二次函数-数形结合-综合(学生版)

二次函数-二

⑨知识图谱

1、y=ax-2+bx+c的图象变换

要知识精讲

一.y=④？+法+0的平移变换

1.将二次函数丁=依2+bx+c,向上平移〃个单位，函数解析式变为y=改2+6x+c+a；向下

平移〃个单位，函数解析式变为y=o?+法+C—〃.（即：上加下减）

2.将二次函数丁=以2+法+°,向左平移加个单位，函数解析式变为

y=a^x-\-mf+Z?（x+m）+c；向右平移m个单位，函数解析式变y=。（尤—加了+/7（%_帆）+（:.（即:

左加右减）

注意：通常，将平移前的函数尸加+法+0利用配方法化成>=4无_m2+左的形式，在根据

顶点的平移情况确定函数的平移情况，再将顶点式整理成一般式.

二.y=62+版+。的对称变换

1.关于元轴对称

y=ax2+Zzx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-凉---。；

y=a（^x-hf+左关于x轴对称后，得至!J的解析式是y=—〃（%—力）2—k.

2.关于y轴对称

y=ax2+Z?%+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=改?一法+。；

y=a（^x-hf+左关于y轴对称后，得至!）的解析式是y=a（x+/z）2+k.

3.关于原点对称

y=ax2+法+。关于原点对称后，得到的解析式是y=-加+Z?%-c；

y=a（<x-hf+左关于原点对称后，得到的解析式是y=-〃（％+4）2-左;

要三点剖析

一.考点：二次函数丫=62+法+。的平移变换和对称变换.

二.重难点：

1.无论平移或对称变换，时保持不变；

2.由点的平移或对称延伸到线、图形的平移或对称.

三.易错点：

1.平移变换遵循“上加下减，左加右减”的原则，注意平移单位的正负取值;

2.点的平移与图像的平移的区别：点的平移左减右加，图像的平移左加右减;

3.对称变换务必注意变换前后开口方向，对称轴，顶点坐标.

向。题模精讲

题模一：平移变换

例1.1.1将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物

线的解析式为()

A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)~+4

C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+6

例1.1.2把抛物线y=x，bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式

为y=x?-2x+3,则b的值为.

例1.1.3函数y=Y+l,把这条抛物线沿射线y=x(x40)的方向平移应个单位，其函数解析式

变为;若把抛物线y=Y+l沿射线y=gx-l（xNO）方向平移番个单位，其函数解析式则

变为.

例1.1.4如图，在10X10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点

称为格点.如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的

“内接格点三角形”.设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线翻的两个交点为4B,其顶点

为C,如果△/8C是该抛物线的内接格点三角形，AB=3叵,且点4B,。的横坐标龙入，xB,xc

满足4<Z</，那么符合上述条件的抛物线条数是（）

A.7B.8C.14D.16

题模二：对称变换

例1.2.1抛物线G：y=x2+1与抛物线G关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为（）

A.y=—x~B.y=—x?+1C.y=x?—1D.y———1

例1.2.2抛物线丫=5+2）2-3可以由抛物线丫=/平移得到，则下列平移过程正确的是（）

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

例1.2.3已知抛物线y=Y一6x+5,求:

（1）关于y轴对称的抛物线的表达式；

（2）关于x轴对称的抛物线的表达式；

（3）关于原点对称的抛物线的表达式.

例1.2.4如图，已知抛物线G：y=a(x+2)2-5的顶点为R与x轴相交于46两点(点/在点

6的左侧)，点8的横坐标是1.

(1)求a的值；

(2)如图，抛物线G与抛物线G关于x轴对称，将抛物线G向右平移，平移后的抛物线记为a,

抛物线G的顶点为M当点只〃关于点。成中心对称时，求抛物线0的解析式.

例1.2.5在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为4(1,-4),且过点2(3,0).

(1)求该二次函数的解析式；

(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移

后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.

要随堂练习

随练1.1将抛物线y=x2-2x+l向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是

（）

A.y=x2-2x-1B.y=x2+2x-1

C.y=x2-2D.y=x2+2

随练L2把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的

解析式是y=x,-3x+5,则a+b+c=.

随练1.3抛物线丁=;西+（m-3）龙-3（相＞0）与x轴交于46两点，且点力在点8的左侧，与y

轴交于点C,OB=OC.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若点尸（为,人）与点。（工2，匕）在（1）中的抛物线上，且占＜々，PQ=n.

①求4%12-+6〃+3的值；

②将抛物线在倒下方的部分沿国翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个

新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是.

随练1.4在平面直角坐标系中，先将抛物线y=f+x-2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物

线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）

A.y=-—x+2B.y=一—+x—2

C.y=—X2+x+2D.y=x2+x+2

2、二次函数代数综合

要知识精讲

一.二次函数与一次函数综合

一次函数y=履+〃(左/0)的图象/与二次函数y=㈤：2+6x+c(aw0)的图象G的交点，由方程

y=kx+n

组的解的数目来确定:

y=ax2+bx+c

1.方程组有两组不同的解时O/与G有两个交点;

2.方程组只有一组解时O/与G只有一个交点；

3.方程组无解时O/与G没有交点.

二.二次函数与不等式综合

二次函数与不等式的联系.如下表(以。>0为例)：

判别式:A="一4acA>0A=0A<0

二次函数y=以2+法+。Ik

(〃>0)的图象L

x=x

T。Il2x

ax2+bx+c>0

b

%或无>n2x丰------任意实数

(a>0)2a

不等式的解集

ax2+bx+c<0

玉<X<x2无解无解

(a>0)

三.二次函数与方程及代数式综合

二次函数与方程及代数式综合主要是二次函数与一元二次方程综合及二次函数与代数式的化简

求值，与方程综合注意分类讨论以及整数解问题，与代数式综合的解题思想是“消元降次，整体代

入”.

在三点剖析

一.考点：二次函数代数综合.

二.重难点：二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式综合，二次函数与方程及代数式综合.

三.易错点：

1.二次函数与一次函数综合中求解参数的取值范围时容易漏解或者是分不清取值范围的上限

或者下限；

2.二次函数与不等式综合问题解题时不要直接硬算，要结合函数图像，利用函数的增减性来

求解参数的取值范围；

3.二次函数与代数式综合除了极少数情况下可以直接计算之外，一般情况下都是通过“消元降

次，整体代入”的方法来求解；

4.二次函数与方程综合注意二次项系数的分类讨论.

句。题模精讲

题模一：与不等式综合

例2.1.1如图，己知二次函数y=ax?+bx+c的图象过A(2,0)，B(0,-1)和C(4,5)三点.

(1)求二次函数的解析式;

(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;

(3)在同一坐标系中画出直线y=x+l,并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数

的值.

例2.1.2已知一次函数+b(4W0)的图象经过(2,0),(4,1)两点，二次函数

%=丁-2磁+4(其中a>2).

(1)求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标(用含a的代数式表示)；

(2)利用函数图象解决下列问题：

①若a=g,求当％>0且为W0时，自变量x的取值范围；

②如果满足%>0且%W0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围.

5

4-

3-

2-

1

-5-4-3-2-1012345x

-1

例2.1.3某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件.试营销阶段发现：当销售单价是25

元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式;

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：

方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；

方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.

题模二：与一次函数综合

例2.2.1在平面直角坐标系为夕中，抛物线y=加犬-2»zx+〃与x轴交于A、8两点，点A的坐标

为（-2,0）.

（1）求8点坐标；

(2)直线y=L+4机+”经过点B.

2

①求直线和抛物线的解析式；

②点P在抛物线上，过点尸作y轴的垂线/,垂足为。(。,4).将抛物线在直线/上方的部分沿直线/

翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G.请结合图象回答：当图象G与直线

y=只有两个公共点时，d的取值范围是

-2--------

例2.2.2如图，二次函数y=x?+bx+c图像经过原点和点A(2,0),直线AB与抛物线交于点B,且

ZBAO=45°.

(1)求二次函数解析式及其顶点C的坐标；

(2)在直线AB上是否存在点D,使得4BCD为直角三角形.若存在，求出点D的坐标，若不存在，说

明理由.

例2.2.3在平面直角坐标系x在中，抛物线'=7收-23-2(%#0)与丫轴交于点4其对称轴与

x轴交于点B.

(1)求点A,8的坐标；

(2)设直线1与直线Z6关于该抛物线的对称轴对称，求直线1的解析式；

(3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线1的上方，并且在2v%<3这一段位于直线Z8的下

方，求该抛物线的解析式.

1-

--------1—।----1—।__

O1-------------左

例2.2.4A厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为X(0<x<

1),B厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为X,经过技术革新，三月份产值增长，增长

率为2x.三月份A、B两厂产值分别为％、yB(单位：万元).

(1)分别写出yA、yB与x的函数表达式；

(2)当yA=yB时，求x的值；

(3)当x为何值时，三月份A、B两厂产值的差距最大？最大值是多少万元？

例2.2.5在平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且平行于x轴的直线，与直线y=x-1交于点A,

点A关于直线x=l的对称点为B,抛物线Q：y=x?+bx+c经过点A,B.

(1)求点A,B的坐标；

(2)求抛物线G的表达式及顶点坐标；

2

(3)若抛物线C2：y=ax(a^O)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.

yx

1-

o1X

例2.2.6已知抛物线y=ax?+bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC

的面积最大？求出此时点P的坐标；

(3)如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点，那么在直线

DE上是否存在一点G,使ACMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

题模三：与代数式综合

例2.3.1已知关于x的方程mx2+(3根+l)x+3=0.

(1)求证：不论为7〃任意实数，此方程总.有实数根；

(2)若抛物线〉=〃仃2+(3根+1卜+3与无轴交于两个不同的整数点，且根为正整数，试确定此抛物

线的解析式；

(3)若点P(修，力)与点Q(x1+n,y2)在(2)中抛物线上，(点P、Q不重合)，且

力=为，求代数式+12%1〃+5力2+16〃+8的值.

例2.3.2已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a,m为常数，且aWO).

(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A,B两点，与y轴交于点D.

①当△ABC的面积等于1时，求a的值；

②当4ABC的面积与4ABD的面积相等时，求m的值.

2

例2.3.3已知抛物线y=ax+bx+c(0<2a<b)的顶点为P(x0,y»),点A(1,yA)>B(0,yu)、

C(-1,yc)在该抛物线上.

(I)当a=l,b=4,c=10时，

①求顶点P的坐标；

②求九的值;

yB-yc

(II)当y°NO恒成立时，求一^—的最小值.

yB-yc

例2.3.4己知：关于x的一元二次方程mx2-(3m+2)x+2m+2=0(m>0).

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两个实数根分别为Xrxz(其中X1<x2).若y是关于m的函数，且y=x2-2x1,求

这个函数的解析式；

(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，yW2m.

安随堂练习

随练2.1如图，二次函数%=加+法+3的图象与x轴相交于点人(_3,0)、8(1,0),交y轴点G

C、2是二次函数图象上的一对对称点，一次函数为=7HX+”的图象经过8、〃两点.

(1)求二次函数的解析式及点，的坐标；

(2)根据图象写出力>以时，x的取值范围.

随练2.2已知：抛物线丁=加+（。-2）%—2=0过点A（3,4）.

（1）求抛物线.的解析式；

（2）将抛物线,=改2+5一2江-2=0在直线、=-1下方的部分沿直线）；=-1翻折，图象其余

的部分保持不变，得到的新函数图象记为G.点M（机,乂）在图象G上，且

①求利的取值范围；

②若点N（〃z+k%）也在图象G上，且满足%24恒成立，则发的取值范围为.

随练2.3已知抛物线y=-d+2皿-苏+1与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交

于点C.

（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；

（2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，若△BOC是等腰三角形，求抛物线的

解析式；

（3）已知一次函数>=依+6,点P（〃,0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作

垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交抛物线、=-尤2+2“-〃12+1于点2若只有当

1<〃<4时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式.

随练2.4已知关于x的一元二次方程V-2优+1卜+左2一2左-3=0有两个不相等的实数根.

(1)求4的取值范围；

(2)当“取最小的整数时，求抛物线y=d-2优+1卜+公一2人-3的顶点坐标以及它与x轴的交

点坐标；

(3)将(2)中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得

到一个新图象.请你画出这个新图象，并求出新图象与直线丫=》+机有三个不同公共点时"的值.

5

4

234

3

随练2.5已知二次函数y=(r+l)x2+2Q+2)x+；在x=0与x=2的函数值相等.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若一次函数y=fcv+6的图象与二次函数的图象都经过点4(-3,加)，求m与A的值；

(3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点6在点C的左侧)，将二次函数的图象B,C间的

部分(含点6和点C)向左平移〃(〃>0)个单位后得到的图象记为G,同时将(2)中得到的直线

>=履+6向上平移〃个单位.请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，〃的取值范围。

随练2.6已知关于x的一元二次方程2x2+(a+4)x+a=0.

(1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)抛物线£:y=2Y+(a+4)龙+。与x轴的一个交点的横坐标为今，其中将抛物线0向

右平移5个单位，再向上平移;个单位，得到抛物线。2.求抛物线C2的解析式；

(3)点4("力和3(〃,⑼都在⑵中抛物线Cz上，且A、B两点不重合，求代数式

2m3-2mn+2n3的值.

3、二次函数与三角形综合

要知识精讲

一.二次函数与等腰三角形综合

二次函数与等腰三角形存在性问题：

解题思路：先找后求.

1.找法：已知三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下：

I

I

//一一未f、

//I\\

:/:\

IAj―~IB

\\；//

:、、一¥一，

I

2.求法：分类讨论；设出点坐标，利用两腰长相等，列方程求解.

二.二次函数与直角三角形综合

二次函数与直角三角形存在性问题：

解题思路：先找后求.

1.找法：已知直角三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下：

jI;

A+--------------+B\/

I|、、-/

'AB为直角边！AB为斜边

2.求法：分类讨论；设出点坐标，利用勾股定理，列方程求解.

安三点剖析

考点：二次函数与三角形综合.

二.重难点：二次函数与等腰三角形和直角三角形的存在性问题.

易错点:

1.不要漏解，按模型找到所有满足条件的点然后计算求解;

2.注意数形结合思想.

题模精讲

题模一：等腰三角形

例3.1.1如图，抛物线、=。尤2+6元+c过点A(T,O),且经过直线y=x-3与x轴的交点5及与y轴

的交点C.

(1)求点B、C的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)求抛物线的顶点"的坐标；

(4)在直线y=x-3上是否存在点尸，使是等腰三角形？若存在，求出满足条件

的P点坐标；若不存在，说明理由.

>1

例3.1.2如图，已知抛物线y=-x2+2x+l-m与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,其中点

C的坐标是(0,3),顶点为点D,连接CD,抛物线的对称轴与x轴相交于点E.

(1)求m的值；

(2)求NCDE的度数；

(3)在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P,使得APDC是等腰三角形？如果存在，求出符

合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

例3.1.3如图，已知直线V=-2x+4与无轴、,轴分别相交于A、C两点，抛物线

、=-2元2+法+。(”o)经过点c

(1)求抛物线的解析式；

(2)点/是直线、=-2X+4上的动点，过点“作"E垂直无轴于点E,在》轴(原点除外)上是

否存在点/，使尸为等腰直角三角形？若存在，求出点尸的坐标及对应的点"的坐标；若不

存在，请说明理由.

例3.1.4如图，在平面直角坐标中，点0为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A,过点A的抛

物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B,且点B的横坐标为1.

(1)求a,b的值；

(2)点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合)，过点P作PM〃OB交第一象限内的抛物线

于点M,过点M作MC_Lx轴于点C,交AB于点N,过点P作PF_LMC于点F,设PF的长为t,MN的

长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，当SAACN=SAP„N时，连接ON,点Q在线段BP上，过点Q作QR〃MN交ON于

点R,连接MQ、BR,当NMQR-NBRN=45°时，求点R的坐标.

例3.1.5己知抛物线y=a(XFI)2+n与y轴交于点A,它的顶点为点B,点A、B关于原点0的对称

点分别为C、D.若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四

边形，直线AB为抛物线的伴随直线.

(1)如图1,求抛物线丫=(x-2)2+1的伴随直线的解析式.

(2)如图2,若抛物线y=a(x-m)2+n(m>0)的伴随直线是y=x-3,伴随四边形的面积为12,求

此抛物线的解析式.

(3)如图3,若抛物线y=a(x-m)2+n的伴随直线是y=-2x+b(b>0),且伴随四边形ABCD是矩

形.

①用含b的代数式表示m、n的值；

②在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的

坐标（用含b的代数式表示）；若不存在，请说明理由.

题模二：直角三角形

例3.2.1已知抛物线y=a（x—T）一+»（。、，是不为°的常数）的顶点是A,抛物线

y=d-2x+l的顶点是当

（1）判断点A是否在抛物线y=*-2x+l上，为什么？

（2）如果抛物线,=°（1一'—1）2+〃经过点3

①求。的值；②这条抛物线与天轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？

例3.2.2如图1,已知抛物线的顶点为4(2,1),且经过原点。，与x轴的另一个交点为H

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接力、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点户，使得△戚与相似？若存

在，求出尸点的坐标；若不存在，说明理由.

例3.2.3如图，在平面直角坐标系中，ZXABC是直角三角形，ZACB=90°,AC=BC,OA=L0C=4,

抛物线yux'+bx+c经过A,B两点，抛物线的顶点为D.

(1)求b,c的值；

(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于

点F,当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P,使4EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的

坐标；若不存在，说明理由.

例3.2.4如图，抛物线尸-3x?+*x-4与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称

55

轴与X轴相交于点M.P是抛物线在X轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）.分别

过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E,连接点MD、ME.

（1）求点A,B的坐标（直接写出结果），并证明AMDE是等腰三角形；

（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；

（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物

线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，AMDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的

坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由.

,QQ1

例3.2.5如图，在平面直角坐标系中，直线y=—x——与抛物线y=—/+fcv+c交于A、B两点，

-424

点A在x轴上，点B的横坐标为-8.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为

C,交直线AB于点D,作PELAB于点E.

①设4PDE的周长为1,点P的横坐标为x,求1关于x的函数关系式，并求出1的最大值；

②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改

变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.

要随堂练习

随练3.1平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板/回放在第二象限，斜靠在两坐标轴上,

且点A(0,2),点如图所示，抛物线>=62+6一2经过点氏

(1)求点6的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否还存在点尸(点8除外)，使仍然是以/。为直角边的等腰直角三角形?

若存在，求所有点户的坐标；若不存在，请说明理由.

随练3.2已知抛物线y=6i?+fcv+c经过点6(12,0)和C(0,-6),对称轴为直线尤=2.

(1)求该抛物线的解析式以及抛物线与x轴另一个交点A的坐标.

(2)点〃在线段上，且AZ)=AC,若动点尸从/出发沿线段48以每秒1个单位长度的速度匀

速运动，同时另一动点0以某一速度从C出发沿线段％匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段

国被直线切垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点0的运动速度，若不存在，请说

明理由；

(3)在(2)的结论下，直线x=l上是否存在点必使AMW为等腰三角形？若存在，请直接写出

随练3.3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,

0),抛物线的对称轴1与x轴相交于点M.

(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴；

(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点，若以A、0、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个

连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

(3)连接AC,探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使4NAC的面积最大？若存在，

请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

随练3.4如图，抛物线y=mx2-2mx-3m(m>0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

(1)请求出抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示)，A、B两点的坐标；

(2)经探究可知，ABCM与4ABC的面积比不变，试求出这个比值；

(3)是否存在使ABCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.

随练3.5如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B,0.

(1)求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；

(2)连接AB,把AB所在的直线平移，使它经过原点0,得到直线1.点P是1上一动点.设以点

A、B、0、P为顶点的四边形面积为S,点P的横坐标为t,当0VSW18时，求t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q,使为直角三角形且0P为

直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

4、二次函数与四边形综合

安知识精讲

一.二次函数与四边形综合

二次函数与四边形综合主要是与平行四边形或者特殊的平行四边形(矩形，菱形，正方形)的

综合.在解决此类问题时，需要注意“平行四边形”的四个顶点中是有一个动点或二个动点.

i.如果只有一个动点，则先求点坐标，然后代入检验；

2.如果有两个动点，则常用的方法有两个，①引入坐标代入函数解析式后建立方程，注意最

后要检验；②从已知条件直接进行分析.

二.动点与平行四边形存在性问题常见模型：

1.两固两动型：两个固定点，两个动点构成平行四边形

(1)分类讨论，分成两个固定点连线为平行四边形对边和对角线来讨论，利用对边平行且相

等找出所有的存在的情况.

(2)设出一个动点坐标，利用中点公式法算出另外一个点的表达式，代入另一个点所在函数

关系式.

2.三固一动型：三个固定点，一个动线构成平行四边形

(1)分类讨论，可以利用大三角的方法来找出所有的点.

大三角：连接三个固定点形成一个三角形，过每个顶点做对边的平行线，三个平行线交点即为要找

的点.

Pi

(2)利用中点公式法，求出点坐标.

中点坐标公式：若尸(为，乂),。(々,%)为坐标系内任意两点，则尸。中点M的坐标为

中点公式法：设出P点坐标，利用线段尸B、AC的中点都为。点，即可求出P点坐标.

总结：二次函数与四边形综合问题常用的解题方法是：设出动点坐标，然后用点的坐标表示线

段长度，进而建立方程求出动点坐标.

委三点剖析

考点：二次函数与四边形综合.

二.重难点：二次函数与平行四边形的存在性问题，特殊平行四边形的存在性问题.

三.易错点：二次函数与四边形综合问题最容易出现的问题就是分类讨论不彻底导致漏解，解题时

务必审清题意，按照模型分类讨论.

g题模精讲

题模一：二次函数与四边形综合

例4.1.1己知如图，抛物线y=x?+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物

线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD〃y轴交直线

AC于点D

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

(3)4APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；

(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC1最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明

理由.

例4.1.2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=rnx2+4mx-5nl（m<0）与x轴交于点A、B（点A在

点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=?x相交于点E,与x轴相交于点D,点P在直线y=

手x上（不与原点重合），连接PD,过点P作PFLPD交y轴于点F,连接DF.

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6出，求抛物线的解析式；

（2）求A、B两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，/PDF的大小为定值，进

而猜想：对于直线y=掾x上任意一点P（不与原点重合），/PDF的大小为定值.请你判断该猜

想是否正确，并说明理由.

例4.1.3已知：二次函数y=/+法+8的图象与x轴交于点A（-2,0）.

（1）求二次函数y=+bx+8的图象与x轴的另一个交点6及顶点〃的坐标；

（2）点尸从点8出发，以每秒1个单位的速度沿水平方向向右运动，同时点0从点〃出发，以每

秒2个单位的速度沿竖直方向向下运动，当点P运动到原点。时，只0同时停止运动.点「、点，

分别为点一、点0关于原点的对称点，设四边形制⑦的面积为S,运动时间为t,求S与£的函数

关系表达式（不必写出力的取值范围）；

（3）在（2）的运动过程中，四边形尸色能否形成矩形？若能，求出此时/的值；若不能，请说明

理由.

8

7

6

5

4

3

2

1

-4-3-2-1Oji2345x

-2

例4.1.4如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+bx+c经过A、B、C三点，已知点A(-3,

0),B(0,3),C(1,0).

(1)求此抛物线的解析式.

(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点，(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线，垂足

为F,交直线AB于点E,作PDLAB于点D.

①动点P在什么位置时，4PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改

变.当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标.(结果保留根号)

要随堂练习

随练4.1如图，已知抛物线y=-x?+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点，与y轴交

于点N.其顶点为D.

(1)抛物线及直线AC的函数关系式;

(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点，过点E作EF〃BD交抛

物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，

请说明理由；

(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求AAPC的面积的最大值.

随练4.2已知：抛物线£：丫=-2/+桁一6与抛物线C?关于原点对称，抛物线£与x轴分别交

于4(1,0)，B(/n,0),顶点为弘抛物线。2与x轴分别交于G，两点(点。在点，的左侧)，顶点

为瓦

(1)求加的值；

(2)求抛物线£的解析式；

(3)若抛物线G与抛物线C?同时以每秒1个单位的速度沿x轴方向分别向左、向右运动，此时记

A,B,C,D,M,"在某一时刻的新位置分别为,B',C'，D',M',N',当点、A'与点”

重合时运动停止.在运动过程中，四边形B,ON'能否形成矩形？若能，求出此时运动时间t

(秒)的值，若不能，说明理由.

随练4.3已知抛物线丫=」/+―+,与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,连结AC,BC,D

-4

是线段0B上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF,连结BF.若见(^=8，AC=BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证:BF±AB；

(3)求"BE的度数；

(4)当D点沿x轴正方向移动到点B时，点E也随着运动，则点E所走过的路线长是.

5、二次函数面积问题

要知识精讲

一.二次函数与面积综合问题

在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行,

可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有

以下方法：

1.如图(1),过三角形的某个顶点作与X轴或y轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条

边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加：

=

S&ABC=S.CD+=万|"<4^卜田一力|=S^ACE+~'\xA-XB\；

2.如图(2),首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积：

^&ABC=SDEBF-SADAC-^&AEB~^ACBF

3.如果只是求解面积最大值或者此时动点的坐标，可以通过平移直线，当直线与抛物线只有

一个交点时三角形的面积最大，此时可以直接求出动点坐标，然后再利用上述两种方法求出面积的

最大值.

在三点剖析

一.考点：二次函数与面积问题.

二.重难点：二次函数中因动点产生的面积问题.

1.在用点的坐标表示线段长度，进而表示图形面积的时候一定要保证线段的非负性，可以直接加

上绝对值或者是分类讨论；

2.与动点问题相关的面积问题一定要分析清楚每个阶段图形的形状，然后再分别求出每个阶段下

面积的表达式.

g题模精讲

题模一：面积最值问题

例5.1.1如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=〃a?+2如+〃经过点A(T,0)和点2(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点8求平移后抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，记平移后点A的对应点为点8的对应点为笈，试问：在平移后的抛

物线上是否存在一点户，使△。女尸的面积与四边形A4助的面积相等，若存在，求出点P的坐标;

若不存在，说明理由.

例5.1.2如图，二次函数y=-Lx2+mx+m+L的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与

22

y轴相交于点C,顶点D在第一象限.过点D作x轴的垂线，垂足为H.

3

(1)当m=-时，求tan/ADH的值；

2

(2)当60°W/ADBW90。时，求m的变化范围；

(3)设4BCD和AABC的面积分别为Si、S2,且满足SFS?,求点D到直线BC的距离.

Q9

例5.1.3如图，抛物线y=-—六+3与x轴交于点A,点B,与直线y=-—x+b相交于点B,点C,直

(1)写出直线BC的解析式.

(2)求4ABC的面积.

(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动(不与A,B重合),同时，点

N在射线BC上以每秒2个