【高考数学】导数的切线方程(原卷版含参考答案)

【高考数学】导数的切线方程【套路秘籍】导数的几何意义：切线的斜率求斜率的方法公式：当直线l1、l2的斜率都存在时：，切线方程的求法求出直线的斜率求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式写出直线方程。【套路修炼】考向一斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y＝eq\f(1,3)x3在x＝1处切线的倾斜角为。(2)设函数，若，则______________．【套路总结】【套路总结】1.已知切点求切线的斜率解题思路（1）求导：求出导函数（2）将切点的横坐标代入导函数计算即可2.求切点的坐标的解题思路(1)设出切点坐标(2)利用导数或斜率公式求出斜率(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标【举一反三】1.已知在曲线上过点的切线为．（1）若切线平行于直线，求点的坐标；（2）若切线垂直于直线，求点的坐标；（3）若切线的倾斜角为，求点的坐标．考向二在某点处求切线方程【例2】设函数f(x)＝xlnx，则点(1,0)处的切线方程是________．【套路总结】【套路总结】已知切点(x0,y0)求切线方程表述：在某点处的切线方程，该点为切点。求切线方程的基本思路求导：利用求导公式进行求导f’(x)求k:将切点的横坐标x0代入f’(x0)=k求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)注意：如果切点的横坐标已知，求纵坐标，可以将切点的横坐标代入原函数（曲线）求纵坐标。记得切点即在切线方程上也在原函数上。【举一反三】1.函数f(x)＝excosx在点(0，f(0))处的切线方程为。2.曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为___.考向三过某点处求切线方程【例3】已知函数，则过（1,1）的切线方程为__________．【套路总结】【套路总结】未知切点求切线方程1.表述：过某点且与函数（曲线）相切的切线方程2.求切线方程的基本思路（1）判断：判断点是否在曲线上---将点代入曲线①曲线等式成立即点在曲线上，那该点可能是切点可能不是切点，分类讨论；一类该点是切点，参考以上一的求法求切线方程，一类不是切点，请参考下面的方法求切点。②曲线等式不成立，即该点不是切点（2）该点(x1,y1)不是切点但在切线上时，求切线方程的思路①设点：设切点(x0，y0)②求x0：利用斜率的关系求切点横坐标k＝f′(x0)=y1-y0y1-x③求k:利用k＝f′(x0)④求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)或利用点斜式y-y1=f’(x0)(x-x1)【举一反三】已知曲线f(x)=1x，则过点(-1,3)2．过点p(-4,0)3．过坐标原点(0, 0)作曲线考向四求参数【例4】已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R，若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为．【举一反三】1.已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝.2.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为。3.设曲线y＝eq\f(2－cosx,sinx)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2))处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝____________.4，已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是．【套路运用】1.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝_______.2.已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是．3.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是__4.若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝____.5．已知函数fx=ln6．已知某曲线的方程为y=x2+27．已知a∈R，函数fx=a⋅ex-xlnx8．已知恰有两条不同的直线与曲线y=ex-2和9．已知函数fx=x2+alnx+b10．已知函数f(x)=ln(x-1)-11．已知曲线f(x)=x(Ⅰ)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；(Ⅱ)求曲线y=f(x)过原点O的切线方程.11．已知函数f(x)=x（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.12．已知曲线C：y＝x3－6x2－x＋6.(1)求C上斜率最小的切线方程；(2)证明：C关于斜率最小时切线的切点对称．13．设函数f(x)＝ax＋eq\f(1,x＋b)(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．【高考数学】导数的切线方程【套路秘籍】导数的几何意义：切线的斜率求斜率的方法公式：当直线l1、l2的斜率都存在时：，切线方程的求法求出直线的斜率求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式写出直线方程。【套路修炼】考向一斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y＝eq\f(1,3)x3在x＝1处切线的倾斜角为。（2）设函数，若，则______________．【答案】（1）eq\f(π,4).（2）e【解析】（1）∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝eq\f(π,4).由题意得，又，解得．【套路总结】【套路总结】1.已知切点求切线的斜率解题思路（1）求导：求出导函数（2）将切点的横坐标代入导函数计算即可2.求切点的坐标的解题思路(1)设出切点坐标(2)利用导数或斜率公式求出斜率(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标【举一反三】1.已知在曲线上过点的切线为．（1）若切线平行于直线，求点的坐标；（2）若切线垂直于直线，求点的坐标；（3）若切线的倾斜角为，求点的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）两条直线平行斜率相等，2x0=4,x0=2,代入曲线y0=4,切点P（2,4）（2）直线直线垂直，斜率相乘等于-1.（3）因为切线的倾斜角为，所以其斜率为．即，得，，故．考向二在某点处求切线方程【例2】设函数f(x)＝xlnx，则点(1,0)处的切线方程是________．【解析】因为f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.【答案】x－y－1＝0【套路总结】【套路总结】已知切点(x0,y0)求切线方程表述：在某点处的切线方程，该点为切点。求切线方程的基本思路求导：利用求导公式进行求导f’(x)求k:将切点的横坐标x0代入f’(x0)=k求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)注意：如果切点的横坐标已知，求纵坐标，可以将切点的横坐标代入原函数（曲线）求纵坐标。记得切点即在切线方程上也在原函数上。【举一反三】1.函数f(x)＝excosx在点(0，f(0))处的切线方程为。【答案】x－y＋1＝0【解析】∵f′(x)＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，∴f′(0)＝e0(cos0－sin0)＝1．又∵f(0)＝1，∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0．2.曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为___.【答案】5x＋y＋2＝0【解析】由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.考向三过某点处求切线方程【例3】已知函数，则过（1,1）的切线方程为__________．【答案】【解析】由函数，则，当点为切点时，则，即切线的斜率，所以切线的方程为，即，当点不是切点时，设切点，则，即，解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即.【套路总结】未知切点求切线方程【套路总结】未知切点求切线方程1.表述：过某点且与函数（曲线）相切的切线方程2.求切线方程的基本思路（1）判断：判断点是否在曲线上---将点代入曲线①曲线等式成立即点在曲线上，那该点可能是切点可能不是切点，分类讨论；一类该点是切点，参考以上一的求法求切线方程，一类不是切点，请参考下面的方法求切点。②曲线等式不成立，即该点不是切点（2）该点(x1,y1)不是切点但在切线上时，求切线方程的思路①设点：设切点(x0，y0)②求x0：利用斜率的关系求切点横坐标k＝f′(x0)=y1-y0y1-x③求k:利用k＝f′(x0)④求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)或利用点斜式y-y1=f’(x0)(x-x1)已知曲线f(x)=1x，则过点(-1,3)【答案】y=-x+2【解析】设切点为(x0,则切线方程是y-y0=-1又y0=1x0，②由①②切线方程为x+y-2=0或2．过点p(-4,0)【答案】x+【解析】点p(-4,0)不为切点，可设出切点Mm,n又y'=ex+xex，则切线斜率为由①②得，m=-2,n=-即x+e2y+4=03．过坐标原点(0, 0)作曲线【答案】y=ex【解析】因为y=ex，所以y'=e则切线斜率为em，切线方程为y把原点坐标代入切线方程可得m=1，所以过坐标原点(0, 0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为考向四求参数【例4】已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R，若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为．【答案】eq\f(1,e)【解析】设切点坐标为(x0，bx0＋lnx0)，因为f′(x)＝b＋eq\f(1,x)，所以k＝b＋eq\f(1,x0)，则切线方程为y－(bx0＋lnx0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,x0)))(x－x0)．因为切线过坐标原点，所以－(bx0＋lnx0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,x0)))(0－x0)，即lnx0＝1，所以x0＝e，所以k－b＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,e).【举一反三】1.已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝.【答案】－2【解析】∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋mx0＋eq\f(7,2)，m<0，∴m＝－2.2.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为。【答案】2【解析】设切点为(x0，y0)，y′＝eq\f(1,x＋a)，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝x0＋1，,\f(1,x0＋a)＝1，,y0＝ln（x0＋a），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝0，,a＝2.))3.设曲线y＝eq\f(2－cosx,sinx)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2))处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝____________.【答案】1【解析】y′＝eq\f(（2－cosx）′sinx－（2－cosx）（sinx）′,sin2x)＝eq\f(1－2cosx,sin2x)，则曲线y＝eq\f(2－cosx,sinx)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2))处的切线的斜率为k1＝1.因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－eq\f(1,a)，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.4，已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是．【答案】x－y－2＝0【解析】由题图可知，f′(2)＝1，过P(2,0)，∴切线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.【套路运用】1.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝_______.【答案】【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1．又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1．2.已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是．【答案】y＝0或4x＋y＋4＝0【解析】设切点坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))，∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，∴xeq\o\al(2,0)＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.3.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是__【答案】y＝－2x－1【解析】令x>0，则－x<0，f(－x)＝lnx－3x，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝lnx－3x(x>0)，则f′(x)＝eq\f(1,x)－3(x>0)，∴f′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1．4.若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝____.【答案】1－ln2【解析】直线y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋2，y＝ln(x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝lnx＋2得y′＝eq\f(1,x)，由y＝ln(x＋1)得y′＝eq\f(1,x＋1)，∴k＝eq\f(1,x1)＝eq\f(1,x2＋1)，∴x1＝eq\f(1,k)，x2＝eq\f(1,k)－1，∴y1＝－lnk＋2，y2＝－lnk，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，－lnk＋2))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1，－lnk))，∵A，B在直线y＝kx＋b上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－lnk＝k·\f(1,k)＋b，,－lnk＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))＋b))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1－ln2，,k＝2.))5．已知函数fx=ln【答案】x+y=0.【解析】fx=lnx-y-6．已知某曲线的方程为y=x2+2【答案】2x+y-1=0【解析】设直线与曲线切于点（x0，y0）（x0≠2），则k=y0∵y0=x02+2，且∵k=y′|x=x0=2x0，∴y0+3x0-2=2x∵x0=-1，或x0=5，∴k=2x0=-2或10，故直线l的方程2x+y-1=0或故答案为：2x+y-1=0或7．已知a∈R，函数fx=a⋅ex-xlnx【答案】1【解析】因为函数f(x)=aex-则切线的斜率为k=f'1=ae-所以切线方程l为y-ae=ae可得l在y轴上的截距为ae+ae8．已知恰有两条不同的直线与曲线y=ex-2和【答案】0,2【解析】设曲线y=ex-2的切点为（x1，y'=k1=e切线方程为y-ex1-2=ex由①②得x22+1=x1,故1p=ex22-1x2有两解，由①知x2p>0，若x2<0,p<0不合题意；所以必有x29．已知函数fx=x2+alnx+b【答案】3【解析】函数f（x）＝x2+alnx+b，所以f′（x）＝2x+ax（又f（x）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣2，所以2+a＝4解得：a＝2，f（1）＝4﹣2＝2，可得2＝1+2ln1+bb＝1，所以a+b＝3．故答案为：3．10．已知函数f(x)=ln(x-1)-【答案】y+5=0.【解析】因为fx=可知点在曲线上则f'x=即切线的斜率为0又因为过点2,-511．已知曲线f(x)=x(Ⅰ)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；(Ⅱ)求曲线y=f(x)过原点O的切线方程.【答案】(Ⅰ)5x-y【解析】(Ⅰ)由题意得f'x=3x2-4x+1，所以f(Ⅱ)令切点为x0,y0，因为切点在函数图像上，所以y0因为切线过原点，所以0-x03-2x02+x0=3x12．已知函数f(x)=x（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.【答案】(1)13x-y-18=0【解析】（Ⅰ）f'(x)=3x2+1，所以（Ⅱ）设切点为（x0,所以切线方程为y-因为切线过原点，所以-x所以2x03=-2，解得又因为f(-1)=13．已知曲线C：y＝x3－6x2－x＋6.(1)求C上斜率最小的切线方程；(2)证明：C关于斜率最小时切线的切点对称．【答案】见解析【解析】(1)y′＝3x2－12x－1＝3(x－2)2－13.当x＝2时，y′最小，即切线斜率的最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y＋12＝－13(x－2)，即13x＋y－14＝0.(2)证明：设点(x0，y0)∈C，点(x，y)是点(x0，y0)关于切点(2，－12)对称的点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4－x，,y0＝－24－y.))∵点(x0，y0)∈C，∴－24－y＝(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6，整理得y＝x3－6x2－x＋6.∴点(x，y)∈C，于是曲线C关于切点(2，－12)对称．14．