，矛盾．例6当a－b＞0时，取m＝1，n＝－1，则am＋bn＝a－b＞0成立，bm＋an＝b－a＜0成立，验证知满足所给不等式．当a－b＜0时，取m＝－1，n＝1，则am＋bn＝－a＋b＞0成立，bm＋an＝－b＋a＜0成立，也验证知满足所给不等式．能力训练1.2.2或22.53.80°或30°提示：分高AD在△ABC内部或外部两种情况．4.4个提示：先在坐标平面内描出A，B两点，连接AB，因题设中未指明△PAB的哪个角是直角，故应分别就∠A，∠B，∠P是直角来讨论．设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．若∠A＝90°，则P1(0，2)；若∠B＝90°，则P2(0，－3)；若∠P＝90°，则PA2＋PB2＝AB2，而PA2＝(2－x)2＋22，PB2＝(x＋3)2＋22，AB2＝(2＋3)2，∴(2－x)2＋22＋(x＋3)2＋22＝52，∴x＝1或x＝－2，即P3(0，1)或(0，－2)．5.2或提示：分A,B位于l同侧或异侧两种情况讨论．6.75°或15°提示：运用圆的对称性．7.3或3．8.S≤－且S≠－3提示：S＝2m－3，≥0，m≤且m≠0．9.B．10.D．提示：以A,B为顶点的平行四边形可以分为两类：①以AB为边的，且面积为2的平行四边形共6个；②以AB为对角线，且面积为2的平行四边形共3个.故满足条件的阵点平行四边形的个数为9个.11.C12.A13.A14.C提示：分△PAD∽△PBC及△PAD∽△CBP两种情况讨论.15.A16.提示：当函数是一次函数，即a2+3a+2=0且a+1≠0时，图像与x轴有交点；当a2+3a+2≠0且∆≥0时，图像与x轴有交点，综上知a的取值范围为a<-1.17.(1)在正方形OABC中，CB=OC=OA=AB=2，又点D是BC的中点，∴CD=1，即D（1,2）.而点D（1,2）在y=kx上，∴2=k1.∴k=2.（2）（і）当0<x<1时，如图1，过点P作PE⊥x轴交CB于点Q，交x轴于点E，过点P作PR⊥y轴于点R.∵点P坐标为（x，y），且由（1）题知，点P在函数y=2xx>0的图像上.∵19.（1）23（2）M（-23，0），直线AB解析式为y=33x+2.（3）△MOB是等腰三角形，且顶角∠MBO=120°20.（1）当a=1时，y=x-m2+2m+1.∵顶点A的坐标为（m，2m+1）.∵P点坐标为（1,3），折直线AB的解析式是y=kx+b，把点A，P的坐标代入，得2m+1=km+b①3=k+b②①-②得2m-3=(m-1)k.∵m≠1(若m=1，则A，B，P三点重合，不合题意)，∴k=2，b=1.∴直线AB的解析式是y=2x+1，得l2的顶点B的坐标为（0,1）.∵l2与l1关于点P成中心对称，∴抛物线的开口大小相同，方向相反，得l2的解析式是y=-x2+1.∵点A，B关于点P（1,3）成中心对称，如图1所示，作PE⊥y轴于点E，作AF⊥y轴于点F，则△BPE∽△BAF，∴AF=2PE，即m=2.（2）在Rt△ABF中，∵AB=22+42=25<5，∴当△ABC为等腰三角形时，只有以下两种情况：①如图2所示，若BC=AB=25，则OC=BC2-OB2=19，得C点坐标为（19，0）.∵C（19，0）在y=-ax2+121.a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b)，∴a+b+c是3的倍数.设a，b被3除后的余数分别为ra和rb，则ra≠0，rb≠0，则ra=1，rb=2或者ra=2，rb=1.此时2a+5b必为3的倍数，即c为合数，矛盾.故ra=rb，则ra=rb=1，或者ra=rb=2，此时a+2b必为3的倍数，从而a+b+C是9的倍数.∵2×11+5×5=47中，11+5+47=63,2×13+5×7=61中，13+7+61=81（63,81）=9,因此，9是n的最大可能值.22.（1）令x=0，得c=平方数；令x=±1，得a+b+c=m2,a-b+c=n2,其中m，n都是整数，∴2a=m2+n2-2c24设甲队有x人，乙队有y人，丙队有z人，根据题意，有x+y+z=13,x<y<z.注意到4十5十6=15>13，故甲队人数少于4人，即甲队只有2人或3人.于是，这三队的人数情况只能是如下四种情形:①x=2,y=3,z=8，比赛场数=2×(3+8)+3×8=46，不合题意;②x=2,y=4,z=7，比赛场数=2×(4+7)+4×7=50，不合题意;③x=2,y=5,z=6，比赛场数=2×(5+6)+5×6=52，不合题意;④x=3,y=4，z=6，比赛场数=3×(4+6)+4×6=54,符合题意.由此可知，甲、乙、丙三支球队的人数分别为3,4,6.专题27数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题；2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l】设，则的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．＝，于是问题转化为：在轴上求一点C(，0)，使它到两点A（－1，1）和B(2，3)的距离之和（即CA＋CB）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是厘米，面积是平方厘米，这样的直角三角形()A．不存在B．至多1个C．有4个D．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC中，∠A＝，∠B＝2∠C，∠B的平分线交AC于D，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F.求证：.（湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．【例4】当在什么范围内取值时，方程有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数与函数(≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得的取值范围．【例5】设△ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC为正三角形．（江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC三边长分别为，，，对应边上的高分别为，，，△ABC的面积为，则易得三个内接正方形边长分别为，，，由题意得，即．则，，适合方程.【例6】设正数，，满足方程组，求的值．（俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练1.不查表可求得tan的值为__________.2.如图，点A，C都在函数()的图象上，点B，D都在轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为______________.（全国初中数学联赛试题）3．平面直角坐标系上有点P(－1，－2)和点Q(4，2)，取点R(1，)，当________时，PR＋RQ有最小值.4.若，，要使成立，的取值范围是__________.5.已知AB是半径为1的⊙O的弦，AB的长为方程的正根，则∠AOB的度数是______________.（太原市竞赛试题）6.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是()A.(13，13)B．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)第2题图第6题图7．在△ABC中，∠C＝，AC＝3，BC＝4．在△ABD中，∠A＝，AD＝12.点C和点D分居AB两侧，过点D且平行于AC的直线交CB的延长线于E．如果，其中，，是互质的正整数，那么=()A.25B.128C.153D.243E.256（美国数学统一考试题）8．设，，分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A，∠B的关系是()A．∠B＞2∠AB．∠B=2∠AC．∠B＜2∠AD．不确定9．如图，，，，则()A．B．C．D．10.满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有()A.1个B．2个C．3个D．无穷多个如图，关于的二次函数的图象与轴交于A(，0)，B(，0)两点(＞0＞)，与轴交于C点，且∠BAC＝∠BCO.(1)求这个二次函数的解析式；(2)以点D（，0）为圆心⊙D，与轴相切于点O，过＝抛物线上一点E(，)(＞0，＜0)作轴的平行线与⊙D交于F，G两点，与抛物线交于另一点H．问是否存在实数，使得EF＋GH＝CF?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）12.已知正数，，，A，B，C满足＋A＝＋B＝＋C＝.求证：B十C＋A＜.13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG＝2，GF＝13，FC＝1，HI＝7，求DE．（美国数学邀请赛试题）14.射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC//QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上）．请写出可以取的一切值：_______________（单位：秒）．如图，已知D是△ABC边AC上的一点，AD：DC＝2：1，∠C＝，∠ADB＝．求证：AB是△BCD的外接圆的切线．（全国初中数学联赛试题）16.如图，在△ABC中，作一条直线∥BC，且与AB、AC分别相交于D，E两点，记△ABC，△BED的面积分别为S，K．求证：K≤．（长春市竞赛试题）17.如图，直线OB是一次函数的图象，点A的坐标为(0，2).在直线OB上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C的坐标．（江苏省竞赛试题）专题27数形结合例15提示:作出B点关于x轴的对称点B'(2,-3)，连结AB'交x轴于C，则AB'=AC十CB'为所要求的最小值.例2D提示:设两直角边长为a，b，斜边长为c，由题意得a+b+c=x，,又，得.因a,h为边长且是整数.故当得b<2，取不是整数;当得b>4，要使a,b为整数，只有两种取法:若b=5时，a=12(或b=12,a=5);若b=8时，a=6(或b=6,a=8).例3设AB=x，则BC=2x,AC=,BE=,DF=DA=.在Rt△AEB中求得AE=代入证明即可.例4如图，作出函数图象，由图象可以看出:当a=0时，y=0与