高中数学新定义类型题

同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（本题共22道小题，每小题5分，共110分）1.定义，设实数满足约束条件，则的取值范围是（）（A） （B） （C） （D）2.对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于()A、1B、-1C、0D3.在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，．关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中正确说法的序号为（）A．① B．①② C．①②③ D．②③4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A．2个B．4个C．6个 D．8个5.对于集合N和集合，若满足，则集合中的运算“”可以是加法B．减法C．乘法 D．除法6.设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数.已知对于任意，是函数的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（）A.B.C.D.7.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义.若，，且|A-B|=1，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C(S)等于()A．1B．2C．3D．48.对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M且xN}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{y|y＝－，x∈R}，则A⊕B等于()A．[0,2)B．(0,2]C．(－∞，0]∪(2，＋∞)D．(－∞，0)∪[2，＋∞)9.在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，．关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中所有正确说法的个数为()A． B． C． D．10.给出定义:若（其中为整数）,则叫做与实数“亲密的整数”,记作,在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①函数在上是增函数;②函数的图象关于直线对称;③函数是周期函数,最小正周期为1;④当时，函数有两个零点.其中正确命题的序号是____________.A．②③④B．=1\*GB3①③C．①②D．②④11.定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A． B． C． D．12.对于函数，若，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是A．B．C．D．13.对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得对，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有()A①②B①③C②③D①②③14.设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是()A. B．[－1,0]C．(－∞，－2] D.15.设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使得成立（其中为常数），则称函数在上的均值为，现在给出下列4个函数：①②③④，则在其定义域上的均值为2的所有函数是下面的（）A.①②B.③④C.①③④D.①③16.对任意实数定义运算如下，则函数的值域为（）A.B.C.D.17.设是非空集合，定义，已知，，则等于（）18.设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的一个聚点．则在下列集合中：（1）Z+∪Z﹣；（2）R+∪R﹣；（3）{x|x=，n∈N*}；（4）{x|x=，n∈N*}．其中以0为聚点的集合有（） A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y＝2x2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：（1）y＝2x2＋1，；（2）y＝2x2＋1，；（3）y＝2x2＋1，。那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有()A．5个 B．4个 C．3个 D．2个20.已知若，称排列为好排列，则好排列的个数为21.若，则称A是“伙伴关系集合”，在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为A． B． C． D．22.在数学拓展课上，老师定义了一种运算“SKIPIF1<0”：对于SKIPIF1<0，满足以下运算性质：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0。则SKIPIF1<0的数值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0

第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、解答题（本题共15道小题，每小题5分，共75分）23.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量，“”当且仅当“”或“”。按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若，则；②若，则；③若，则对于任意；④对于任意向量，若，则。其中真命题的序号为__________24.给定数集,对于任意，有且，则称集合为闭集合．①集合为闭集合；②集合为闭集合；③若集合,为闭集合，则为闭集合；④若集合,为闭集合，且，，则存在,使得．其中，全部正确结论的序号是________．25.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如y=|x|是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：=1\*GB3①函数是上的“平均值函数”．=2\*GB3②若是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥．=3\*GB3③若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．=4\*GB3④若是区间[a，b](b>a≥1)上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）26.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图①：将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图③，图③中直线与轴交于点，则的象就是，记作．下列说法中正确命题的序号是（填出所有正确命题的序号）①②是奇函数③在定义域上单调递增④是图像关于点对称．27.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=为两点之间的“折线距离”，则坐标原点O与直线上任意一点的“折线距离”的最小值是_________.28.设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；(i)；(ii)对任意，当时,恒有．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合：①；②；③；④其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是_________(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．29.若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）．已知函数有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是__▲_．30.已知有限集.如果中元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②是“复活集”，则；③不可能是“复活集”；④若，则“复活集”有且只有一个，且.其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）31.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：①；②；③；④其中在区间上通道宽度可以为的函数有(写出所有正确的序号).32.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是____________.（写出所有真命题的序号）33.已知函数的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为的保值区间．若的保值区间是，则的值为_______________．34.存在区间（），使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④其中存在“稳定区间”的函数有____________.（把所有正确的序号都填上）35.若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为________．36.定义一个对应法则．现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则．当点在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点所经过的路线长度为．37.已知数列满足，若正整数满足为整数，则称为“马数”，那么，在区间内所有的“马数”之和为．评卷人得分三、解答题（本题共3道小题，每小题10分，共30分）38.（本小题满分12分）在R上定义运算（b、c为实常数）.记.令（I）如果函数在处有极值，试确定b、c的值；（II）求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；（III）记的最大值为M.若对任意的b、c恒成立，试求k的最大值.39.己知集合A={l,2,3,…,2n},，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P。(1)当n=10时，试判断集合和是否一定具有性质P?并说明理由。(2)当n=2014时①若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?说明理由，②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．40.对于函数，若图象上存在2个点关于原点对称，则称为“局部中心对称函数”．（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部中心对称函数”？并说明理由；（Ⅱ）若为定义域上的“局部中心对称函数”，求实数m的取值范围．

试卷答案1.B2.B3.B知识点：命题的真假判断与应用解析：∵=（ex）•+（ex）*0+*0=1+ex+，对于①，∵1+ex+≥1+=3（当且仅当x=0时取“=”），∴f（x）min=3，故①正确；对于②，∵f（x）=1+ex+=1+ex+e﹣x，∴f（﹣x）=1+ex+e﹣x=1+ex+e﹣x=f（x），∴函数f（x）为偶函数，故②正确；对于③，∵f′（x）=ex﹣e﹣x=，∴当x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）的单调递增区间为[0，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为①②，故选：B．【思路点拨】依题意，可得f（x）=1+ex+e﹣x，对于①，可由基本不等式1+ex+≥1+=3判断其正误；对于②，利用偶函数的定义可判断其正误；对于③，由f′（x）≥0，求得其单调递增区间，可判断其正误．4.C略5.C6.C略7.A略8.C略9.C略10.A略11.D12.D略13.B略14.A略15.D略16.B17.A18.B略19.C20.C略21.A22.C23.①②③略24.②25.【知识点】新定义型函数B10【答案解析】①③④解析：解：=1\*GB3①容易证明正确．=2\*GB3②不正确．反例：在区间[0，6]上．=3\*GB3③正确．由定义：得，又所以实数的取值范围是．=4\*GB3④正确．理由如下：由题知．要证明，即证明：，令，原式等价于．令，则，所以得证．【思路点拨】根据新函数的定义可分析每一个选项的正误情况.26.③④试题分析：解：如图，因为在以为圆心，为半径的圆上运动，对于①当时，的坐标为，直线的方程，所以点的坐标为，故，即①错；对于②，因为实数所在的区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性，故②错；对于③，当实数越来越大时，如图直线与轴的交点也越来越往右，即越来越大，所以在定义域上单调递增，即③对；对于④当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以，再由图形可知的图象关于点对称，即④对，故答案为③④．考点：在新定义下解决函数问题．27.略28.②③④略29.【知识点】一元二次方程根的分布，对称问题【答案解析】解析：解：设(m，n)为函数当x≥0时图象上任意一点，若点(m，n)是函数的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m，－n)必在该函数图象上，得，消去n得，若函数有两个“伙伴点组”，则该方程有2个不等的正实数根，得，解得.【思路点拨】对于新定义题，读懂题意是解题的关键，本题通过条件最终转化为一元二次方程根的分布问题进行解答.30.①③④略31.32.①②略33.略34.②③略35.1略36.37.38.39.(1)略(2)2685解析：解：（1）当n=10时，A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}；∵对于任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b1=10，b2=10+m，使得|b1﹣b2|=m成立；∴集合B不具有性质P；集合C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}具有性质P；∵可取m=1＜10，对于集合C中任意一对元；都有|c1﹣c2|=3|k1﹣k2|≠1；即集合C具有性质P；（2）当n=2014时，A={1，2，3，…，4027，4028}；①若集合S具有性质P，则集合T={4029﹣x|x∈S}一定具有性质P：任取t=4029﹣∈T，∈S；∵S⊆A，∴∈{1，2，3，…，4028}；∴1≤4029﹣≤4028，即t∈A，∴T⊆A；由S具有性质P知，存在不大于2014的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m；对于上述正整数m