2023-2024学年湖南省张家市市级名校中考二模数学试题含解析

2023-2024学年湖南省张家市市级名校中考二模数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°2．的相反数是A． B．2 C． D．3．点是一次函数图象上一点，若点在第一象限，则的取值范围是（）．A． B． C． D．4．有个零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的主视图是A． B． C． D．5．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（）A．5 B． C． D．6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m﹣1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞ B．m＞且m≠2 C．﹣＜m＜2 D．＜m＜27．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是()A． B． C． D．8．若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：49．如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（）A．三棱柱 B．正方体 C．三棱锥 D．长方体10．下列运算正确的是（）A．a12÷a4=a3 B．a4•a2=a8 C．（﹣a2）3=a6 D．a•（a3）2=a711．下列运算结果正确的是（）A．3a﹣a=2B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．a（a+b）=a2+bD．6ab2÷2ab=3b12．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知x+y＝8，xy＝2，则x2y+xy2＝_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为AB的中点，将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点D′处，则D′B长为_____．15．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_____．16．分解因式：ab2﹣9a=_____．17．我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=_____．18．已知一次函数的图象与直线y=x+3平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如下表：类型价格进价（元/盏）售价（元/盏）A型3045B型5070（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各进多少盏．（2）若设商场购进A型台灯m盏，销售完这批台灯所获利润为P，写出P与m之间的函数关系式．（3）若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型台灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元．20．（6分）如图，∠AOB=90°，反比例函数y=﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象过点B，且AB∥x轴．（1）求a和k的值；（2）过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y=于另一点C，求△OBC的面积．21．（6分）已知四边形ABCD为正方形，E是BC的中点，连接AE，过点A作∠AFD，使∠AFD=2∠EAB，AF交CD于点F，如图①，易证：AF=CD+CF．（1）如图②，当四边形ABCD为矩形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；（2）如图③，当四边形ABCD为平行四边形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．图①图②图③22．（8分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB=．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．23．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MOA的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？（3）若点Q是直线y=﹣x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，边结DE，OE、OD，求证：DE是⊙O的切线．25．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．26．（12分）计算：|﹣2|+8+（2017﹣π）0﹣4cos45°27．（12分）（感知）如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．（拓展）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．（应用）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，菱形CEFG的面积是_______．（只填结果）

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解析】

解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．故选C．【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键．2、B【解析】

根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.3、B【解析】试题解析：把点代入一次函数得，．∵点在第一象限上，∴，可得，因此，即，故选B．4、C【解析】

根据主视图的定义判断即可．【详解】解：从正面看一个正方形被分成三部分，两条分别是虚线，故正确．故选：．【点睛】此题考查的是主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键．5、C【解析】

先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】∵AB=6，BC=8，∴AC=10（勾股定理）；∴AO=AC=5，∵EO⊥AC，∴∠AOE=∠ADC=90°，∵∠EAO=∠CAD，∴△AEO∽△ACD，∴，即，解得，AE=，∴DE=8﹣=，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．6、D【解析】

根据一元二次方程的根的判别式的意义得到m－2≠0且Δ＝(2m－1)2－4(m－2)(m－2)＞0,解得m＞且m≠﹣2，再利用根与系数的关系得到，m﹣2≠0，解得＜m＜2，即可求出答案．【详解】解：由题意可知：m－2≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m﹣2）2＝12m﹣15＞0，∴m＞且m≠﹣2，∵（m﹣2）x2+（2m﹣1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，∴﹣＞0，m﹣2≠0，∴＜m＜2，∵m＞，∴＜m＜2，故选：D．【点睛】本题主要考查对根的判别式和根与系数的关系的理解能力及计算能力，掌握根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围是解题的关键．7、B【解析】

由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A选项不合题意；B、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B选项与题意相符；C、球的左视图与主视图都是圆，故C选项不合题意；D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D选项不合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.8、C【解析】

由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案．【详解】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴这两个三角形的面积比为4：1．故选C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．9、A【解析】【分析】根据三视图的知识使用排除法即可求得答案.【详解】如图，由主视图为三角形，排除了B、D，由俯视图为长方形，可排除C，故选A．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，做此类题时可利用排除法解答．10、D【解析】

分别根据同底数幂的除法、乘法和幂的乘方的运算法则逐一计算即可得．【详解】解：A、a12÷a4=a8，此选项错误；

B、a4•a2=a6，此选项错误；

C、（-a2）3=-a6，此选项错误；

D、a•（a3）2=a•a6=a7，此选项正确；

故选D．【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、乘法和幂的乘方的运算法则．11、D【解析】

各项计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式=2a，不符合题意；

B、原式=a2-2ab+b2，不符合题意；

C、原式=a2+ab，不符合题意;D、原式=3b，符合题意；

故选D【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12、B【解析】

根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：，解得：，

故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1【解析】

将所求式子提取xy分解因式后，把x+y与xy的值代入计算，即可得到所求式子的值．【详解】∵x+y=8，xy=2，

∴x2y+xy2=xy（x+y）=2×8=1．

故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点是因式分解的应用，解题关键是将所求式子分解因式．14、．【解析】

试题分析：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB=2.5，过D′作D′E⊥BC，∵将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点D′处，∴CD′=AD=A′D′，∴D′E==1.5，∵A′E=CE=2，BC=3，∴BE=1，∴BD′=，故答案为．考点：旋转的性质．15、【解析】

先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．【详解】设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴O为正方形ABCD的中心，∴∠BOC=90°，∵OQ⊥BC，OB=CO，∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，∴OQ=OC×cos45°=R；设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，∵正△EFG是⊙O的外接圆，∴∠OGF=∠EGF=30°，∴OH=OG×sin30°=R，∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，故答案为：1．【点睛】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．16、a（b+3）（b﹣3）．【解析】

根据提公因式，平方差公式，可得答案．【详解】解：原式=a（b2﹣9）=a（b+3）（b﹣3），故答案为：a（b+3）（b﹣3）．【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．17、﹣1【解析】

根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x轴对称，从而得到关于b的方程，可以解答本题．【详解】由题意函数y=1x1+bx的交换函数为y=bx1+1x．∵y=1x1+bx=，y=bx1+1x=，函数y=1x1+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，∴﹣=﹣且，解得：b=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．18、y=x﹣1【解析】分析：根据互相平行的两直线解析式的k值相等设出一次函数的解析式，再把点（﹣2，﹣4）的坐标代入解析式求解即可．详解：∵一次函数的图象与直线y=x+1平行，∴设一次函数的解析式为y=x+b．∵一次函数经过点（﹣2，﹣4），∴×（﹣2）+b=﹣4，解得：b=﹣1，所以这个一次函数的表达式是：y=x﹣1．故答案为y=x﹣1．点睛：本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的k值相等设出一次函数解析式是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；（2）P=﹣5m+2000；（3）商场购进A型台灯20盏，B型台灯80盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1900元．【解析】

（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100-x）盏，然后根据进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；（2）根据题意列出方程即可；

（3）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．【详解】解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏，根据题意得，30x+50（100﹣x）=3500，解得x=75，所以，100﹣75=25，答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；（2）设商场销售完这批台灯可获利P元，则P=（45﹣30）m+（70﹣50）（100﹣m），=15m+2000﹣20m，=﹣5m+2000，即P=﹣5m+2000，（3）∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的4倍，∴100﹣m≤4m，∴m≥20，∵k=﹣5＜0，P随m的增大而减小，∴m=20时，P取得最大值，为﹣5×20+2000=1900（元）答：商场购进A型台灯20盏，B型台灯80盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1900元．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数与一元一次方程的应用.20、（1）a=2，k=8（2）=1.【解析】分析：（1）把A（-1，a）代入反比例函数得到A（-1，2），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，根据相似三角形的性质得到B（4，2），于是得到k=4×2=8；

（2）求的直线AO的解析式为y=-2x，设直线MN的解析式为y=-2x+b，得到直线MN的解析式为y=-2x+10，解方程组得到C（1，8），于是得到结论．详解：（1）∵反比例函数y=﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），∴a=﹣=2，∴A（﹣1，2），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥⊥x轴于F，∴AE=2，OE=1，∵AB∥x轴，∴BF=2，∵∠AOB=90°，∴∠EAO+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，∴∠EAO=∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴，∴OF=4，∴B（4，2），∴k=4×2=8；（2）∵直线OA过A（﹣1，2），∴直线AO的解析式为y=﹣2x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y=﹣2x+b，∴2=﹣2×4+b，∴b=10，∴直线MN的解析式为y=﹣2x+10，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，∴M（5，0），N（0，10），解得，，∴C（1，8），∴△OBC的面积=S△OMN﹣S△OCN﹣S△OBM=5×10﹣×10×1﹣×5×2=1．点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．21、（1）图②结论：AF=CD+CF.（2）图③结论：AF=CD+CF.【解析】试题分析：（1）作，的延长线交于点.证三角形全等，进而通过全等三角形的对应边相等验证之间的关系；（2）延长交的延长线于点由全等三角形的对应边相等验证关系.试题解析：（1）图②结论：证明：作，的延长线交于点.∵四边形是矩形，由是中点，可证≌（2）图③结论：延长交的延长线于点如图所示因为四边形是平行四边形所以//且,因为为的中点，所以也是的中点，所以又因为所以又因为所以≌所以因为22、（1）①证明见解析；②23【解析】试题分析：（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．试题解析：（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，又∵∠APB=∠BPC=120°，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴PAPB∴PB2=PA•PC=12，∴PB=23；（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△ACE和△ABD中，AC=AD∠EAC=∠BAD∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；②证明：∵△ADF∽△CFP，∴AF•PF=DF•CF，∵∠AFP=∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，∴P点为△ABC的费马点．考点：相似形综合题23、（1）y=x2+x﹣4；（2）S关于m的函数关系式为S=﹣m2﹣2m+8，当m=﹣1时，S有最大值9；（3）Q坐标为（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．【解析】

(1)设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c,然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可;(2)利用抛物线的解析式表示出点M的纵坐标，从而得到点M到x轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解;(3)利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解.【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣4；（2）∵点M的横坐标为m，∴点M的纵坐标为m2+m﹣4，又∵A（﹣4，0），∴AO=0﹣（﹣4）=4，∴S=×4×|m2+m﹣4|=﹣（m2+2m﹣8）=﹣m2﹣2m+8，∵S=﹣（m2+2m﹣8）=﹣（m+1）2+9，点M为第三象限内抛物线上一动点，∴当m=﹣1时，S有最大值，最大值为S=9；故答案为S关于m的函数关系式为S=﹣m2﹣2m+8，当m=﹣1时，S有最大值9；（3）∵点Q是直线y=﹣x上的动点，∴设点Q的坐标为（a，﹣a），∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，∴点P的坐标为（a，a2+a﹣4），∴PQ=﹣a﹣（a2+a﹣4）=﹣a2﹣2a+4，又∵OB=0﹣（﹣4）=4，以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，∴|PQ|=OB，即|﹣a2﹣2a+4|=4，①﹣a2﹣2a+4=4时，整理得，a2+4a=0，解得a=0（舍去）或a=﹣4，﹣a=4，所以点Q坐标为（﹣4，4），②﹣a2﹣2a+4=﹣4时，整理得，a2+4a﹣16=0，解得a=﹣2±2，所以点Q的坐标为（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2），综上所述，Q坐标为（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题是对二次函数的综合考查有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质,平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难