人教版九年级数学上册同步压轴题专题02一元二次方程的四种实际应用（原卷版+解析）

专题02一元二次方程的四种实际应用【基础知识点】应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率(降低率)问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率(降低率)，n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.类型一、增长率问题例1.某蔬菜种植基地2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增加20吨．若蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程正确的是(

)．A． B． C．D．【变式训练1】疫情形势下，我国坚持“动态清零”的防控措施，使很多地区疫情蔓延形势得以有效控制，并逐步恢复生产．某商店今年1月份的销售额仅2万元，3月份的销售额已达到4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是(

)A．50% B．62.5% C．20% D．25%【变式训练2】河南省地方教育经费总投入逐年增加，2017年为2154.67亿元，2019年为2668.52亿元．若设教育经费总投入平均每年增长的百分率为，则下面所列方程中正确的是(

)A． B．C． D．【变式训练3】华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的平均百分比是(

)A．10% B．20% C．15% D．25%类型二、利润问题例1.某商场销售一种小商品，每件进货价为190元，调查发现，当销售价为210元时，平均每天能销售8件；当销售价每降低2元时，平均每天就能多销售4件．(1)商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280元，求每件小商品的销售价应定为多少元？(2)设每件小商品降价元，每天的销售总利润为元，求与之间的函数关系式；每件小商品降价多少元时，每天的总利润最大？最大利润是多少？【变式训练1】冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元．经市场调查，每月的销传量y(万件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/件)606268销售量y(万件)403624(1)直接写出y与x之间的函数表达式为；(2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？(3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20a万件，最大利润为400万元，求a的值．【变式训练2】商店销售某种利润率为50%的商品，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克，设涨价后的销专单价为x(元/千克)，且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．(1)该商品的购进价格是每千克多少元？(2)若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？(3)求该商店每天销售这种商品的最大利润．【变式训练3】冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销．某超市经销一种冰墩墩的玩偶，每件成本为60元．经市场调研，当该玩偶每件的销售价为70元时，每个月可销售300件，若每件的销售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件．(1)若该超市某月销售这种造型玩偶200件，求这个月每件玩偶的销售价．(2)若该超市某月销售这种造型玩偶获得利润4000元，求这个月每件玩偶的销售价．类型三、工程问题例1．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．【变式训练1】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？【变式训练2】某公司主营铁路建设施工．(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值．【变式训练3】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？类型四、面积问题例1.如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米;在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门.已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米?【变式训练1】如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形．(1)若这个矩形的面积等于，求的长度；(2)这个矩形的面积可能等于吗？若能，求出的长度，若不能，说明理由；(3)若这个矩形为黄金矩形(与之比等于黄金比)，求该矩形的面积．(结果保留根号)【变式训练2】如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则的值为_________．【变式训练3】如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．(1)所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所用旧墙AD的长；(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．专题02一元二次方程的四种实际应用【基础知识点】应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率(降低率)问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率(降低率)，n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.类型一、增长率问题例1.某蔬菜种植基地2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增加20吨．若蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程正确的是(

)．A． B． C．D．【答案】A【详解】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为40(1+x)x=20，故选：A．【变式训练1】疫情形势下，我国坚持“动态清零”的防控措施，使很多地区疫情蔓延形势得以有效控制，并逐步恢复生产．某商店今年1月份的销售额仅2万元，3月份的销售额已达到4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是(

)A．50% B．62.5% C．20% D．25%【答案】A【详解】设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2(1+x)万元，三月份销售额为2(1+x)2万元，由题意可得：2(1+x)2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5(不合题意舍去)，答：该店销售额平均每月的增长率为50%；故选A．【变式训练2】河南省地方教育经费总投入逐年增加，2017年为2154.67亿元，2019年为2668.52亿元．若设教育经费总投入平均每年增长的百分率为，则下面所列方程中正确的是(

)A． B．C． D．【答案】A【详解】解：设教育经费总投入平均每年增长的百分率为，则，故选：A【变式训练3】华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的平均百分比是(

)A．10% B．20% C．15% D．25%【答案】B【详解】设平均降低率为x，起始价格为m元，根据题意，得，解得x=0.2或x=1.8(舍去)，故选B．类型二、利润问题例1.某商场销售一种小商品，每件进货价为190元，调查发现，当销售价为210元时，平均每天能销售8件；当销售价每降低2元时，平均每天就能多销售4件．(1)商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280元，求每件小商品的销售价应定为多少元？(2)设每件小商品降价元，每天的销售总利润为元，求与之间的函数关系式；每件小商品降价多少元时，每天的总利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)每件小商品的销售价应定为204元或200元销售(2)每件小商品降价8元时，每天的总利润最大，最大利润是288元【解析】(1)解：设每件小商品的销售价应降价x元销售，由题意得：，∴，解得或，∴每件小商品的销售价应降价10元或6元销售，∴每件小商品的销售价应定为204元或200元销售；(2)解：由题意得，∴当时，w最大，最大为288元，∴每件小商品降价8元时，每天的总利润最大，最大利润是288元．【变式训练1】冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元．经市场调查，每月的销传量y(万件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/件)606268销售量y(万件)403624(1)直接写出y与x之间的函数表达式为；(2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？(3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20a万件，最大利润为400万元，求a的值．【答案】(1)；(2)每件冰墩墩定价为58元；(3)【解析】(1)由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有，整理即可得：；(2)，解得，∵尽量给客户优惠，∴每件冰墩墩定价为58元；(3)设销售总利润为w，由题意，得，又∵，则∵二次项系数，抛物线开口向下，①若，则当时，，不符合题意，舍去②若，即当时，随的增大而增大，∴时，最大，此时解得，(舍)，∴．【变式训练2】商店销售某种利润率为50%的商品，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克，设涨价后的销专单价为x(元/千克)，且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．(1)该商品的购进价格是每千克多少元？(2)若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？(3)求该商店每天销售这种商品的最大利润．【答案】(1)该商品的进价为20元；(2)商店某天的利润为750元，求售价为25元；(3)x＝32时，W有最大值960元．【解析】(1)设进价为a元，∵利润率为50%，∴a(1+50%)＝30，解得：a＝20，所以该商品的进价为20元；(2)∵物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．∴12≤x﹣20≤18，∴x的取值为32≤x≤38根据题意得：[100﹣10(x-30)](x﹣20)＝750∴(400﹣10x)(x﹣20)＝750，解得：x1＝35，x2＝25(不合题意，舍去)，∴x＝35，∴商店某天的利润为750元，求售价为35元；(3)设每天的利润为W，则W＝(400﹣10x)(x﹣20)＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10(x﹣30)2+1000，∵12≤x﹣20≤18，∴32≤x≤38，∵-10＜0，抛物线开口向下，故x＞30时，y随x增大而减小，∴x＝32时，W有最大值960元．【变式训练3】冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销．某超市经销一种冰墩墩的玩偶，每件成本为60元．经市场调研，当该玩偶每件的销售价为70元时，每个月可销售300件，若每件的销售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件．(1)若该超市某月销售这种造型玩偶200件，求这个月每件玩偶的销售价．(2)若该超市某月销售这种造型玩偶获得利润4000元，求这个月每件玩偶的销售价．【答案】(1)这个月每件玩偶的销售价80元；(2)这个月每件玩偶的销售价80元【解析】(1)解：设这个月每件玩偶的销售价为x元，根据题意300-(x-70)×10=200，解得x=80元，答：这个月每件玩偶的销售价80元；(2)解：设这个月每件玩偶的销售价y元，根据题意，得：(y-60)[300-10(y-70)]=4000，整理得：y=80，答：这个月每件玩偶的销售价80元．类型三、工程问题例1．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．【答案】(1)300；(2)5【解析】(1)解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：，解得：，答：小型设备的使用时间为300小时；(2)解：由(1)得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，∴，整理得：，解得：(舍去)．即m的值为5．【变式训练1】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子；(2)400【解析】(1)解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子由题意得：解得：答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．(2)解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子由题意得：整理得：解得：，，又∵甲、乙两组加工的天数均为整数∴∴200+100×2=400(袋)答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．【变式训练2】某公司主营铁路建设施工．(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值．【答案】(1)4；(2)2．【解析】(1)解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米，∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍，∴，解之得：，∴桥梁施工最多是4千米．(2)解：由(1)可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，∵总成本为254亿元，∴，解之得：，由题意可知：二季度平地施工里程为千米，隧道施工里程为千米，桥梁施工里程为千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3，∵二季度总成本与一季度相同，∴，即，解之得：(舍去)或，故．【变式训练3】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线【解析】(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．依题意，得：，解得：，(不合题意，舍去)．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．(2)解：设增加x条生产线．，解得，(不符合题意，舍去)，答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．类型四、面积问题例1.如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米;在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门.已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米?【答案】14米，10米【解析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32-2x+2)米，由题意得x•(32-2x+2)=140，整理，得x2-17x+70=0，解得x1=10，x2=7，当垂直于墙的边长为7米，则平行于墙的长度为32-14+2=20(米)＞16米，舍去；当垂直