人教社高中数学新教材a版高中数学

人教社高中数学新教材A版6-8章重疑难点易错简析（四）

第六章立体几何初步

§6.1两条直线之间的位置关系

一、知识导学

1.平面的基本性质.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的

点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且

所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三

点，有且只有一个平面.推论1：经过一-条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平

面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且

只有一个平面.

2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.

3.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两

边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交

直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

4.异面直线.异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距

禺.

5.反证法.会用反证法证明一些简单的问题.

二、疑难知识导析

1.异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.

2.异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成

的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.

3.异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，

4.异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是

找到它们的公垂线.

5.异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果bua,Aec且

Aeb,aca=A,贝Ua与b异面.2—

三、经典例题导讲/\

［例1］在正方体ABCD-A|B|gD|中,0是底面ABCD的中心，M、N分别是棱D%、%

的中点，则直线0M（）.

A.是AC和MN的公垂线.B.垂直于AC但不垂直于MN.

C.垂直于MN,但不垂直于AC.D.与AC、MN都不垂直.

错解:B.

错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.

正解：A.

［例2］如图，已知在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，G,H

G

:.EF//w,EF=EBD,

又黑■=器=2,.\GH/7BD,GH=TBD,

四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,

,/器=2,F分别是AD.AC与FH交于一点.

直线EG,FH,AC相交于一点

正解：证明：•:E、F分别是AB,AD的中点，

1_

：.EF/7BD,EF=-2BD,

BGDH

乂VGC_-=HC_-=Z2，

1

GH〃B1),GH=3BD,

四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,

EGu平面ABC,FHu平面ACD,

Te面ABC,且Te面ACD,又平面ABCA平面ACD=AC,

：.TeAC,：.直线EG,FH,AC相交于一点T.

［例3］判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b

都平行.

错解：认为正确.

错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就

不能过P作平面与a平行.

正解：假命题.

［例4］如图，在四边形ABCD中，已知AB〃CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面a

相交于点E,G,H,F.求证：E,F,G,H四点必定共线（在同一条直线上）.

分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线.

证明AB//CD,AB,CD确定一个平面dA

又：ABna=E,ABU0,Eea,Eep,A

即E为平面a与。的一个公共点.X

同理可证F,G,H均为平面a与|3的公共点./pV\

V两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直//W

线,F/

E,F,G,【I四点必定共线.

点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，

而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.

［例5］如图，已知平面a,B,且aAB=1.设梯形ABCD中，AD〃BC,且ABUa,

CDUf5,求证：AB,CD,/共点（相交于一点）.

分析：AB,CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M,只要证明M在/上，而

/是两个平面a,B的交线，因此，只要证明MCa,且MCB即可.

证明：梯形ABCD中，AD〃BC,

■AB,CD是梯形ABCD的两条腰.

...AB,CD必定相交于一点,

设ABACD=M.

又；ABUa,CDUB,MGa,且MeB.

Mean。.

又：an6=/,/.MeI,

即AB,CD,1共点.

点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的.

［例6］已知：a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a,b,c,d共

面.

分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条

直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交.在此基础上，根据平面的性

质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内.

证明1°若当四条直线中有三条相交于•点,不妨设a,b,c相交于一点A直线d和

A确定一个平面a.

又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G

则A,E,F,GGa.

A,ECa,A,EGa,

••aa.

同理可证bUa,cUa.

/.a,b,c,d在同一平面a内.

2°当四条直线中任何三条都不共点时，如图.

这四条直线两两相交，

则设相交直线a,b确定一个平面a.

设直线c与a,b分别交于点H,K,

则H,KGa.

又；H,KSc,二cUa.

同理可证dUa.

a,b,c,d四条直线在同一平面a内.

点评：证明若干条线（或若干个点）共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线（或点）确

定一个平面，然后再证明其余的线（或点）均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点''这一

种情况.因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每•句话的含义.

［例7］在立方体ABCD-ABCD中，

(1)找出平面AC的斜线B»在平面AC内的射影;

(2)直线B»和直线AC的位置关系如何？

(3)直线B%和直线AC所成的角是多少度？

解：(1)连结BD,交AC于点0

DDy1平面AC,；.3。就是斜线85在平面AC上的射影.

(2)B»和AC是异面直线.

(3)过0作BDI的平行线交DD|于点M,连结MA、MC,则NMOA或其补角即为异面直线

AC和BD|所成的角.

不难得到MA=MC,而0为AC的中点，因此MO_LAC,即NMOA=90。，

••・异面直线BDf与AC所成的角为90°.

［例8］已知：在直角三角形ABC中，NA为直角，PA_L平面

ABC,BD±PC,垂足为D,求证：AD±PC

证明：PA_L平面ABC；.PA1BA

又TBA±ACBAJ_平面用C

4〃是劭在平面必C内的射影

又•••BDVPC：.ADVPC.(三垂线定理的逆定理)

四、典型习题导练

1.如图，P是AABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、

BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为()

A.2对B.3对C.4对D.6对

2.两个正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC和BF

所成角的大小为.

3.在棱长为a的正方体ABCD—ABCD中，体对角线DB】与面对角线BG

所成的角是,它们的距离是.

\4oz->BC————>CD=J，DD.=V5，

4.长方体4BC。—48clR中，221

则AC和以4所成角的大小为.

5.关于直角AOB在定平面a内的射影有如下判断：①可能是0。的角;

②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180。的角.

其中正确判断的序号是.(注：把你认为正确的序号都填上).

6.在空间四边形48(%中，ABYCD,/〃上平面以力，

求证：BHLCD

7.如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱

PA、PB上的点，且与P点不重合.

求证:EF和DH是异面直线.

§6.2直线与平面之间的位置关系

一、知识导学

1.掌握空间直线与平面的三种位置关系（直线在平面内、相交、平行）.

2.直线和平面所成的角，当直线与平面平行或在平面内时所成的角是0°,当直线与平面垂

直时所成的角是90°,当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的

锐角.

3.掌握直线与平面平行判定定理（如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么

这条直线和平面平行）和性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平

面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行）.

4.直线与平面垂直的定义是：如果一条直线和一个平面内所有直线垂直，那么这条直线和

这个平面垂直；掌握直线与平面垂直的判定定理（如果一条直线和平面内的两条相交直

线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）和性质定理（如果两条直线同垂直于一个平

面，那么这两条直线平行）.

5.直线与平面的距离（一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距

离，叫做这条直线和这个平面的距离）.

6.三垂线定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂

直，那么它也和这条斜线垂直）、逆定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一

条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直）.

7.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射

影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③

垂线段比任何一条斜线段都短.

二、疑难知识导析

1.斜线与平面所成的角关键在于找射影，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的

直线所成的一切角中最小的角.

2.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用.

3.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用，同时

还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条相交直线”，

如果用“无数”或“两条”都是错误的.

4.直线与平面的距离•般是利用直线上某一点到平面的距离.“如果在平面的同一侧有两点

到平面的距离（大于0）相等，则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、

“距离相等”.

三、经典例题导讲

［例1］已知平面a〃平面£,直线/u平面a,点Pw直线/,平面a、4间的距离为8,则

在p内到点P的距离为10,月.到I的距离为9的点的轨迹是（）

A.一个圆B.四个点C.两条直线D.两个点

错解:A.

错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢.

正解:B.

［例2］a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面（）.

A.有且只有一个B.一个面或无数个

C.可能不存在D.可能有无数个

错解：A.

错因：过a与b垂直的平面条件不清.

正解：C.

［例3］由平面a外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜

足分别为A,B,C,0为/ABC的外心，求证：OPLa.

错解：因为。为/ABC的外心，所以OA=OB=OC,又因为

PA=PB=PC,P0公用，所以/POA,ZPOB,/POC都全等,

所以NPOA=NPOB=NPOC=C,所以0Pla.

2

错因：上述解法中NPOA=NPOB=NPOC=RT/,是对的，但它们为什么是直角呢？这里

缺少必要的证明.

正解：取BC的中点D,连PD、0D,

PB=PC,OB=OC,:.BC1PD、BC1OD,:.BC1面PO。，；.BC1PO,

同理ABLPO,r.POla.

［例4］如图,在正三棱柱ABC-ABG中,AB=3,AAi=4,M为AAi的中点,

P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC,到M点的最短路线长为

底,设这条最短路线与CC的交点为N,

求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

（2）PC和NC的长;

（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角

函数表示）

错因：（1）不知道利用侧面BCC.Bi展开图求解，不会找回的线段

在哪里；（2）不会找二面角的平面角.

正解：（1）正三棱柱ABC-ABC的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形，其对角线长为

V92+42=V97

（2）如图，将侧面BG旋转120°使其与侧面AG在同一平面

上，点P运动到点R的位置，连接MPi,贝ijMPi就是由点P

沿棱柱侧面经过CC,到点M的最短路线.

设PC=X,则P£=X,

在放AMA6中，（3+x）2+22=29,%=2

.•..=生=2,；.的，

MAPXA55

(3)连接PPi(如图)，则PPi就是平面NMP与平面ABC的交

线，作NHLPP；于H,又CC」平面ABC,连结CH,由三垂

线定理的逆定理得，CH1PP1.

：./N"C就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角o

在RfAP//C中,vZPCH=-ZPCP.=60\:.CH=\

2

NC_4

在RrANCH中，tanNNHC

CW-5

［例5］P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC〃平面BDQ.

分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只

要在该平面内找到•条直线和已知直线平行就可以了.

证明：如图所示，连结AC,交BD于点0,

•••四边形ABCD是平行四边形.

•,.AO=CO,连结0Q,则0Q在平面BDQ内，且0Q是

\APC的中位线，；.PC〃OQ.

VPC在平面BDQ外，.'.PC〃平面BDQ.

点评：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找•条直线与已知直线

平行.

［例6］在正方体ABCD—ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点,0是底面ABCD的中点.求

证：EF垂直平面BBQ.

证明：如图，连接AC、BD,则0为AC和BD的交点.

IE、F分别是AB、BC的中点，

；.EF是△ABC的中位线，，EF〃AC.

平面ABCD,ACu平面ABCD

...AC_LBB由正方形ABCD知：AC1B0,

又B0与BB,是平面BB,0上的两条相交直线,

...ACJ_平面BBQ（线面垂直判定定理）

VAC/7EF,

EFJ_平面BBQ.

［例7］如图，在正方体ABCD-ABCD中，E是BBi的中点，0是底面正方形在CD的中心,

求证：0E1平面ACDi.

分析：本题考查的是线面垂直的判定方法.根据线面垂直的判定方法，要证明OE_L平面

ACD.,只要在平面AC以内找两条相交直线与0E垂直.

证明：连结BD、A,D、BD,在△BED中,

VE.0分别是RB和DB的中点,

；.EO〃B山.

VB.A11面AADD,

ADA,为DBi在面AADD内的射影.

又一ADJAiD,

AAD.lDBi.

同理可证BiDJ_D£.

又•••ADSCDi=/,ADi,D£u面ACM,

AB.Dl平面ACDi.

VB,D/70E,

AOEl平面ACM.

点评：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在

证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找

垂直，即勾股定理或余弦定理的应用.

［例8］.如图,正方体ABCD-ABCD中，点N在BD上，点M

在B£上,且CM=DN,求证:MN〃平面AABB.

证明：

证法一.如图，作ME/7BC,交BBi于E,作NF〃AD,交AB于F,连

EF则EFu平面AAiBiB.

ME_ByM_NF=BN

BC-BtCAD-BD，

.ME_=BN=NF

••~BC~~BD~~AD，ME=NF

又ME〃BC〃AD〃NF,；.MEFN为平行四边形,

.-.MN//EF.MN〃平面AABB.

证法二.如图，连接并延长CN交BA延长线于点P,连B.P,则BFu平面AA.B.B.

.DN_CN

,/^NDC^^NBP,••标一W

•CM_DN_CN

又CM=DN,BQ=BD,••西一丽■一布♦

MN〃BR

•••BiPu平面AABB,MN//平面AA,BiB.

证法三.如图，作MP〃BB”交BC于点P,连NP.

・•・MP〃BBi,.•.籍=皆・

BD=B,C,DN=CM,=BN.

.CM.—DN_.CP.—DN.

•MB、-NB，••PB-NB.

：.NP〃CD〃AB..•.面MNP〃面AABB.

；.MN〃平面AABB.

四、典型习题导练

1.设a,b是空间两条垂直的直线，且b〃平面夕.则在“a〃平面a、”aua

“a与a相交”这三种情况中，能够出现的情况有（）.

A.0个B.1C.2个D.3个

2.个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形仅有一条对角线与这个截

而平行，那么此四个交点围成的四边形是（）.

A.梯形B.任意四边形C.平行四边形D.菱形

3.若一直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段的位置

关系是（）.

A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面

4.空间四边形的边AB、BC、CD、DA的中点分别是E、F、G、H,若两条对角线BD、

AC的长分别为2和4,则EG。*的值（）.

A.5B.10C.20D.40

5.点P、Q、R、S分别是空间四边形ABCD四边的中点，则：当AC_L8O时，四边形

PQRS是形；当AC=BD时，四边形PQRS是____形.。

6.已知两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，M、

N分别在它们的对角线AC,BF±,且CM=BN，[JL

求证：MN/7平面BCE.

7.如图，已知平行六面体ABCD-A^iCiD,的底面ABCD是菱形,

且ZQCB=NGCD=ZBCD=60°.

证明C.C1BD;

CD

当CG的值为多少时，能使A£_L平面GBD?请给

出证明.

§6.3平面与平面之间的位置关系

一、基础知识导学

1.空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）.

2.理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果•个平面

内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行

平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）.

3.理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角

是直二面角，就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，

那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线

的直线垂直于另一个平面）.

4.二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算；二

面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，

这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法（定义法、三垂线

定理及逆定理法、垂面法等）.

二、疑难知识导析

1.两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.

2.面面平行也是推导线面平行的重要手段：还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两

个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两

条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反

复运用.

3.对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”

要会证明.

4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用I.

5.注意二面角的范围是［0/］,找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二

面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式COS0=/，用的时候要进行交代.在二

面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果

an^=Z,.0.al/,贝方法三：公式cos6='等，求二面角中解三角形

时注意垂直（直角）、数据在不同的面上转换.

三、经典例题导讲

［例1］一直线与直二面角的两个面所成的角分别为a,B,则a+B满足（）.

A.a+0<90°B.a+6W90°C.a+B>90°D.a+B290°

错解:A.C

错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况.

正解：B./\

［例2］.如图，△ABC是简易遮阳棚，A,B是南北方向上两个定点，/\\>B

正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面/V--/

积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（）.

A.90°B.60°C,50°D,45°'丫

错解:A.

正解：C

［例3］已知正三棱柱ABC-ABG底面边长是10,高是12,过底面一边AB,作与底面ABC成60°

角的截面面枳是

错解：50百.用面积射影公式求解：5成=乎*100=25后$截=言7=50百.

错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.

正解：48VL

［例4］点0是边长为4的正方形ABCD

的中心，点E,尸分别是4。，8c的

中点.沿对角线AC把正方形A8CO折

成直二面角D—AC—B.

(1)求NE。尸的大小；

(2)求二面角七一。/一A的大小.

错解：不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.

正解：(1)如图，过点E作EG±AC,垂足为G,过点F作FH±AC,垂足为II,则

EG=FH=yf2,GH=272.

因为二面角〃一47一8为直二面角,

EF2=GH2+EG2+FH2-2EGFHcos9Q0

=(2V2)2+(V2)2+(V2)2-0=12.

又在中，OE=OF=2,

“CLOE2+OF2-EF222+22-(273)2

cosNEOF=------------------=---------------—

WEOF2x2x22

NE"=120°.

(2)过点G作GM垂直于尸。的延长线于点M,连EM.

•.•二面角D-AC—B为直二面角，.•.平面DAC_L平面BAC,交线为AC,又；EG_LAC,AEG±

平面BAC.：GMJ_0F,由三垂线定理，得EM_L0F.

二ZEMG就是二面角E-OF-A的平面角.

在RtAEGM中，ZEGM=90°,EG=yf2,GM=1OE=1,

2

r-＜「,

tanZ.EMG=-------=V2.ZEMG=arctanV2.

GM

所以，二面角E-Ob-A的大小为arctanJ5

［例5］如图，平面a〃平面P〃平面Y,且B在a、y之间，若a和B的距离是5,

B和Y的距离是3,直线/和a、6、y分别交于A、B、C,AC

=12,则AB=,BC=.

解：作/'±a,

a〃B〃y,厂与B、Y也垂直，

/'与a、3、Y分别交于Ai、Bi、Ci.

因此，AIBI是a与B平面间的距离，是B与丫平

面间的距离，AC】是a与丫之间的距离.

AiB1—5,B।C1—31A1C।—8,又知AC—12

x

AB—4用5x12_15A8_4向y3_9

AC—，，AB=—y~BC~B}Ci,BC=M=5

159

答：AB=EBC=7

［例6］如图，线段PQ分别交两个平行平面a、B于A、B两

点，线段PD分别交a、B于C、D两点，线段QF分别交a、

B于F、E两点，若PA=9,AB=12,BQ=12,Z\ACF的面

积为72,求4BDE的面积.

解：•.,平面QAFCla=AF,平面QAFA3=BE

又；a〃BAF〃BE

同理可证：AC〃BD..^.NFAC与NEBD相等成互补

由FA〃BE,得：BE：AF=QB：QA=12：24=1：2,ABE=1AF

由BD〃AC,得：AC：BD=PA：PB=9：21=3：7,ABD=JAC

又一△ACF的面积为72,即4A/7•AC♦sin/E4C=72

SXDBEWBEBD-sinEBD=/IFAC-sinZFAC

4WAQACsin/E4C="72=84,

答：ABDE的面积为84平方单位.

［例7］如图，B为AACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、AABD、ABCD

的重心.

（1）求证：平面MNG〃平面ACD

（2）求SAMNG：SMDC

解：（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、

H

M、N、G分别为AABC、AABD>Z\BCD的重心，

皿［右

则有：aMwP=NavF=GBHG=”2

连结PF、FH、PH有MN〃PF

又PFu平面ACD

MN〃平面ACD

同理：MG〃平面ACD,MGCIMN=M

平面MNG〃平面ACD.

MG_BG_2

（2）由（1）可知：丽一曲一y

：.MG=jPH,又PH=/A0

.T.MG=1A£)

同理：^iG=}AC,MN=jCD,

AMNG^AACD,其相似比为1：3

:辛^MNG：SMDC-1：9

［例8］如图，平面EFGH分别平行于CD,AB,E、F、G、H分别在

BD、BC、AC、AD上，且CD=a,AB=b,CD1AB.

（1）求证:EFGH是矩形.

（2）求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大.

⑴证明：：CD〃面EFGH,而面EFGIIA面BCD=EF.，CD〃EF

同理HG〃CD.；.EF〃HG

同理HE〃GF....四边形EFGH为平行四边形

由CD〃EF,HE〃AB

AZIIEF为CD和AB所成的角或其补角，

又：CD_LAB....HELEF....四边形EFGH为矩形.

(2)解：由⑴可知在ABCD中EF〃CD,其中DE=m,EB=n

,EFBE._n

••--=----,..Er=-----Cl

CDDBm+n

由HE/7AB

.HEDEm

・・--=----,HE=-----b

ABDBm-\-n

又：四边形EFGH为矩形

・厂根，nmn,

..S矩形EFGH=HE•EF=-----•b•-----a=-------7ab

m+nm+几(〃？+〃)

\'m+n^2yfnm,；・(m+n)4mn

>??H]

・・.当且仅当m=n时取等号，即E为BD的中点时,

(m+n)4

S矩形EFGIF-----------------5abW-ab,

(m+n)-4

矩形EFGH的面积最大为-ab.

4

点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.

四、典型习题导练

1.山坡面a与水平面成30°的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角，沿公路

向上去1公里时，路基升高____米.

2.过正方形ABCD的顶点A作线段PAJ_平面ABCD,且PA=AB,则平面ABP与平面CDP所成

二面角(小于或等于90°)的度数是.

3.在60°二面角的棱上，有两个点A、B,AC、BD分别是在这个

二面角的两个面内垂直于AB的线段.已知：AB=4cm,AC=6cm,BD

=8cm,求CD长.

4.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,

且/ASB=/ASC=60°,ZBSC=90°.

求证：平面ABCLT7-面BSC.

B

5.已知：如图，SAJ_平面ABC,AB1BC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB,

SB=BC,求二面角E—BD—C的度数.

§6.4空间角和距离

一、知识导学

1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作

法及运算.

2.掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距

离及两平行平面间距离的求法.

二、疑难知识导析

1.求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一

个内角.

2.求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等.

3.空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内

的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球

心到截面圆心的距离由勾股定理得d=J内—产

4.球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的

大圆以及小圆.

5.要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求血枳和体积中的作用.

三、经典例题导讲

［例1］平面。外有两点A,B,它们与平面a的距离分别为a,b,线段AB上有一点P,且

AP:PB=m:n,则点P到平面a的距离为.

m+n

错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况.

正解：-------或I--------1.

in+nm+n

［例2］与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有个.

错解：4个.

错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧.

正解：7个.

［例3］一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F,且知SD：

DA=SE：EB=CF：FS=2：1,若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（）

错解：A、B、C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体

计算而得.

正解：D.

当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多

B

-S及DE.%一.SD,SE,sin/DSE,h

r,3_________________

一・SA・SB・sinNASB・6

3

_SDSEA］__222_JL

-SAS5X-333-27

A

最多可盛原来水得1一一百=空1I、"-----

27271JB

［例4］斜三棱柱ABC-AB3的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等//

于b,一条侧棱AAi与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求这个三棱ML/

柱的侧面积.

错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法人仁\，丁

不当，即“过BC作平面与AAi垂直于M"；三是由条件“NAiAB=NAiACn

ZAA,在底面ABC上的射影是NBAC的平分线”不给出论证.B

正解：过点B作BM_LAAi于M,连结CM,在aABM和aACM中，：AB=AC,ZMAB=

NMAC=45°,MA为公共边，.'.△ABM丝△ACM,.•./AMC=NAMB=90°,

即平面BMC为直截面，XBM=CM=ABsin45°=—a,；.BMC周长为2xJa+a=(l+板)a,

22

且棱长为b,.*.SM=(1+V2)ab

［例5］已知CA_L平面a,垂足为A；ABUa,BD1AB,且BD与a成30°角；AC=BD=b,

AB二a.求C,D两点间的距离.

解：本题应分两种情况讨论：

(1)如下左图.C,D在a同侧：过D作DFJ.a,垂足为F.连BF,则/。鸟尸=30'，于是

DF=jBD=^

根据三垂线定理BD±AB得BF±AB.C

E

在RtZkABF中,

^ylAB2+BF2=Ja+步

bbb

过D作DE_LAC于E,则DE=AF,AE=DF=，.所以EC=AC-AE=b-5=5.故

CD=^EC2+DE=4EC1+AF2=依/+/+步=以+/

（2）如上右图.C,D在a两侧时•：同法可求得CD=Jl+3/

点评：本题是通过把一知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求

解.

［例6］如图，在棱长为1的正方体ABC。-与G?

中，p是侧棱CG上的一点，CP=m.

（1）试确定根，使得直线AP与平面60,与所

成角的正切值为3后；

（2）在线段AG上是否存在一个定点。，使得对

任意的相，2。在平面AP3上的射影垂直于AP.

并证明你的结论.

解：解法一（1）连AC,设AC与BD相交于点O,AP与平面BO。⑸相交于点，，连结

0G,因为

PC〃平面BDD{B{,平面C平面APC=OG,

|

故OG〃PC,所以，OG=-PC=—.

22

又AO_LBD,AO_LBB1,所以AOL平面,

故NAGO是AP与平面BDD}B}所成的角.

V2

QA-f—1

在RtZ\AOG中，tan/AGO-=-----=3J2,即m=—.

GOm3

所以，当!!1=!时，直线AP与平面80。田।所成的角的正切值为3J5.

3''

（2）可以推测，点Q应当是AiG的中点01,因为

DQJAiG,且D,O|1A,A,所以DQ」平面ACC】A|,

又APu平面ACCiA”故D|O,±AP.

那么根据三垂线定理知，DQ|在平面APDi的射影与AP垂直。

解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(l,0,0),B(l,1,0),P(0,1,

m),C(0,1,0),D(0,0,0),Bi(l,1,1),D|(0,0,1)

所

60=(—1,—1,0),四=(0,0』),”

又由北•丽=0,ACBB,

面BBQQ的一个法向量。

设AP与平面所成的角为6,则

府♦码223应

sin0=cos(——0)。依题意有

研明72.71+m2丁+(3五)2

解得机=1。故当机=1时，直线AP与平面8⑸2。所成的角的正切值为3J5。

33

(2)若在A|G上存在这样的点Q,设此点的横坐标为X,则Q(x,1—x,1),

丽=(x,l-x,0)。依题意，对任意的m要使DQ在平面AP。上的射影垂直于AP,

―­——•1

等价于DQJ_AP=AP-AQ=0=—x+(l-x)=0ox=5.即Q为A】G的中点

时.，满足题设要求。

［例7］在梯形ABCD中，ZADC=90°,AB/7DC,AB=1,DC=2,AD=亚,P为平面ABCD

外一点，PAD是正三角形，且PA_LAB,

求：(1)平面PBC和平面PAD所成二面角的大小;

(2)D点到平面PBC的距离.

解：(1)设ADnBC=E,可知PE是平面PBC和平面

PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE,则N

EPD=90°,PD1PE

又PA_LAB,DA±AB,故AB_L平面PAD.

,/DC/7AB,:.DC_L平面PAD.

由PE1PC得PE1PD,ZDPC是平面PBC与平面PAD

所成二面角的平面角.PD=6,DC=2,

tanZDPC=^-=y［2,ZDPC=arctanTI.

PD

(2)由于PEJ_PD,PE±PC,故PE_L平面PDC,

因此平面PDCJ_平面PBC,

作DHLPC,H是垂足，则DH是D到平面PBC的距离.

在RtaPDC中，PD=4i,DC=2,PC=R,DH=PDDC=迪.

PC3

平面PBC与平面PAD成二面角的大小为arctanV2,D到平面PBC的距离为

［例8］半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B和A与C的

兀冗

球面距离都是2，B与C的球面距离是不，求过A、B、C三点的截面到

球心0距离.

分析：转化为以球心0为顶点，AABC为底面的三棱锥问题解决.

由题设知AOBC是边长为1的正三角形，^AOB和aAOC是腰长为1的全等的

等腰三角形.

取BC中点D,连AD、0D,易得BC_L面AOD,进而得面AOD_L面ABC,过。作OH_LAD于H,则

OHiL面ABC,OH的长即为

所求，在RtAADB中,AD=冬故在Rt，011=笔？=翠

点评：本题若注意到H是AABC的外心，可通过解aABC和△AHO得0H.或利用体积法.

四、典型习题导练

1.在平面角为60°的二面角a-/-/?内有一点P,P到a、B的距离分别为PC=2cm,

PD=3cm,则P到棱I的距离为.

2.异面直线a,b所成的角为60。，过空间一定点P,作直线/,使