2023-2024学年遂宁市射洪中学高二数学（下）第一次月考试卷附答案解析

-2024学年遂宁市射洪中学高二数学（下）第一次月考试卷（考试时间：120分钟满分：150分）2024.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第I卷（选择题）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列结论不正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．已知函数，则等于（

）A．1B．C． D．03．设是函数的导函数，则的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

4．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．5．若函数在处有极小值，则（）A． B． C．或 D．6．已知函数与其导函数的图象如图，则满足的x的取值范围为A． B．C． D．7．已知，则（

）A． B． C． D．8．若存在唯一的正整数，使得不等式成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．下列导数运算错误的有（

）A． B．C． D．10．已知，函数有两个极值点，则（

）A．B．时，函数的图象在处的切线方程为C．为定值D．时，函数在上的值域是11．已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．12．已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，，，，且，，则（

）A． B． C． D．第II卷（非选择题）三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，，且，则.14．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝，则不等式≤0的解集为.15．若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是．16．已知函数，都有，则的取值范围为.四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．利用导数求下列函数的单调区间.(1)；(2)，.18．已知函数.(1)求的导数；(2)求函数的图象在处的切线方程.19．已知函数．(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．20．已知函数(1)若函数在处取得极值，求的值；(2)若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.21．南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数．(1)求；(2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．22．已知函数的图象在处的切线经过点.(1)求的值及函数的单调区间；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.1．B【解析】利用导数运算，对选项逐一分析，由此确定不正确的选项.【详解】对于A选项，，正确.对于B选项，，不正确.对于C选项，，正确.对于D选项，，正确.故B选项结论不正确.故选：B【点睛】本小题主要考查导数运算，属于基础题.2．B【分析】利用求导法则结合导数定义求解即可.【详解】由得，所以，所以故选：B3．C【分析】利用导数求出原函数的单调性，选择图像即可.【详解】由，得或，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，由图知，只有C选项的图象符合.故选：C.4．B【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，，又是割线AB的斜率，显然，所以.故选：B5．A【分析】求得，由，求得或，分别求得函数的单调区间，结合函数极值点的定义，即可求解.【详解】由函数，可得，因为函数在处取得极小值，可得，解得或，当时，令，解得或；令，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，所以在处有极大值，不符合题意，舍去；当时，令，可得或；令，可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，所以在处有极小值，符合题意，综上可得，.故选：A.6．D【分析】观察图像可得的图像与原函数的图像，结合图像可得满足的x的取值范围.【详解】解：观察图像可得，导函数的图像过点（0，0），（，0），原函数的图像过点（0，0），（2，0），观察图像可得满足的x取值范围为.，故选D.【点睛】本题主要考查函数的图像的判定与应用，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.7．D【分析】利用正弦函数的单调性可得，利用导数可证不等式成立，故可判断，故可得三者大小关系.【详解】，设，则，故在上为减函数，故即，所以，故，故选：D.8．D【分析】将问题转化为在时有唯一的正整数解，研究（）单调性，进而可得只需即可满足题意.【详解】由题意知，在时有唯一的正整数解.设（），则，又，，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以要满足在时有唯一的正整数解，则只需要，又，，所以.故选：D.9．ACD【分析】由常见函数的导数公式和导数的运算法则以及复合函数的求导法则，对每一个选项中的函数进行求导，可得答案.【详解】选项A.

,所以选项A不正确.选项B.,所以选项B正确.选项C.,所以选项C不正确.选项D.,所以选项D不正确.故选：ACD10．ABC【分析】选项：由函数的导数等于0的方程有两个根可得；选项：由导函数的几何意义得到切线的斜率，再由点斜式写出方程即可；选项：由函数的极值点互为相反数代入计算可得；选项：由导数求出极值，再求出区间端点的值，即可得到函数在闭区间上的值域.【详解】对于A，由题意，当时，，无极值点，当时，，时，，函数单调递减，无极值点，当时，令，得，解得，当，解得或，上单调递增，当，解得，上单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，所以当时，函数有两个极值点，故正确；对于B，若，则，则，则，，所以函数在处的切线方程为，即，故正确；对于C，因为，当时，由，得，则，所以为定值，故C正确；对于D，当时，则，则，令，解得或，所以当时，，，，上的值域是，故错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：对含参的问题，要注意对参数的讨论；利用导数求切线方程问题要注意是“在”某处还是“过”某处；利用导数求函数在闭区间上的最值或值域问题，要注意舍去不在区间内的极值.11．BD【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，对于AB选项，，即，可得，A错B对；对于CD选项，，即，D对，C无法判断.故选：BD.12．AD【分析】利用导数分别求出，的单调性，画出图像，数形结合得出的范围，根据和的单调性即可判定.【详解】因为的定义域为R，，令，即，所以在上为增函数，在上为减函数，且，当时，当时，的定义域为，，令，即，所以在上为增函数，在上为减函数，且，当时，当时，如图：易知，且，因为，所以，因为，在上为增函数，所以，即，同理，即，所以，又，所以，故A正确，B错误；又，故D正确，C错误；故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数得出，的单调性，借助和的单调性可得结果.13．【分析】对给定函数求导，再求出在3处的导数值即得.【详解】由，求导得，则，由，求导得，所以.故答案为：14．##或【分析】不等式的解集即为函数的单调减区间，根据根据函数的图像求出单调减区间，即可得出答案.【详解】解：根据函数图像可知，函数在和上递减，所以不等式≤0的解集为.故答案为：.15．【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解.【详解】，由题意在上有解，即在上有解，根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，故，故实数的取值范围是.故答案为：16．【分析】设，则已知变为，构造函数，则在上是单调递增函数，则恒成立，分离参数，进而可得出答案.【详解】由，不妨设，则，所以，可变形化简为，构造函数，则，所以在上是单调递增函数，所以恒成立，即在上恒成立，当时，，又时，，而，所以，所以，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.17．(1)的递增区间为，无递减区间；(2)的递减区间为，无递增区间.【分析】（1）（2）对函数求导，根据定义域或区间内导数的符号判断单调区间即可.【详解】（1）由在定义域上恒成立，故的递增区间为，无递减区间；（2）由在上恒成立，故的递减区间为，无递增区间.18．(1)(2)【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得；（2）求出，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】（1）因为函数，所以；（2）因为，所以函数在处的切线方程为，即.19．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定图象，可证明曲线与直线只有一个交点.（2）将既存在极大值，又存在极小值，转换为有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，函数，求导得：，令，得；令，得；则函数在上递增，在上递减，故，所以曲线与直线只有一个交点.（2）函数的定义域为，求导得，设，令，解得，.因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，则，解得且，综上所述：的取值范围为.20．(1)(2)【分析】（1）利用极值点的意义得到，从而求得，再进行验证即可得解；（2）分类讨论的取值范围，利用导数得到的性质，从而得到且，解之即可得解.【详解】（1）因为，则，因为函数在处取得极值，所以，解得，当时，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.（2）由，其中，当时，可得，单调递增，此时函数至多有一个零点，不符合题意；当时，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为，又，且当时，，所以要使得函数有两个零点，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.21．(1)(2)答案见解析【分析】（1）在直角三角形中，由边角关系分别表达，进而求出，则可得栈道总长度；（2）利用导数研究函数单调性求最值即可.【详解】（1）由题意知，，，则，，所以.所以栈道总长度为（2）建造栈道的费用为，则，令，得，又，解得，当时，，当时，，则在单调递减，在单调递增，故，此时，故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元.22．(1)，单调递增区间为，，无单调递减区间(2)【分析】（1）首先得到，再求出导函数，即可得到切线的斜率，再由两点的斜率公式求出，再利用导数求出的单调区间；（2）依题意可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，结合（1）中函数的单调性，得到在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，利用导数说明，即可得解.【详解】（1）因为，所以，又，则，又函数的图象在处的切线经过点，所以，解得，所以，函数的定义域为，又，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以当时恒成立，即恒成立，所以在，上单调递增.即的单调