2020-2021学年东莞市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年东莞市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1-丫2

设：2：贝如是的（）

1.px-X-20>0,q―|X|―—Z<0,0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.在A4BC中，魂=倒才:，a=驾，则边海的长为（）

A.B.［岫源C.塞的旨D.第嫡

（x,y>0

3.设x,y满足约束条件》一丫2—1,则z=x—2y的最大值为（）

lx+y<3

A.2B.3C.4D.5

4.等差数列｛斯｝中，a.+a7=10,S9=63,则数列｛斯｝的公差为（）

A.4B.3C.2D.1

5.如图，线段4B=8,点C在线段48上，且4C=2,P为线段CB上一动点，D厂”

点4绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点。.设CP=久，△CPD的面积；

为/（x）.则/（久）的最大值为（）

A.2y/2B.2C.3D.38

6.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点尸的直线，与该抛物线交于4B两点，AF=3FB，A,8在抛物

线的准线上的射影分别为0,C.若梯形4BC0的面积为8百，则抛物线的方程为（）

A.y2=3V2xB.y2=|xC.y2=|xD.y2=1x

7.设a>l,定义f5）=《？+++…+会如果对任意的九EN*且九N2,不等式12/（九）+

71。9波>7/。9计/+7（。>0且。。1）恒成立，则实数b的取值范围是（）

29

A.（2,-）B.（0,1）C.（0,4）D.（L+8）

8.复数z满足条件|z+2|—|z—2|=4,则复数z所对应的点Z的轨迹是（）

A.双曲线B.双曲线的右支C.线段D.一条射线

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知居、F2分别为双曲线捻-3=1（61>0/>0）的左、右焦点，且a,b,c成等比数列（c为双

曲线的半焦距），点P为双曲线右支上的点，点/为APaF2的内心.若SA/P6=SA/PB+45刈&6成

立，则下列结论正确的是（）

A.当PF21x轴时，NP&F2=30°B.离心率e=苫恒

C.4=更二D.点/的横坐标为定值a

2

10.下列命题中，是真命题的是（）

A.若五.另=五.3则方=c

B,正数a,b,若雷HA/HF,则QHb

C.当%o6N+，使就<x0

D.正实数％,y,贝ky=1是Egx+Igy=0的充要条件

11.若不等式a/—b%+c>0的解集是（一1,2）,则下列选项正确的是（）

A.b<0且c>0

B.CL-b+c>0

C.a+b+c>0

D.不等式a/+bx+c>0的解集是｛x|-2<x<1｝

12.已知数列｛斯｝的前n项和为%,且%=p,Sn-2Sn^=p（n>2）（p为非零常数），则下列结论中

正确的是（）

A.数列｛%｝为等比数列

B.当p=1时，S$=31

C.当p=决寸,am-an=am+n（m,neN*）

D.Sn=2an-p

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.10.已知一双曲线的实轴与虚轴长度相同，则它的离心率是,渐近

线方程是一

14.数列1-,2-,3-,4—，…的前71项和为__.

74ft1A

15.已知正四棱锥0-4BCD的体积为土，底面边长为冷，则以。为球心，04为半径的球的表

面积为.

16.已知直线心丫=5%+2巾(加羊0)与椭圆心卷+?=1相交于M,N两点，若椭圆C上存在点Q,

使得丽+丽=4的(4*0),则实数；I?的取值范围.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知p：|1-1<2,q：x2-2x+1-m2<0(m>0),且-)p是rq的必要而不充分条件，求

实数m的取值范围.

18.设等差数列｛斯｝的公差为d,Sn是｛即｝中从第2nt项开始的连续2底1项的和，即：

S1—a]，

S2=+。3，

53=。4+。5+。6+。7，

n-1n

Sn=Q2九-1+Q2+l+…+Q2-1，

(1)当4=3,d=2时，求S4

(2)若Si，S2,S3成等比数列，问：数列｛Sn｝是否成等比数列？请说明你的理由.

19.已知△2BC的三个内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且2=]cosA=g的面积S=斗.

C752

(I)求边b和c；

(H)求角B.

20.如图，直三棱柱ABC-AiBiG的侧棱长为1,AB=AC=1,BC=V2.。是BC的中点.

(I)求证：4DJ■平面BiBCQ；

(口)求证：418〃平面ADCi；

(皿)求三棱锥名—ADC】的体积.

21.如图，AB,CC是半径为1的圆0的两条弦，它们相交于48的中点P,若PC=三OP==,求PO的

82

长.

22.已知椭圆C：1+t=l(a>b>0)的离心率为多点M(2,l)在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线］平行于0M,且与椭圆C交于4,B两个不同的点.△A&B，的重心分别为G］、G2,

若原点。在以线段G1G2为直径的圆内，求直线1在y轴上的截距m的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：P：%2-%-20>0,解得x>5或％V-4,

q：不<0,当x20时可化为上日<o即（XT）（X+D>o得0<%<1或%>2

1\x\-2x-2X-2

i_r2

故77Z7<0的解为：x<一2或一1<x<1或x>2,

故选A

分别解出P和q的范围，解q时注意到不关于y轴对称，只要解x20时即可.

本题考查解二次不等式、分时不等式、绝对值不等式集充要条件问题，难度一般.

2.答案：B

解析：试题分析：解三角形问题，一般用正余弦定理解决.本题已知两角及一对边，用正弦定理:

_扁,4_酬豳翻『_"顾|反

自一盗©一躺,瞰）：

考点：正余弦定理

3.答案：B

解析：解：由z=x-2y得y="一：，

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：

平移直线y=

由图象可知当直线y=3》一看过点C（3,0）时，直线y

截距最小，此时z最大，

代入目标函数z=x—2y,得z=3

.•・目标函数z=x-2y的最大值是3.

故选：B.

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.

本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是

解决问题的基本方法.

4.答案：C

解析：解：设等差数列｛斯｝的公差为d,ai+a7=10,$9=63,

(2ar+6d=10

=63'解得d=2,a】=—L

则数列｛即｝的公差为2.

故选：C.

利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.

本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

5.答案：A

解析：解：；CP=x,CP+PB=8-2=6,

:.PB=6—x=PD.

在ACPD中，vCP+CD>PD,CD+PD>CP

,••x+2>6—x,2+6—x>x,

解得2<x<4.

在ACPD中，设NOCP=0,由余弦定理可得==

2x2xxx

・•・sind—Vl-cos29-Jl—

113x-81------------

:./(%)=-xCPxCDxsind=-x%x2xsinO=xsinO=x1-(-----)n2=2J—2(%—3)2+2

.•・当且仅当x=3时，/(x)取得最大值，，⑶=2迎.

故选A.

在△CPZ)中，利用CP+CD>PD,CD+PD>CP,可得2cx<4.在△CPD中，设4DCP=。，由余

弦定理可得cos。=内之丘叨=生X利用平方关系可得sin。=Vi-cos20,利用三角形的面积计

2x2xxx

算公式可得/(久)=|xCPxCDxsine=2V-2(x-3)2+2,利用二次函数的单调性即可得出.

本题考查了三角形三边的大小关系、余弦定理、平方关系、三角形的面积计算公式、二次函数的单

调性等基础知识与基本技能方法，属于难题.

6.答案：A

解析：

本题考查抛物线的概念，突出考查抛物线定义的灵活运用，考查了直线与抛物线的位置关系.注重

了数形结合思想和转化和化归的思想的运用.

利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判

断直线4B的倾斜角，设出48的坐标，依题意表示出焦点坐标，进而得到直线的方程，与抛物线方

程联立消去y,利用韦达定理表示出X1+X2和X1X2,求得|X1-外1，进而求得|%-丫2|，最后利用梯

形面积公式建立等式求得p,即可求出抛物线的方程.

解：不妨点4在第一象限、点B在第四象限，作BC14D,垂足为M,

设|而|=m，\AF\=3m，则由抛物线的定义得依。|=3m,\BC\=m,

：.IABI=4m，IAM|=2m>

^BAM=60°,于是直线2的倾斜角为60。，斜率k=百，

抛物线方程为y2=2px,设4B点坐标分别为(打,光,)，(x2,y2),

・•・焦点尸坐标为(,0),

•••直线4B的方程为y=V3(x->

代入抛物线方程得3/-5px+乎=0,

"*1+*2=xlx2=?，

••­|Xi-x2l=y>

4V3

1-yi\-'P

则梯形48CD的面积为2-CAD+BC)•8=+&+P)M-”1

18473

—,—Y)'----T)=8A/3,

23r3l

••Y)=,

y2

,・.y2=3^2%.

故选：A

7.答案：D

解析：解：由7'5)=W+++•♦・+#□，价+1)=++京…+表，

1

.•./(n+l)-/(n)=-^-+・・是递增数列.

2n+l直I=(2n+l)(2n+2)>°•/•(n)

.♦.当n>2时，/(n)的最小值是/⑵=W

要使对任意的nGN*且《>2,不等式12f(n)+7logab>7loga+1b+7恒成立,

7

则满足12•石+7，。。鹏>7loga+1b+7,

即logab>loga+ib,

嚼>焉，

>0

a>1,Igb>0,即b>1.

故选D.

由不等式12/(n)+7logab>7loga+1b+7恒成立这条件转化化为“/(n)>t”这个形式，要求3先

求/(n)的最小值，最后就是利用a与b的关系求出b的范围.

此题考查数列的增减性，及不等式恒成立问题的常规解法，一般都是转化为求函数的最值来解决.

8.答案：D

解析：解：设复数z=x+yi(x,y€R),4(2,0),8(-2,0)

由|z+2|一|z—2|=4得：+21+y2-—2)2+y2=4

=+2.+y2=’(x-2产+y2+4

两边平方整理得：x-2=J(x-2尸+y2=y=(J。22),

其轨迹是线段BA的延长线上的点，即为一条射线

故选：D.

设复数z,通过|z+2|-|z-2|=4,列出方程，即可求解复数z对应的点的轨迹方程

本题考查两个复数差的绝对值的几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，复数的模的定义，

判断条件代表的几何意义，是解题的关键

9.答案：BCD

解析：解：「a,b,c成等比数列，••.b2=ac,

对于4当PF2，％轴时，点P为(C,?),

b2

/.tanz.?^F?=i显然4PF1F2H30。，即选项A错误；

1乙切2c2ac2

对于8,vb2=ac=c2—a2,e=^>1,

e2-e-1=0,解得©;萼(舍负)，即选项8正确；

对于C,设圆/的半径为r,

•••SA/P&=S^/p松+九5\/月七，

•••》•IPF1I=1•|PF2l+，》•阳尸2|,即|叫|=仍尸2|+2尸1初，

由双曲线的定义知，|PF/-|PF2l=2a,

2a=A-2c,即；1=2=工=在二，故选项C正确;

ce2

对于D,设直线Pa，PF2和0尸2分别与圆/相切于点M,N,T,如图所示，

由双曲线的定义和切线长的性质可知，|Pa|-IPF2I=2a=|70|-|77引，

•••明+\TF2\=2c,

...\TF2\=c-a,即T（a,O）,

・••点/的横坐标为定值a,即选项。正确.

故选：BCD.

对于4求出点P（c,J）,再求tan4PF】F2=禺的值即可判断；对于B,由坟=ac=c?-。2,e=£>1,

解出e的值，即可；对于C,设圆/的半径为r,可推出［PF/=IPF2I+4I&F2I，再结合双曲线的定义，

即可得解；对于D,设直线PF1，P6和尸1尸2分别与圆/相切于点M,N,T,结合双曲线的定义和切线

长的性质可求得ITEI的长，从而确定点7（见0），进而得解.

本题考查双曲线的定义与几何性质，圆的切线性质，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运

算能力，属于中档题.

10.答案：BD

解析：解：对于4若五不=H=0,则3,乙故A错误；

对于8：正数a,b,若等KVHF,整理得：a+b-=（正-乃产#0,则aKb,故B正确；

对于C：当殉6N+，使得欧2与，故C错误；

对于£）：正实数％,y,贝（Uy=1是Zgx+=2gxy=0的充要条件，故。正确.

故选：BD.

直接利用向量的数量积，关系式的变换，不等式的应用，充分条件和必要条件的应用判断4、B、C、

。的结论.

本题考查的知识要点：向量的数量积，关系式的变换，不等式的应用，充分条件和必要条件，主要

考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

11.答案：ABD

解析：解：对于是方程-bx+c=的两个根，所以-

4a<0,-1,2a-01+2=1=-a,-1x2=-a,

所以b=a,c=-2a,所以b<0,c>0,所以A正确；

令、=。/-6%+<:,对于B,由题意可知当％=1时，y=a-b+c>0,所以8正确；

对于C,当x=—1时，a+b+c=0,所以C错误；

对于D,把b=a,c=-2a代入不等式a/+bx+c>0化简可得：x2+x—2<0,解得一2<x<1,

所以不等式a/+bx+c>0的解集是｛x|—2<x<1｝,所以。正确.

故选：ABD.

由已知可得a<0,且一1,2是方程的两个根，则由根与系数的关系可得出力=a,c=-2a,从而可

以判断b,c的符号，即可判断4是否正确，

又由解集可得1满足不等式，所以代入1即可判断B是否正确，而-1不满足不等式，所以可判断C的

正确性，把匕=。，c=-2a代入不等式化简即可求解.

本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.

12.答案：ABD

解析：解：数列｛〃｝前n项和为无,且为=p,Sn-2sli_]=p(n>2)(p为非零常数)，

当n=2时,S2—2S1—p,即a2+%—2al=p,得a2=2p,

当n>3时，Sn-1-2Sn_2=p,

两式相减得：an-2即_1=0,

由琮=2,

所以数列｛a"是以p为首项，2为公比的等比数列，故A正确；

当p=l时，Ss=W=3L故B正确：

m-1xxn-1m+n4

由4可知即=Px2"T,当p=：时，am-an=|x2|2=2~,

c_nm+n-l_om+n-2

am+n-]xv4一乙9

所以.,册。Qm+ii，故C错误；

71n

Sn=)=px2—p,2an—p=px2—pf所以Sn=2an-p,故。正确.

故选：ABD.

直接利用数列的递推关系式求出数列为等比数列，即可判断选项A；利用等比数列的前n项和公式即

可判断选项B；利用等比数列的通项公式即可判断选项C；利用等比数列的通项公式和前"项和公式

即可判断选项D.

本题考查的知识要点：数列递推式，等比数列的通项公式及前n项和公式，考查学生的逻辑推理能力

和运算求解能力，属于中档题.

13.答案:；;

72

解析：双曲线的实轴与虚轴长度相等，则a=b,

y=±x

因为是等轴双曲线，无论焦点在x轴上还是在y轴上，其渐近线方程为故填

c=Ja2+.2=e=-y=+—x=+x^

14.答案：3衿+1-蠢a

解析：设所求的前几项和为Sn,则6=（1+2+…+ri）+（；+丁---^城）=二^~^+1—城,

15.答案：247r

解析：设正四棱锥的高为心则工X（6）2h=三色，解得高h=殛.则底面正方形的对角线长为

3;'S怎

履x币=显,所以04=层以/理'=战，S京=4兀（祈）2=2钮.

『篝I2J

16.答案:（0,4）

解析：解析：设MN中点为P（xo，yo）,则两+丽=4的，OQ=\OP,

所以XQ=齐0，、（2=，0，代入椭圆方程：M=£+y,=G+*）以+4%0+4-，

将直线方程y=Lx+2?n,代入椭圆方程三+”=1得：（1+W）X2+8X+8M2-8=0,

m84m”

所以△=64-4（1+壹）（8m2-8）>0,解得0<巾2<2

且%。=T（/+*2）=一黑7，所以万=怒^=2（式产寸故36（0,4）.

故答案为：（0,4）.

将直线方程y=2x+2ni，代入椭圆方程，运用韦达定理及向量运算可求解.

本题考查椭圆存在性问题的处理方法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，属于中

档题.

17.答案：解：由题意知：命题：若是的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的

充分不必要条件.

p：|x-3|<4,-1<%<7.

q：%2—2%+1—m2<0=>[x—(1—ni)][x—(1+m)]<0(*).

又rm>0,

・,・不等式(*)的解集为｛%|1-m<x<1+m].

・・・p是q的充分不必要条件，

m>0

1-m<-1,解得m>6.

.1+m>7

:•实数m的取值范围是[6,+8).

解析：分别求出p，q,由p是q的充分不必要条件，解不等式从而求出m的范围.

题主要考查不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义，体现了等价转化的数学思想，

属于中档题.

18.答案：解：(1)当%=3,d=2时，Q〃=2n+1,

nn-1n

Sn=a2t+Q2+i+…+Q2-i»

c...8(17+31)

・•・S4=a84-a9d-Ka15=——-——=192；

(2)・・・Si，S2,S3成等比数列，

**,S、=a1H0,S1S3=S：,

・•・+18d)=(2%+3d)2,

・•・d=0或％=

d=0时，$=2,数列｛S"成等比数列；

3oil-1\Q

=nn-1nn

Qiyd时,Sn=Q2t+Q2+i+…+Q2-1=2,1Q2-1----------2--------d=&d♦4"1。0,

••・2=4,数列｛S.｝成等比数列.

解析：(1)求出Qn=2n4-1,再求S4

(2)根据Si，S2,S3成等比数列，求出d=0或%=|d,再分别判断数列｛Sn｝是否成等比数列

本题考查等比数列的性质，考查等比数列的判断，正确求和是关键.

19.答案：解：（I）在三角形中，因为COS4=£所以sim4=7'-cos2A=I，

所以S△谢=沏$讥力=§,而g=1

所以可得b=5,c=7；

（n）由余弦定理可得Q=“72+c2-2bccosA=J25+49-2x5x7x，=3或V/?Vc,所以4<

B<C,

由正弦定理可得，=一、，所以sin8=%讥4=2,之="，

sinBsinAa3v252

所以B=%

4

解析：（I）由4的余弦值可得4的正弦值，由面积公式及c,b的关系求出b,c的值；

（口）由余弦定理可得a边，再由正弦定理可得8的正弦值，由a<b<c可得B为锐角，进而求出B的

值.

本题考查同角的基本关系即三角形的正余弦定理的应用，属于基础题.

20.答案：（I）证明：•••三棱柱ABC-aB1G是直三棱柱，

AByB1底面ABC,

又•••4。u平面4BC,

B[B1AD,

又AB=AC=l.BC=V2,即三角形ABC是以A为直角的等腰直角三角形.

。是BC的中点，

二AD_LBC,而BCn=B,B】B、BCu平面BiBCC1，

•.AD_L平面B1BCC1；

（口）证明：连接41c交4cl于。，连接OD,

•・•点。是矩形4遇CG对角线的交点，

・••。是41c的中点，

又：。是BC的中点，

•••OD"A[B,

•••ODu平面ADC；,ArBC平面4%,

•••&B〃平面ADC1；

(W)解：由(I)知，2D1平面/BCC1，

AC为三棱锥4一B1GD的高，

又「48=40=1,BC=近，D是BC的中点，

•••AD——,

2

SABIQD=]X1XV2—

贝加B]_40G=匕-81QD=|xyxy-^-

解析：本题考查空间中直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，

训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题.

(I)由三棱柱ABC-ABiG是直三棱柱，得B1BJ■底面4BC,则为81/1。，再由4B=AC,。是BC的

中点，可得4D_L8C,贝IJ4D1平面/BCC1；

(口)连接4停交"1于0,连接。。，可得。0〃&B,再由线面平行的判定可得