2021年天津市部分区高考数学质量调查试卷(一模)(解析版)

2021年天津市部分区高考数学质量调查试卷（一）（一模）一、选择题（共9小题）.1．集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，2}，C＝{﹣1，0，1}，则（A∩C）∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2} B．{0，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，2}2．设x∈R，则“1＜x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知a＝0.72021，b＝20210.7，c＝log0.72021，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a4．直线x﹣y+2＝0与圆（x+1）2+y2＝2相交于A，B两点，则|AB|＝（）A． B． C． D．5．天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试（满分100分），考试成绩的频率分布直方图如图，数据（成绩）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若成绩低于60的人数是180，则考试成绩在区间[60，80）内的人数是（）A．180 B．240 C．280 D．3206．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则f（2）＝（）A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．27．关于函数f（x）＝sin（2x+）有下述三个结论：①f（x）的最小正周期是2π；②f（x）在区间（，）上单调递减；③将f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度后，得到函数g（x）＝sin2x的图象．其中所有正确结论的编号是（）A．② B．③ C．②③ D．①②③8．已知抛物线y2＝16x的焦点与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点F重合，C的渐近线恰为矩形OAFB的边OA，OB所在直线（O为坐标原点），则C的方程是（）A．﹣＝1 B．﹣＝1 C．﹣＝1 D．﹣＝19．已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（）A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．[﹣4，0） D．[﹣3，0）二、填空题（共6小题）.10．i是虚数单位，复数＝．11．（x2+）5的展开式中x4的系数为．12．甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是．13．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为．14．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为．15．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝BC＝2，∠ABC＝，且•＝12，则||＝，若M是线段AB上的一个动点，则•的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2bsinA．（1）求角B的大小；（2）若角B为钝角，且b＝2，a＝c，求c和sin2C的值．17．已知{an}为等差数列，{bn}为公比大于0的等比数列，且b1＝1，b2+b3＝6，a3＝3，a4+2a6＝b5．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）记cn＝（2an﹣1）•bn+1，数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．18．如图，在多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，AEFC是平行四边形，且AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AE＝2，AB＝BC＝1．（1）求证：CD⊥EF；（2）求二面角A﹣DE﹣B的余弦值；（3）若点P在棱CF上，直线PB与平面BDE所成角的正弦值为，求线段CP的长．19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短半轴长为1，离心率为．（1）求C的方程；（2）设C的上、下顶点分别为B，D，动点P（横坐标不为0）在直线y＝2上，直线PB交C于点M，记直线DM，DP的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值．20．（16分）已知函数f（x）＝x2﹣alnx，g（x）＝（a﹣2）x+b，（a，b∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求a的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若关于x的方程f（x）＝g（x）在区间（1，+∞）上有两个不相等的实数根x1，x2，证明：x1+x2＞a．

参考答案一、选择题（共9小题）.1．集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，2}，C＝{﹣1，0，1}，则（A∩C）∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2} B．{0，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，2}解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，2}，C＝{﹣1，0，1}，所以A∩C＝{﹣1，0，1}，所以（A∩C）∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：A．2．设x∈R，则“1＜x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：解“x2＜4”可得﹣2＜x＜2，x∈R，则“1＜x＜2”能推出“x2＜4”，x∈R，则“x2＜4”不能推出“1＜x＜2”，根据充分条件和必要条件的定义可得x∈R，则“1＜x＜2”是“x2＜4”的充分而不必要条件，故选：A．3．已知a＝0.72021，b＝20210.7，c＝log0.72021，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a解：∵0＜0.72021＜0.70＝1，20210.7＞20210＝1，log0.72021＜log0.71＝0，∴b＞a＞c．故选：C．4．直线x﹣y+2＝0与圆（x+1）2+y2＝2相交于A，B两点，则|AB|＝（）A． B． C． D．解：根据题意，圆（x+1）2+y2＝2的圆心为（﹣1，0），半径r＝，圆心到直线x﹣y+2＝0的距离d＝＝，则弦长|AB|＝2×＝，故选：D．5．天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试（满分100分），考试成绩的频率分布直方图如图，数据（成绩）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若成绩低于60的人数是180，则考试成绩在区间[60，80）内的人数是（）A．180 B．240 C．280 D．320解：由频率分布直方图可知，低于60分的频率为：（0.01+0.005）×20＝0.3，因为成绩低于60的人数是180，考试成绩在区间[60，80）内的频率为0.02×20＝0.4，则考试成绩在区间[60，80）内的人数是人．故选：B．6．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则f（2）＝（）A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2解：根据题意，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则f（﹣2）＝（﹣2）（﹣2﹣1）＝6，又由f（x）为奇函数，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣6，故选：A．7．关于函数f（x）＝sin（2x+）有下述三个结论：①f（x）的最小正周期是2π；②f（x）在区间（，）上单调递减；③将f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度后，得到函数g（x）＝sin2x的图象．其中所有正确结论的编号是（）A．② B．③ C．②③ D．①②③解：对于①，f（x）的最小正周期是≠2π，所以①错；对于②，x∈（，）⇒2x+∈（，），所以f（x）在区间（，）上单调递减，所以②对；对于③，将f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度后，得到函数为y＝f（x﹣）＝sin（2（x﹣）+）＝sin2x，所以③对．故选：C．8．已知抛物线y2＝16x的焦点与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点F重合，C的渐近线恰为矩形OAFB的边OA，OB所在直线（O为坐标原点），则C的方程是（）A．﹣＝1 B．﹣＝1 C．﹣＝1 D．﹣＝1解：由C的渐近线恰为矩形OAFB的边OA，OB所在直线，可得双曲线的两条渐近线垂直，由渐近线方程y＝±x，可得﹣＝﹣1，即a＝b，又抛物线y2＝16x的焦点为（4，0），即有a2+b2＝16，解得a＝b＝2，则双曲线的方程为﹣＝1，故选：D．9．已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（）A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．[﹣4，0） D．[﹣3，0）解：函数f（x）的图象如下图所示：若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），且a＜b＜c，则a+b＝﹣4，c∈（0，1），则af（a）+bf（b）+cf（c）＝（a+b+c）f（c）＝（c﹣4）•c3，令g（c）＝（c﹣4）•c3，则g′（c）＝c3+（c﹣4）•3c2＝4c2•（c﹣3）＜0，故g（c）在（0，1）上单调递减，且g（0）＝0，g（1）＝﹣3，故g（c）∈（﹣3，0），故af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（﹣3，0）．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i是虚数单位，复数＝．解：复数＝＝＝＝故答案为：．11．（x2+）5的展开式中x4的系数为40．解：根据题意得，Tr+1＝（x2）5﹣r（）r＝2rx10﹣3r令10﹣3r＝4，得r＝2∴（x2+）5的展开式中x4的系数为22＝40；故答案为40．12．甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为0.28；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是0.3024．解：甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．甲、乙各投篮一次，设事件A表示“甲命中且乙未命中”，则甲命中且乙未命中的概率为P（A）＝0.7×（1﹣0.6）＝0.28；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次包含的基本事件有两种情况：①甲命中一次，乙两次都没命中，概率为：p1＝＝0.0672，②甲命中两次，乙命中一次，概率为：P2＝＝0.2352，∴甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是：P＝P1+P2＝0.0672+0.2352＝0.3024．故答案为：0.28，0.3024．13．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为8．解：正方体的所有顶点在一个球面上，则正方体的体对角线等于球的直径，设正方体的棱长为a，则体对角线为a，若球的表面积为12π，则4πR2＝12π，即R2＝3，则R＝，则a＝2R＝2，则a＝2，则正方体的体积V＝a3＝（2）3＝8，故答案为：8．14．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为．解：因为a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，所以a＝，因为a＞0，所以0＜b＜1，a+b＝＝＝，当且仅当，即b＝，a＝时取等号，则a+b的最小值．故答案为：．15．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝BC＝2，∠ABC＝，且•＝12，则||＝4，若M是线段AB上的一个动点，则•的取值范围是．解：由AB＝BC＝2，∠ABC＝，所以△ABC是等边三角形，同时AB⊥AD，所以可如图建立平面直角坐标系：由已知得：A（0，0），B（），C（），再设D（0，y），M（x，0）．，故＝3y＝12，解得y＝4．所以．f（x）＝＝，（0≤x≤），显然，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，结合，f（0）＝12，f（2）＝18．故•的取值范围是．故答案为：4；[]．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2bsinA．（1）求角B的大小；（2）若角B为钝角，且b＝2，a＝c，求c和sin2C的值．解：（1）因为a＝2bsinA，所以由正弦定理可得sinA＝2sinBsinA，因为sinA≠0，所以sinB＝，由B∈（0，π），可得B＝，或．（2）由（1），若角B为钝角，可得B＝，因为b＝2，a＝c，所以由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得28＝3c2+c2﹣2×c×c×（﹣），整理解得c＝2，可得a＝2，所以cosC＝＝＝，可得sinC＝＝，可得sin2C＝2sinCcosC＝2××＝．17．已知{an}为等差数列，{bn}为公比大于0的等比数列，且b1＝1，b2+b3＝6，a3＝3，a4+2a6＝b5．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）记cn＝（2an﹣1）•bn+1，数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0），由题设可得：，即，解得：，∴bn＝2n﹣1，an＝a3+（n﹣3）d＝3+n﹣3＝n；（2）由（1）可得：cn＝（2n﹣1）•2n，∴Sn＝1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n，又2Sn＝1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，两式相减得：﹣Sn＝2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2×﹣（2n﹣1）•2n+1，整理得：Sn＝（2n﹣3）•2n+1+6．18．如图，在多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，AEFC是平行四边形，且AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AE＝2，AB＝BC＝1．（1）求证：CD⊥EF；（2）求二面角A﹣DE﹣B的余弦值；（3）若点P在棱CF上，直线PB与平面BDE所成角的正弦值为，求线段CP的长．解：因为AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AD、AE⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AD、AB、AE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），E（0，0，2），C（1，1，0），F（1，1，2），（1）证明：因为＝（1，﹣1，0），＝（1，1，0），所以•＝1﹣1＝0，所以CD⊥EF；（2）因为平面ADE的法向量为＝（0，1，0），平面BDE的一个法向量为（，，），取平面BDE的法向量＝（1，2，1），又因为二面角A﹣DE﹣B为锐角，所以二面角A﹣DE﹣B的余弦值为＝＝；（3）设PC＝t，则P（1，1，t），＝（﹣1，0，﹣t），由（2）知平面BDE的法向量＝（1，2，1），所以直线PB与平面BDE所成角的正弦值为＝＝，解之得t＝1，故CP长为1．19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短半轴长为1，离心率为．（1）求C的方程；（2）设C的上、下顶点分别为B，D，动点P（横坐标不为0）在直线y＝2上，直线PB交C于点M，记直线DM，DP的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值．解：（1）因为短半轴长为1，离心率为，所以，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）由题意可知直线PM的斜率存在且不为0，设直线PM的方程为y＝kx+1，联立，得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x＝0或x＝，所以xM＝，yM＝kxM+1＝，联立，