2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题19 平行四边形、矩形、菱形含答案

2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题19平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4(全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且满足AE+CF＝2.（1）判断△BEF的形状，并说明理由；（2）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE的取值范围.【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于点G，延长GP并在春延长线上取一点D，使得PD＝PC.求证：BC⊥BD，BC＝BD.(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB≌△DPB，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F.（1）在图1中证明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB，DG（如图3），求∠BDG的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；对于（2），用测量的方法可得∠BDG=45°，进而想到等腰直角三角形，连CG，BD，只需证明△BGC≌△DGF，这对解决（3），有不同的解题思路.对于（3）【例6】如图，△ABC中，∠C＝90°，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM与BN相交于点P.求证：∠BPM＝45°.(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN或AC，即作ME⊥AN，ME＝AN，构造平行四边形.能力训练A级1.如图，□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的面积为________.2.如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM周长为a，那么□ABCD的周长为________.(浙江省中考试题)3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连结AF与BC相交于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是________.(“希望杯”竞赛试题)4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠CEF的大小是________.(“希望杯”邀请赛试题)5.四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足，则这个四边形一定是（）A.两组角分别相等的四边形B.平行四边形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（）A.①②B.③④C.③D.①②③④7.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BD于E，延长AF，EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED.正确的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④(齐齐哈尔中考试题)8.如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果，则＝（）A.B.C.D.(“缙云杯”竞赛试题)9.已知四边形ABCD，现有条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D.从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE.（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF＝30°，证明你的结论.(江苏省南通市中考试题)11.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D为BC上任一点，DF⊥AC于F，DE⊥AC于E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.(河南省中考试题)12.如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积.(山东省竞赛试题)B级1.如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面积为2，则□ABCD的面积是________.(“希望杯”竞赛试题)2.如图，已知P为矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝________.(山东省竞赛试题)3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF长为________.(武汉市竞赛试题)4.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点处，交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为________.(山东省竞赛试题)5.如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为________.(全国初中数学联赛试题)6.如图，菱形ABCD的边长为4cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________.(“希望杯”邀请赛试题)7.如图，△ABC的周长为24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）A.30B.24C.16D.12(全国初中数学联赛试题)8.如图，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（）A.60°B.65°C.70°D.75°9.如图，已知∠A＝∠B，，，均垂直于，＝17，＝16，＝20，＝12，则AP+PB的值为（）A.15B.14C.13D.12(全国初中数学联赛试题)10.如图1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图2）.解答问题：（1）设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为，，则________（填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？(陕西中考试题)11.四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝120°，M为BC上一点，N为CD上一点.求证：若△AMN有一个内角等于60°，则△AMN为等边三角形.12.如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.求证：该六边形的各角相等.(全俄数学奥林匹克试题)专题19平行四边形、矩形、菱形例175°例2A只有命题③正确.例3（1）△BEF为正三角形提示：由△ABD和△BCD为正三角形，可证明△BDE≌△BCF，得：BE=BF，∠DBE=∠CBF.∵∠DBC=∠CBF+∠DBF=∠DBE+∠DBF=60°，即∠EBF=60°，故△BEF为等边三角形.(2)设，则可得：，当BE⊥AD时，有最小值为.∴.当BE与AB重合时，有最大值为2，∴.∴.例4提示：PC=EF=PD，，可证明△CPB≌△DPB.例5（1）略（2）45°（3）60°如图，延长AB至H，使AH=AD，连DH，则△AHD是等边三角形.∵AH=AD=DF，∴BH=GF，又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF，∴△DBH≌△DGF，∠BDH=∠GDF，∴例6如图过M作，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，得NE=AM，ME⊥BC.∵ME=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC.∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4.∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE.∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°.∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°.A级1.2.3.26°提示：作FG边上中线，连接EC，则EF=EC=AC.4.20°提示：连接AC，则△AFC≌△AEB，△AEF为等边三角形.5.C6.B7.D8.A提示：E、F分别为AB、BC中点.9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD是平行四边形的有以下9种情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥.10.提示：（2）当D为BC中点时，满足题意.11.提示：连AM，证明△AMF≌△BME，可证△MEF为等腰直角三角形.12.6提示：由△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC得：AC=DF=AE，AB=EF=AD.故四边形AEFD为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE=360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F到AD的距离为2，故.B级1.92.提示：可以证明.3.4.10提示：可先证：AF=CF.设，则，∴.∴.∴.5.提示：过A作AG⊥BD于G可证PE+PF=AG，由可得：.6.cm提示：A，C关于BD对称，连AE交BD于P.∴PE+PC=AE.又∵AE⊥BC且∠BAE=30°，∴为最小.7.B8.B提示：取DE中点为G，连结AG，则AG=DG=EG.9.C10.(1)=；图略（2）1；图略（3）3；图略（4）以AB为边的矩形周长最小，用面积法证明．11．证明：连AC，如图，则易证△ABC与△ADC都为等边三角形．(1)若∠MAN＝60°，则△ABM≌△ACN．∵AM＝AN，∠MAN＝60°，∴△AMN为等边三角形．(2)∠AMN＝60°，过M作CA的平行线交AB于P．∵∠BPM＝∠BAC＝60°，∠B＝60°，∴△BPM为等边三角形，BP＝BM，BA＝BC．∴AP＝MC．又∠APM＝120°＝∠MCN．∠PAM＝∠AMC－∠B＝∠AMC－60°＝∠AMC－∠AMN＝∠CMN，∴△PAM≌△CMN．∴AM＝MN，又∠AMN＝60°．故△AMN为等边三角形．12．提示：如图，分别过点A作AM∥EF，过点C作CP∥AB，过点E作EN∥AF，它们分别交于N，M，P点，得ABCM、CDEP、EFAN，则EF＝AN，AB＝CM，CD＝PE，BC＝AM，CP＝DE，AF＝NE，由条件得△NMP为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°．专题20正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．例题与求解【例l】如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤.其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点.连，．（1）探究线段，的关系，并加以证明．（2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变．探究线段，的关系，并加以证明．（大连市中考题改编）解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．【例3】如图，正方形中，，是，边上两点，且，于，求证：.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造的线段是解本例的关键．【例4】如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论．（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．【例5】如图，在正方形中，，分别是边，上的点，满足，分别与对角线交于点．求证：（1）；（2）．（四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．【例6】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图1），易证．（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造是解题的关键．图1图2图3图1图2图3能力训练A级1.如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为__________.（北京市竞赛试题）2.四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：①；②；③；④．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________.（把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.（青岛市中考试题）第1题图第3题图第4题图4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=__________.（河南省中考试题）5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为()A.B．C.D.（晋江市中考试题）第5题图第6题图6.如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为()A.12B．8C.D.（浙江省竞赛试题）7．如图，正方形中，，那么是()A.B．C.D.8．如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是()A．15B．12C．11D．109．如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证：．10.如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且．求证：平分．11.如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足．求证：．（扬州市中考试题）12.（1）如图1，已知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点．探究：线段的关系．（2）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（大连市中考试题）图1图2B级1.如图，在四边形中，，于，若四边形的面积为8，则的长为__________.2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则__________.（北京市竞赛试题）3.如图，在中，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中一定成立的是()A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④5.如图，是正方形，，是菱形，则与度数的比值是()A.3B．4C.5D.不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是()A.B．C.8D.E.（美国高中考试题）7.如图，正方形中，，是的中点，设，在上取一点，使，则的长度等于()A.1B．2C.3D.（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）（1）求证：；（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）`9.已知求证：．10.如果，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且．（北京市竞赛试题）12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接．求证：．（武汉市竞赛试题）专题20正方形例1①④⑤提示：在AD上取AH＝AE，连EH，则∠AHE＝45°，∴∠HED＝∠HDE＝22.5°，则HE＝HD．又∵HE＝HD＞AE，故②不正确．又，故③不正确．例2提示：(1)延长DM交CE于N，连DF，NF，先证明△ADM≌△ENM，再证明△CDF≌△ENF得FD＝FN，∠DFN＝∠CFE＝90°，故MD⊥MF且MD＝MF．(2)延长DM到N点，使DM＝MN，连FD，FN，先证明△ADM≌△ENM，得AD＝EN，∠MAD＝∠MEN，则AD∥EN．延长EN，DC交于S点，则∠ADC＝∠CSN＝90°．在四边形FCSE中，∠FCS＋∠FEN＝180°，又∵∠FCS＋∠FCD＝180°，故∠FEN＝∠FCD，再证△CDF≌△ENF．∴(1)中结论仍成立．例3提示：延长BC至点H，使得CH＝AE，连结DE，DF，由Rt△DAE≌Rt△DCH得，DE＝DH，进而推证△DEF≌△DFH，Rt△DGE≌Rt△DCH．例4设AG＝a，BG＝b，AE＝x，ED＝y，则由①得a－x＝y－b，平方得a2－2ax＋x2＝y2－2by＋b2．将②代入得a2－2ax＋x2＝y2－4ax＋b2，∴(a＋x)2＝b2＋y2，得a＋x＝．∵b2＋y2＝CH2＋CF2＝FH2，∴a＋x＝FH，即DH＋BF＝FH．延长CB至M，使BM＝DH，连结AM，由Rt△ABM≌Rt△ADH，得AM＝AH，∠MAB＝∠HAD．∴∠MAH＝∠MAB＋∠BAH＝∠BAH＋∠HAD＝90°．再证△AMF≌△AHF．∴∠MAF＝∠HAF．即∠HAF＝∠MAH＝45°．例5(1)如图，延长CD至点E1，使DE1＝BE，连结AE1，则△ADE1≌△ABE．从而，∠DAE1＝∠BAE，AE1＝AE，于是∠EAE1＝90°．在△AEF和△AE1F中，EF＝BE＋DF＝E1D＋DF＝E1F，则△AEF≌△AE1F．故∠EAF＝∠E1AF＝∠EAE1＝45°．(2)如图，在AE1上取一点M1，使得AM1＝AM，连结M1D，M1N．则△ABM≌△ADM1，△ANM≌△ANM1，故∠ABM＝∠ADM1，BM＝DM1，MN＝M1N．∵∠NDM1＝90°，从而M1N2＝M1D2＋ND2，∴MN2＝BM2＋DN2．例6(1)BM＋DN＝MN成立．如图a，把△AND绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，E、B、M三点共线，则△DAN≌△BAE，∴AE＝AN，∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，得△AEM≌△ANM，∴ME＝MN．∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN．(2)DN－BM＝MN．如图b，对于图2，连BD交AM于E，交AN于F，连EN，FM可进一步证明：①△CMN的周长等于正方形边长的2倍；②EF2＝BE2＋DF2；③△AEN，△AFM都为等腰直角三角形；④．A级1．75° 2．② 3． 4．3 5．C 6．B 7．B 8．B9．提示：△ABE≌△DCE，△ADF≌△CDF，证明∠ABE＋∠BAF＝90°．10．提示：延长CE交DA的延长线于G，证明FG＝FC．11．提示：连PC，则PC＝EF．12．(1)延长DM交EF于N，由△ADM≌△ENM，得DM＝NM，MF＝DN，FD＝FN，故MD⊥MF，且MD＝MF．(2)延长DM交CE于N，连结DF，FN，先证明△ADM≌△ENM，再证明△CDF≌△ENF，(1)中结论仍成立．B级1.2EQ\r(,2)2.60°°提示：MA2＋MC2＝MD2＋MB23.54.D5.C6.B7.B8.提示:⑴在AD上截取AF＝AM，∠DFM＝∠MBN，由△DFM≌△MBN，故DM＝MN.⑵证法同上，结论仍成立.⑶在AD延长线取一点E，使DE＝BM，可证明△DEM≌△MBN，故DM＝MN.9.提示：构造边长为1的正方形ABCD，P为正方形ABCD内一点，过P作FH∥AB交AD于F，交BC于H,作EG∥AD交AB于E，交CD于G.设AE＝a,则BE＝1－a.设AF＝b，则DF＝1－b.∴PA＝EQ\r(,a2＋b2),同理：PB＝EQ\r(,(1－a)2＋b2),PC＝EQ\r(,(1－a)2＋(1－b)2)，PD＝EQ\r(,a2＋(1－b)2).又∵PA＋PB＋PC＋PD≥2AC＝2EQ\r(,2)，∴命题得证.10.提示：MN＝BM＋DN，延长CD至M',使M'D＝BM，证明△ADM'≌△ABM，△AM'N≌△AMN，则∠MAN＝∠M'AN＝EQ\F(1,2)∠M’AM＝45°.11.提示：八边形八个内角分成两组，每一组四个角都相等.12.连结RN,MP，△MPC≌△BAC≌△BRN，则RB＝MP，又△RNM≌△PCB，则RM＝BP，从而四边形RBPM是平行四边形，故BP∥RM.专题21梯形阅读与思考梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形．如图所示：例题与求解【例1】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的长度分别为，，那么AB的长是___________.（荆州市竞赛试题）解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形．【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形．（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．（山东省中考试题）解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形．【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.（内蒙古自治区东四盟中考试题）解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手．【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，问：满足条件∠BPC＝900的点P有多少个？（全国初中数学联赛试题）解题思路：根据AB＋DC＝AD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形．【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点．（1）求证：△PQS是等边三角形；（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积；（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.【例6】如图，分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．（山东省竞赛试题）解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质．关键是要构造能运用条件EP＝PF的图形．能力训练A级1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，则下底角的度数是__________.（天津市中考试题）2.如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则△ADE的面积为______________.（宁波市中考试题）3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________.4.如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，如果，那么梯形ABCD的面积为__________.（成都市中考试题）5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是()A．＞B．＝C．＜D．无法确定6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，则DC的长度是()A.B．8C.D.E.（美国高中考试题）7．如图，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是()A.300B.450C.600D.900（陕西省中考试8．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为()A．B．C．D．3（鄂州市中考试题）9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E，F，G．求证：PE＋PF＝BG．（哈尔滨市中考试题）10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G．求证：．11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；（2）．（深圳市中考试题）12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN//AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP＝．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由．②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．（江西省中考试题)B级1.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E，使DE＝DB，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF＝__________.（山东省竞赛试题）2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD＝，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_________.（“希望杯”邀请赛试题）3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_________.（湖北赛区选拔赛试题）4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO＝3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_________.（安徽省中考试题）第4题图第5题图第6题图5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为()A．B．2SC．D．（重庆市竞赛试题）6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF的值为()A．4B．C．5D．6（全国初中数学联赛试题）如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①若AB＋DC＝BC，则∠BEC＝；②若∠BEC＝，则AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分线，则∠BEC＝；④若AB＋DC＝BC，则CE是∠DCB的平分线.其中真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个（重庆市竞赛试题）8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于()A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm（“希望杯”邀请赛试题）9.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中点，MN⊥AD.求证：（山东省竞赛试题）10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.（全国初中数学联赛试题）11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.（“东方航空杯”上海市竞赛试题）12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交AB于E，AB＝12，四边形OEBF的面积为16.（1）求值.（2）已知，点P从A出发以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时出发，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成