云南省昆明市西山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省昆明市西山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知集合，则.故选：C.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据存在量词命题的否定为全称量词命题，则命题“”的否定为“”.故选：A.3.（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.4.函数的定义域为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以要使函数有意义，则，解得且，所以的定义域为.故选：B.5.若，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为单调递增，所以，因为单调递减，所以，所以，即.故选：B.6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，，所以，排除C，D；当时，，所以，A正确，B错误.故选：A.7.如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设矩形广场的长为，宽为，且，，由三角形相似性质得，化简得，而，当且仅当时取等，故，故健身广场的最大面积为.故选：C.8.设函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗作出函数以及的图象，的零点为0，的零点为，由于函数恰有两个零点，结合图象可知，当时，时，无零点，当时，有零点，此时恰有两个零点，符合题意；当时，时，有零点0，当时，有零点为，此时恰有三个零点，不符合题意；当时，时，有零点0，当时，有零点为，此时恰有两个零点，符合题意；当时，时，有零点0，当时，没有零点，此时恰有一个零点，不符合题意；综合可知t的取值范围为.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数是偶函数的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，设定义域为R，且，即为偶函数；对于B，设定义域为R，满足，即为偶函数；对于C，定义域为，且为奇函数；对于D，定义域为R，且为偶函数.故选：ABD.10.已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（）A. B.1 C.2 D.3〖答案〗AD〖解析〗关于不等式即，即，当时，即，解集为空集，不合题意；当时，的解满足，要使得关于的不等式只有一个整数解，需，由于，故；当时，的解满足，要使得关于的不等式只有一个整数解，需，由于，故，综合得的可能取值.故选：AD.11.已知，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗对于A选项，因为，且，所以，所以，所以，，所以，又，所以，所以，，由，所以，所以，故A错误；对于B选项，，故B正确；对于C选项，，故C正确；对于D选项，因为，，所以，所以，故D错误.故选：BC.12.关于函数，以下结论正确的是（）A.方程有唯一的实数解，且B.对恒成立C.对，都有D.对，均有〖答案〗AC〖解析〗A选项，由于在R上单调递增，在上单调递增，故在定义域上单调递增，又，故由零点存在性定理可得，方程有唯一的实数解，且，A正确；B选项，，，显然，由于与不一定相等，故与不一定相等，B错误；C选项，由A选项可知，在定义域上单调递增，对，都有，C正确；D选项，，均有，，由于，当且仅当时，等号成立，故，即，D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算____________．〖答案〗19678〖解析〗，故〖答案〗为：1967814.已知函数，则的〖解析〗式为____________．〖答案〗〖解析〗令，则，即.故〖答案〗为：.15.如图，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点，将角的边绕着原点逆时针旋转得到角，则____________．〖答案〗〖解析〗由题意知角的始边与单位圆相交于点，故，将角的边绕着原点逆时针旋转得到角，则.故〖答案〗为：.16.函数在上单调递增，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合．若方程在上的解为，则____________．〖答案〗〖解析〗设的最小正周期为，则，故，又的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，故为函数的一个周期，故最小正周期，即，解得，若，则，时，，由于在上单调递减，故在上单调递减，不合要求，若，则，时，，此时满足在上单调递增，满足要求，，，，由对称性可得，即，故.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知全集，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）时，集合，则；又，所以或.（2）若，当，即，即；当时，应满足，解得；综上知，实数a的取值范围是.18.已知定义在R上的奇函数，当时，．（1）在给出的坐标系中画出的图象（网格小正方形的边长为1）；（2）求函数在R上的〖解析〗式，并写出函数的值域及单调区间.解：（1）作出函数图象如图：（2）由题意知定义在R上的奇函数，当时，，则时，；当时，，则，故；函数的值域为R；单调递增区间为：；递减区间为：.19.设函数且．（1）若，解不等式；（2）若在上的最大值与最小值之差为1，求的值．解：（1）由可得，解得，即，则，即，即，故不等式的解集为.（2）由于在上的最大值与最小值之差为1，故，即或，即的值为或.20.已知函数的最小正周期为．（1）求的〖解析〗式；（2）设A，B，C是的内角，若，求的最大值．解：（1），因为函数最小正周期为，，所以，所以，所以.（2）设A，B，C是的内角，若，则，即，所以，，即，，又，所以，则，所以，，则，由，，所以，即，当时，取最大值，此时，所以取最大值.21.2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：时间／分钟012345水温／95.0088.0081.7076.0370.9366.33（1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的〖解析〗式.（2）根据（1）中所求模型，（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；（ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：）解：（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，模型③为单调递增的函数，不符合，模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，选模型②，则，解得，所以.（2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于，所以推测实验室室温为.（ii）令，则，所以，即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．22.函数．（1）求和的值，判断的单调性并用定