两角和与差的正弦、余弦和正切公式-高中数学人教A 版 （2019）必修第一册同步提高练习

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式-高中数学人教A版（2019）必修第一

册同步提高练习

冗

1.已知tana=2,则tan（a-一）等于（）

4

1144

A.-B.—C.--D.-

3355

3

2.己知a为锐角，则2tana+———的最小值为（）

tan2a

A.1B.2C.72D.V3

3.在平面直角坐标系xOy中，已知角。的终边在直线y=2x上，则cos2a的值为（）

2323

A.---B._-c.一D.

5555

4.已知。为锐角，且百sin2a=2sina，则cos2a等于（)

2214

A.-B.c.——D.--

3939

5.已知sin（a-色）=一1,

aG(0,g),则cosoc=()

33

A2立+也B2夜-6「276+125/6-l

D.

6666

6.已知A3C中，A、8、C的对边分别为a、b、C.若a=c=#+JE，且A=75°,则b等于（）

A.2B.5/6—c.4-273D.4+2V3

4(7T、

7.已知a为第三象限角，tana=一,贝ijcos——\-a=()

3（4）

A夜B五「7A/2D.一述

10101010

8.已知cos|a+—=_VT5,则sin2a=()

、4)10

42,42

A.-B.一C.i一D.±-

5555

9.已知函数/'（■1）=65皿（8）85（5）+852的一！（0>0）,若/（%）在一工三上单调递增，则口

的取值范围为（)

A.(0,2]B.(0,1]c.r-D.

10.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比相=避二1的近似值,

2

黄金分割比还可以表示成2sin18°，则鬲4-病=(

).

2cos2270-1

A.4B.V5+1C.2D.V5-1

sin8=±,则色的值为(

11.在A3C中，内角A3所对的边分别为。/且A=2以)

5h

3438

A.-B.一C.D.

5545

271

12.已知sin2a=—,则cos?a+一)

34

£12

A.B.一C.D.

6323

13.tan15。的值是.

14.已知sina=2cosa，则sin2a=

(3K、

15.函数/(x)=cos2x+3cos亍一了)的最大值为

54

16.已知函数/(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是X=7，若

g(x)=asinx+cosx=Asin(s;+e)(A>0,69>0,0<，<])表示一个简谐运动，则其初相是.

17.计算sin21°cos9°+cos21°sin9。的结果是.

18.函数,/(x)=2sinA-sin2A,在［0,2句的零点个数为

19.在AA8C中，AB=5,N5AC的平分线交边5c于。.若NAZ)C=45°.3£)=JL则

sinC=

-，4(、c„,1+sec2a-tanla

20.已知cot(45。+a)=2,则-----------------

1+secla+tanla

21.在A3C中，内角4,B,C所对的边分别为〃，b,c.已知。，b,c成等差数列，且

3asinC-4csin3=0.

(2)求sin(2A+]).

(1)求cosA的值;

22.补充问题中横线上的条件，并解答问题.

问题：已知a=,b=,写出函数/(x)=2cos2cix+sin历c的一个周期，并求/(1)在

[--7,7-]上的最大值.

46

3+C/7V\

23.在①(sin5-sinC)~=sin?A-sinBsinC,②bsin---=«sinB,③asinB=/?cos[4—不J这

三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.

问题：ABC的内角A,B,。的对边分别为。，包c,若也a+b=2c，，求A和C.

注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分.

24.在A3C中，三个内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,且以0114=(2。一313113.

(1)求A的大小；

(2)若。=2折，且ABC的面积为126，求h+c的值.

25.在三角形ABC中，角A,B,。分别对应这边。，b,c.已知sinB=三，且从=〃•.

(1)求」一+」一的值；

tanAtanC

(2)若accos3=12,求a+c的值.

26.如图带有坐标系的单位圆。中，设NAOx=a,ZBOx=j3fAAOB=a-。，

(1)利用单位圆、向量知识证明：cos(a-/?)=coscrcos/?+sinasin(3

eI兀45

(2)若a£一,兀,cos(cr-/7)=--,tana=--,求cos4的值

(2

27.已知顶点在坐标原点，始边在x轴正半轴上的锐角a的终边与单位圆交于点A,将角a的

终边绕着原点0逆时针旋转。［。＜。＜|j得到角P的终边.

sin2a,一一

(I)求7-------一一的值；

2cosa-sirra

(2)求sin求cos。的取值范围.

28.如图，矩形ABC。的四个顶点分别在矩形AB'C'D'的四条边上，AB=3,BC=5.如果AB与A6'的

夹角为c,那么当a为何值时，矩形A'8'C'。的周长最大？并求这个最大值.

参考答案

1.A

71

分析：利用两角差的正切可求tan（a-了）的值.

,冗、tana-l2-11

解答:tan(a----)=-----------

41+tana1+2-3

故选：A.

点评：本题考查两角差的正切，此类问题，利用公式直接计算即可，本题属于基础题.

2.D

3

分析：方法一：根据。为锐角，可知tana>0,再对2tana+——化简，可得

tan2a

31(3)

2tana+———tana+------,再利用基本不等式即可求出结果;

tan2a21tan6z)

方法二：根据。为锐角，可知sina>0,cosa>0,再利用同角基本关系和二倍角关系对2tana+--------

tan2a

31[sinex3cosex.\

化简，可得2tana+——=-------+———,再利用基本不等式即可求出结果.

tan2a2(cosasina)

解答：方法一：为锐角，・・・tana>0,

・33(l-tan2。)j(3、1I~

・・2tanerd---------=2tan+--------------=—tanad--------2—x2jtana---------

tan2a2tana21tanaJ2\tana

37C

当且仅当tana=------,即tana=6，a时等号成立.

tana3

方法二：为锐角，Asin(7>0,cosez>0,

.332sina3cos2a4sin2«+3cos2asin2a+3cos2a

♦・2tana+--------=---------+----------=----------------------=--------------------

tan2acosasin2a2sinacosa2sinacosa

1(sina3cosasina3cosa

+--------6,

21cosasinacosasina

sina3cosa71

当且仅当r-----=——即a=］时，等号成立.

cosasina

点评：本题主要考查了三角函数同角的基本关系和二倍角公式应用，以及基本不等式在求最值中的应用.

3.B

分析：由任意角的三角函数的定义求出tana,再利用二倍角公式和齐次式化简cos2a,代入tana的值化

简即可.

解答：在角。的终边直线y=21上任取一点R>,2M（mwO）4iJtana=--=2,

八2.cos2a-sin2a1-tan2a1-43

cos2a=cosa-sm2a=----z--------z—=-------z-=------=——，

cosa+sin-al-tan~a1+45

故选:B.

点评：本题考查任意角三角函数的定义，二倍角公式以及同角三角函数的基本关系,属于基础题.

4.C

分析：由6$11120=25由2可得以）5二=~^~，再利用cos2a=285?a-1计算即可.

解答：因为2gsinacosa=2sina，sinawO,所以cosa==~，

所以cos2a=2cos2a-1=——1=——.

故选：C.

点评：本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.

5.A

兀4_兀冗

分析：由ae（0,2）,求出仁一§的范围和cos（a-g）的值，利用cosa=8S[3-1+§]化简计算可

得答案.

解答：由a£（0,9,可得a£（一作，?），则cos（a一生）=?近，

，33。33

71TC

所以cosa=cosf（6Z）+—]

33

.冗、7i.兀、.7i2A/21L>/320+百

=cos（a----）cossm（z6Z----）sm—=-----x——z（——）x——=-------------

333332326

故选：A

点评：本题考查两角和与差的余弦公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题.

6.A

分析：由正弦的和角公式可求得sinA=@±^,B=180-A-C,利用正弦定理即可求得结果.

4

解答：sinA=sin75。=sin（30。+45。）=逆土^,

由。=c知，C=75°,B=30°,sinB=—,

2

a5/64-5/2

4

由正弦定理sinBsinA卡+仓Z?=4sinB=2.

故选:A.

点评：本题考查正弦的和角公式及正弦定理在解三角形中的应用，难度较易.

7.A

分析：先由同角的三角函数的关系式求出COS。，Sina,再利用两角和的余弦公式可求cosff+a1的值.

解答：由已知得cosa=—,sina=—，所以cos—•\-a=——(cosa-sina)=——，

55(4J21710

故选：A.

点评：本题考查同角的三角函数的基本关系式以及两角和的余弦，前者注意角的范围对函数值符号的影响,

本题属于基础题.

8.A

分析：由cos［a+可求得cos(2a+¥］的值，由于cos(2a+工］=-sin2a即可解得所求.

I4J10I2)I2)

解答：cos[a+工]=----,cos4--j=2cos**ct1=—，即一sin2a=—，所以

sin2a=—

5

故选:A.

点评：本题考查了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式，考查了学生的计算能力，难度较易.

9.D

JT-rr

分析：利用二倍角公式和辅助角公式化简函数/(X),根据/(X)在一二,二上单调递增，建立不等关系,

|_64

解出。的取值范围.

(D717171

I-/、------1---2-----,

解答：因为f(x)=Y3sin2s+匕再呸竺一！=sin(2<yx+义］,由题意得1362解得

CD7T71兀

------1---<—

262

故选：D

点评：本题考查正弦函数单调性的应用，考查三角恒等变换，属于中档题.

10.C

分析：把加=2sinl8。代入“曲一而中,然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值.

2cos2270-1

解答：解：由题可知2sinl8°=/%='^^->

2

所以病=4sinl8°.

则鬲4-病_2sinl8°，4—4sin?18°

'2cos227°-1-2cos2270-1

_2sinl80・2cosl80

cos54°

_2sin36。

cos54°

=2.

故选：C.

点评：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是基

础题.

11.D

分析：由正弦定理和正弦的二倍角公式化f=2cos8,再由角的范围可得选项.

b

.一_sinAsin2B八八

解答：在AABC中，由正弦定理丁=二一二———=2cosB,

bsinBsinB

jr

且A+5e（0,万），即0<33〈乃，所以0<8<一,

.3八4a8

又sinBn=-,cosB=-,「.一=一,

55h5

故选：D

点评：本题考查正弦定理和二倍角公式，注意选择合适的公式进行边角互化，以及角的范围，属于中档题.

12.A

分析：利用二倍角公式和诱导公式，可得codJ+叫一1+c°s（2a+］）Jsin2a,即得解.

I4）22

a+）sin2tz

解答：已知［sin2a=三，则cos"""1-+c°s2_>-__3_1

3I4J2226

故选：A

点评：本题考查了二倍角公式和诱导公式的综合应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基

础题.

13.2-V3

分析：因为tan15°=tan(60°-45°),利用两角差的正切公式即可求出结果.

tan60°-tan45°6-1

解答:tan15°=tan（60°-45°）=2-1^3.

1+tan60°-tan4501+百

故答案为：2-6.

点评：本题考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题.

4

14.-

5

、4

分析：根据sina=2cosa,可得到siZaug,从而得到sin2a的值.

解答:因为sino=2cosa,sin?a+cos2a=1,

4

所以sin2a=-,

1.4

所以sin2a=2sinacosa=2sina-sina=sin~2a--.

25

4

故答案为：—.

点评：本题考查同角三角函数关系，二倍角正弦公式，属于简单题.

17

15.—

8

分析：根据诱导公式和二倍角公式化简为关于sinx的二次函数求最值.

一(3V17

解答：/(X)=l-2sin2x-3sinx=-2sinx+jj+—»

317

.•.当sinx=一二时，/(x)取得最大值工.

4o

17

故答案为：--

8

点评：本题考查三角恒等变形，二次函数求最值，属于基础题型.

1,6.—2万

3

分析：由对称性先求出。，再利用辅助角公式即可得到答案.

解答：由题意，/(0)=/(学)，所以a=—走+ax(—3,解得“=-@，

3223

所以g(x)=-ginx+cos.迪(，inx+且。sx)=空sin(x+吗,

332233

所以初相为2手万.

27r

故答案为：

点评：本题考查求三角型函数的初相，涉及到三角型函数的对称性、辅助角公式等，是一道容易题.

1

17.-

2

分析：由两角和的正弦公式化简即可.

解答：sin210cos90+cos210sin9°=sin(21°+9°)=sin30°=1

故答案为：g

点评：本题考查两角和与差的正弦公式的应用，是比较基础的计算题.

18.3

分析：函数段)=2sinx-sinZr在［0,2句的零点个数等价于2sinx-sin2x=0在［0,2句的方程根个数，解

出方程可得答案.

解答：函I数段)=2sinx-sin2r在［0,2句的零点个数等价于2亘门-而2%=0在［0,2句的方程根个数，即

2sinx-2sinxcosx=2sinx(l-cosx)=0

解得sin%=0或cosx=1,x=0,zr,2zr,即函数y(x)=2sinx-sin2x在［0,2%］的零点个数为3个,

故答案为：3

点评：本题考查函数的零点问题，考查三角函数的图象与性质，考查函数与方程思想，属于中档题.

19.亚

5

分析：由已知结合正弦定理可求sinNBA。，结合A3为NBAC的平分线可得NA4D=NCAD,再由

sinC=sin(ND4c+45),结合和角正弦公式即可求解.

解答：A4B。中，由正弦定理可得，一好一=――，所以sinNBA。=①

sinABADsin13510

AD为NBAC的平分线即sinNBAD=sinZCAD=—

10

・•.sinC=sin("AC+N45)=翳号噜吟昔

故答案为：2叵.

点评：本题考查角的正弦值的计算，涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中

等题.

20.2

分析：由cote=」~；；,可得tan（45°+a）=1,利用两角和的正切公式，1+tanQ，=1,转化

tan。'721-tana2

1+sec2a-tan2acos2a+1-sin2a2cos2a-2sin（zcosa1-tanam⑼

-------------=---------------=-----------------=------，即13得rl解

1+sec2a+tan2acos2a+1+2sin2a2cos〜a+2sinacosa1+tana

解答：由题意，cot（45°+6z）=2,故tan（450+a）=；

1+tana1

可得：；-------=~

1-tana2

1+1sin2a

cos2acos2a_cos2a+1-sin2a_2cos2a—2sinacosa

1sin2acos2<z+l+2sin2a2cos2a+2sinacos。

1H----------------1--------------

coslacos2a

1-tana_

-----------=2

1+tana

故答案为：2

点评：本题考查了两角和的正切公式，二倍角公式，同角三角函数关系的综合应用，考查了学生综合分析,

转化划归，数学运算能力，属于中档题

21.（1）」⑵.Mb

416

42

分析：（1）由3。411。一4。4118=0及正弦定理可得3。=4人，又a+c=2b,可得。=一匕，c=-b,

33

再利用余弦定理即可；

（2）由（1）可得sinA,进一步得到sin2A,cos2A,再利用两角和的正弦公式展开即可.

hc

解答：（1）在A8C中，由正弦定理-----=-----，得bsinC=csin3.

sin5sinC

又由3asinC-4csin8=0,得3asinC=4Z>sinC.

又因为sinCwO,所以3a=4/?.

又由a,b,c成等差数列，得a+c=2b,

42

所以a=—b,c=—b.

33

4

222

+169b

9--1

---

由余弦定理可得，cosA24-

V15

（2）在ABC中，由（1）可得sinA=Jl-cos2A

从而sin2A=2sinAcosA=

8

cos2A=cos2A-sin?A=——.

8

故sin|2A+—=sin2Acos—+cos2Asin—

I3）33

V1517V3而+7百

X-------X=

8-282------------16

点评：本题考查正余弦定理以及两角和的正弦公式、倍角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是

一道容易题.

22.答案见解析.

分析：提供两种思路：

补充一：取“=1,b=2,结合二倍角公式和辅助角公式可得/（幻=夜5也（2》+2）+1,再利用正弦函

4

数的图象与性质即可得解；

补充二：取〃=1,b=l,结合二倍角公式和配方法可得/（x）=—2sin2x+sinx+2,再证明

/（》+24）=/（炒得周期，利用二次函数的性质得最大值.

解答：补充一:

取a=l,b=2,则/（x）=2cos?x+sin2x=cos2x+sin2x+l=V^sin（2x+巳）+1,

4

27r

「•/（X）的一个周期为5-=万，

c71_71741

XG[----,-J,2x4G[-----,],

464412

・・•当2x+?=',即x=(时，/(x)取得最大值，最大值为0+1.

补充二：

取。=1,/?=1,则/'(%)=28$21+5111工，

/(x+2^-)=2cos2(x+2^)+sin(x+2^-)=2cos2x+sinx=f(x),

・・・/a)的一个周期为2万，

2..o.1217

/(x)=2cosx+sinx=2(1-sin-x)+sinx=-2(sinx——)+—,

48

龙引一£,刍，，sinxe[—也，』，

4622

117

.•.当sinx=：,/(x)取得最大值，为『

点评：结论点睛：本题属于条件不良题型，需补全条件，三角函数求最值时，一般包含两种常见题型，一

种是能化简为y=Asin(a)x+s)类型的函数，这种求最值，需将。》+9看成一个整体，利用正弦函数的

图象求最值，另一种是能化简为关于sinx或cosx的二次函数，利用二次函数求最值.

Jr57r

23.条件性选择见解析，A=上，C=—.

312

分析：若选择条件①，先由正弦定理和余弦定理求出角A,再利用正弦定理化简缶+人=2c，把

2万yd

B=―-C代入，化简求值即可；若选择条件②，利用正弦定理和二倍角公式解出sin7的值，进而得出

角A；若选择条件③，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式可求出tanA,进而得出角A和。.

解答：(1)选择条件①，由(sinB-sinC『=sin2A-sinBsinC及正弦定理知，

(b-c)2=a2-be,整理得，b2+c2-a2-he;

**2_2ii

由余弦定理可得，cosA=3^——

2hc2bc2

又因为Ae(O,乃)，所以，A=1.

又由也”+/J=2C得，V2sinA4-sinB=2sinC;

由8二至一。得，亚sin工+sin(红一C=2sinC；

33v3)

整理得，sinfc--1=-,

I6j2

因为Cejo,@],所以，

I3)6I62j

从而C—g=£,解得C=^

6412

(2)选择条件②，因为4+8+。=乃，所以史£=七一4；

222

由Tsin'+°=asinB得，ftcos—=osin3

22

AAA

由正弦定理知，sinBcos—=sinAsinB=2sin—cos—sinB；

222

AA1

又sin5>0,sin—>0,可得sin—=-；

222

47r7T

又因为4«0,万)，所以，不故4=一.

263

以下过程同(1)解答.

(3)选择条件③，由asinB=0cosA一乡及正弦定理知,

I6J

(兀、

sinAsinB=sinBcosIA---6-J

=旦。、

又sin8>0,从而sinA=cos[A-^sA+nA,

22

解得tanA=;

又因为4«0,乃)，所以，A=|\

以下过程同(1)解答.

点评：方法点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，解三角形问题中可以应

用正余弦定理的题型有：

1.已知一边和两角；

2.已知两边和其中一边的对角；

3.已知两边和它们所夹的角；

4.已知三边.

)

24.(1)一；(2)14.

3

分析：(1)由正弦定理边化角，利用三角函数恒等变换化简，得到cosA的值，进而求得;

(2)利用三角形的面积公式，得到。c=48,进而结合余弦定理求解.

解答：解：(.)由正弦定理3=±='得：sinB-SinAj2SinC-Sing)sinB

sinAsinBsmCcosAcos8

在ABC中，0<_8<)，0<C<zr,sinB0,sinC0

:.sinAcosB=(2sinC—sin8)cosA=2sinCcosA—sinBcosA

即sinAcosB+cosAsin8=2sinCcosA

:.sin(A+B)=2sinCcosA,BPsinC=2sinCcosA

17T

又sinCh0,COSA=—,又A=—；

23

(2)S^BC=gbcsinA=曰bc=12若，,bc=48

由余弦定理知：cr-h1+C1-2bccosA，,52=b~+c2-be=(Z?+c)--3bc

(b+c)=3x48+52=196,：.6+c=14.

点评：本题考查正余弦定理，三角形的面积公式，涉及两角和差的三角函数公式，属中档题.关键要熟练掌

握利用正弦定理进行边角互化，利用两角和差的三角函数公式进行化简求值.

13

25.(1)y;(2)a+C=3yJ7-

分析：(1)利用同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式以及正弦定理化简，可得一二+―的

tanAtanC

值；

(2)利用余弦定理结合已知条件求出a+c的值.

g也八、11cosAcosCsin(A+C)sin6sin2B1

解答：(1)------+-------=-------+-------=-------------=--------------=---------------------

tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsin8

2

-b-------1--=--1-3

acsinB5

12

(2)Vaccos3=12,/.cosB>0,:.cosB

B

，ac=13,...在ABC中由余弦定理得

a2+c2-2^c-cosB=h2=^>(a+c)2-lac-24=ac=>(6z+c)2=3ac+24=63,

・'・a+c=3s•

点评：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，属于中档题.

26.（1）证明见解析；（2）—.

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分析：（1）根据向量的数量积公式即可证明；

（2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案.

解答：（1）由题意知：|。4|斗。8|=1，且0A与08的夹角为。一〃，

所以OA-OB=Ix1xcos(a-/7)=cos(a—尸)，

又OA=(cosa.sina