《计算电磁学》第六讲

《计算电磁学》第六讲Dr.PingDU(杜平)E-mail:SchoolofElectronicScienceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)Nov.3,2011FDTD中的假设干技术及应用4/24/2024

OutlineI.鼓励源的设置II.集总元件的模拟III.近场-远场变换IV.FDTD法的一些应用实例4/24/2024I.鼓励源的设置为减少引入源带来的内存占用和计算时间，要求鼓励源的实现要紧凑.1.1强迫鼓励源在FDTD网格中，通过直接对特定的电场或磁场分量强行赋予所需的时间变化形式，可简便地建立强迫鼓励源。比方，对一维TM网格，波沿x轴传播，电场只有分量，为模拟频率为、在n=0时开始的连续正弦波源，可在源处()令为另一种常用的源是高斯脉冲(6-1)(6-2)4/24/2024假设要求高斯脉冲在t=0时刻近似为零，那么应选取T由所需的脉冲频谱带宽决定高斯脉冲的频谱也是高斯形的。超过某个频率后，其频谱的幅度很小了，该频率称为如，可选如果要使直流分量为零，有效中心频谱中心位于,那么可采用调制高斯脉冲作为源(6-4)(6-3)(6-5)4/24/2024上述强迫鼓励源会产生相应时间变化的数值波,将从源点向两个方向对称传播于是得到了形式紧凑的鼓励源。抽样函数鼓励源其傅立叶变换为频谱主要分布在主峰附近，远离它的频谱奉献可忽略不计，可只取主峰前后2T范围内的波形。考虑到FDTD执行时间从0开始，可将时域波形平移为(6-7)(6-6)4/24/2024当研究单模工作波导等具有一定工作频带电磁结构时，该频谱限带信号最适宜设波导单模工作带宽为，中心频率为，那么可取(6-8)(6-9)4/24/2024表7-1稳态源鼓励下场到达稳定所需的时间散射体结构类型稳定所需波源周期数凸型二维金属散射体，跨度小于1λ,TM波有耗三维结构，特别是由生物体组成的三维结构≥5凸型二维金属散射体，跨度为1~5λ凸型三维散射体，跨度为1~5λ5~20三维金属线或棒，跨度为1λ，接近谐振激励三维金属散射体，跨度为10λ，有角反射和开放腔20~40深度重入式三维金属散射体，跨度≥10λ>40三维任意尺寸金属散射体，具有中等到高Q的带孔谐振腔，接近谐振激励>1004/24/2024为克服强迫鼓励源引起虚假反射,在鼓励脉冲几乎衰减为零、来自结构的反射波到达网格点之前，将鼓励去掉。网格点场值的刷新换用标准FDTD公式。如果网格点为边界点，场值的刷新换用吸收边界条件。但这一方法，对(6-1)的正弦鼓励源不适宜.因为鼓励在来自结构的反射波到达网格点之后仍然存在，不能被去掉.另外，对脉冲宽度较宽的高斯脉冲(包括调值和非调制)鼓励源，为使来自结构的反射波到达网格点之前鼓励脉冲几乎衰减为零,网格点到结构的距离要充分大，这会增加内存占用、增加计算时间。但由于形式简单、使用方便，强迫鼓励源还是被用来处理许多工程问题，只要其使用条件满足.如波导系统中同轴线探针的模拟，就可将强迫鼓励源放置于金属探针处。4/24/2024克服强迫鼓励源虚假反射的另一方法:将鼓励源看成有源Maxwell方程中的电流密度J进行处理。根据Maxwell方程分量的FDTD差分格式为记等效电场鼓励源为总场FDTD公式为这种引入鼓励源的方式不会产生虚假反射(6-10)(6-11)(6-12)(6-13)4/24/2024注意：等效鼓励源并不等于处的电场值，它仅仅是鼓励的源.由于这种鼓励以FDTD公式为载体，因而不能放置在仿真区的边界。这里的附加鼓励源是在电场FDTD中引入，相当于电压源鼓励；如果在磁场FDTD中引入，相当于电流环鼓励。强迫鼓励源常被用来模拟波导系统中的入射波。根据所需模拟的传播模式的时空分布，取某一波导横截面为鼓励源平面，对位于该面上的电场切向分量赋予相应的时空变化。此时，要将(1)、(2)、(5)中的替换为相应模式的横截面的场分布函数。如采用高斯脉冲鼓励，波导系统的传输方向沿z轴，模式的横截面场分布为,强迫鼓励源加在处于是，强迫鼓励源为4/24/2024这样方式不会激起不希望存在的模式。假设模式的横截面场分布未知，有两个方法：(1)采用近似的模式分布；(2)通过预处理，数值仿真获得所需模式分布。可能鼓励不希望存在的数值模式。为此需要增加一长段辅助波导让高次模充分衰落，余下较纯的所需模式分布。先用FDTD仿真一个与要研究的波导截面相同、足够长的均匀波导，使高次模充分衰落；然后在波导远端记录横截面切向电场分量的分布。从而得到了强迫鼓励源。需要注意：鼓励源的频谱尽量不包含低于截止频率的分量。(6-14)4/24/20241.2总场/散射场体系在FDTD中，它用的最多。以电磁散射问题为例进行说明，如图1.图1将FDTD网格划分为总场区和散射场区4/24/2024将仿真区域分为1区和2区，前者为总场区(入射场+散射场)，在该区用总场FDTD公式；后者为散射场区，用散射场FDTD公式。区域2的外边界为截断边界，用吸收边界条件吸收外向波。连接边界上的场为总场。只要入射场的时空变化准确给出，上面的鼓励源引入过程不含任何近似，也不引入任何虚假模式，且形式紧凑，内存占用少。例1考虑金属机箱，左面开孔，位于TEM平板传输线中，TEM平面电磁波照射到该机箱，一局部波通过孔进入机箱，其余被反射，如图2所示。图2机箱屏蔽问题4/24/2024设入射波只有、分量鼓励连接面放在距离机箱含孔面为L的地方，并以此平面将场区分为散射场区(不含机箱)和总场区(含机箱)。为保证电磁场的连续性，在此平面需引用鼓励连接条件。设鼓励连接面位于处、和位于鼓励连接面上且取为总场。鼓励连接条件为：在连接平面上(6-15)4/24/2024(6-16)4/24/2024在连接面左邻半个步长的网格点上，(6-17)4/24/2024其中，t、s、in分别表示总场、散射场、入射场。本例中，，(6-18)4/24/2024在总场/散射场体系中，鼓励源的引入很紧凑，只要知道平面上的切向电场和平面的切向入射磁场。对一般的导波系统，设入射波为高斯脉冲，模式横截面电场分布为、横截面磁场分布为，鼓励源可表示为(6-19)4/24/2024其中，v是波模沿z轴的传播速度。对无色散的波模，对无色散(或弱色散)的TEM(或准TEM)传输线中的主模，假设其等效介电常数，那么.对一般波模，v可以事先通过一个FDTD数值模拟过程计算获得。(6-20)4/24/2024总场/散射场体系具有如下特点：©可实现任意波鼓励©可直接使用吸收边界条件©易于计算远场响应©更宽的计算动态范围©不适合于分析宽带色散导波系统对色散严重的导波系统，是频率的函数，式(6-19)中的v取值不确定.4/24/20242.集中参数电路元件的模拟在Maxwell方程中的位移电流之后再引入一项集总电流密度可以计及集总电路元件的影响。方程扩展为

,假设元件位于自由空间，沿z轴放置，与电场元件的截面积按一个网格计，那么元件的局部电流密度和元件总电流满足

处于同一位置。2.1扩展FDTD方程其中分别为x、y方向的步长，是元件两端电位差的函数规定的正向为+z方向。(6-21)(6-22)4/24/2024于是得到扩展FDTD方程对于沿x轴和y轴取向的集总参数元件可类似处理。2.2几种集总参数电路元件(1)电阻用FDTD分析电路时，可能会遇到含电阻的情况。可以采用实体电阻；也可以采用前述的集总参数元件模型。对于电阻，其电流-电压特性为(6-23)(6-24)4/24/2024将其代入式(6-23)，整理得的时间步进关系为验证该集总参数电阻在FDTD计算中的性能，有人曾模拟了50Ω微带线端接匹配电阻的例子，鼓励源是一有效带宽为20GHz的高斯脉冲。数值实验说明，直到1GHz范围内，这两种电阻模型产生的反射系数均小于1%.(6-25)(6-26)4/24/2024(2)阻性电压源利用扩展FDTD方程模拟集总参数元件的能力，可以很方便地模拟一个无反射的阻性电压源。阻性电压源的电流-电压特性为其中，是电压源，是源内阻。将其代入式(6-23)，整理得的时间步进关系(6-27)(6-28)4/24/2024其中，，(3)电容电容的电流-电压特性为其中，C是电容值。(6-29)(6-30)(6-31)4/24/2024将其代入式(6-23)，整理得的时间步进关系(4)电感电感的电流公式为其中，L为电感值。电感的电流-电压特性为(6-32)(6-33)4/24/2024将其代入式(6-23)，整理得的时间步进关系(5)二极管集总参数二极管的电流-电压特性为(6-34)(6-35)(6-36)(6-37)4/24/2024其中，q是电子所带的电量，Vd是二极管两端电压，k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。将其代入式(6-23)，整理得的时间步进关系利用牛顿法求解〔6-38〕可得电场刷新值。数值实验说明，该模型在直到15V的二极管电压范围内都是数值稳定的。(6-38)4/24/2024(6)双极型晶体管对NPN双极型晶体管，也能用FDTD算法实现大信号分析，包括对数字开关过程的分析。图3所示为一接在微带线上的双极型晶体管，发射极接地，基极接在微带线上.

图3端接在微带线上的共发NPN双极型晶体管的三维FDTD模型4/24/2024根据Ebers-Moll晶体管模型，其电流-电压满足如图3所示，假设晶体管位于自由空间，沿z轴取向，微带与接地板的间距是一个空间步长。基极-发射极电压可用FDTD法算得的电场来表示

(6-39)(6-40)(6-41)(6-42)4/24/2024相似地，基极-集电极电压可用FDTD法算得的电场来表示

将式(6-43)、(6-44)代入到式(6-39)-(6-42)，可得(6-43)(6-44)(6-45)4/24/2024将这两式代入式〔6-23〕，可得晶体管处电场分量的FDTD刷新公式用牛顿-拉夫森法可求得上述耦合超越方程组。数值实验说明，用上述方法算得的与用SPICE模型求得的解吻合很好。牛顿-拉夫森方法(Newton-Raphsonmethod)：用牛顿-拉夫森方法求解的根。迭代公式为(6-46)(6-47)(6-48)4/24/2024使用时，要先设定一初值

。3.近场-远场变换(Near-FieldtoFar-FieldTransformation)采用总场/散射长体系，散射场区的外边界可以不随散射或辐射体而变化，因而可以用统一不变的计算过程由外边界上的近区场计算出远区散射或辐射场。先考虑时谐场(timeharmonicfield)情形。3.1二维TM波场分量有3个：设FDTD仿真区域(散射场区)的外边界为C，nc为C的单位外法向矢量，C上的切向电场和切向磁场分别为，“~”表示频域量。4/24/2024根据等效原理，C上的切向等效电流和等效磁流分别为频域远区场为其中，分别为沿z轴和径向的单位矢量。如果定义复数方向图函数为(6-49)(6-50)(6-51)(6-52)4/24/2024那么双站雷达散射截面(RCS)为为计算远场，需先知道C上的。假设切向电场位于网格外边界C上，等效磁流可由C上的算出；等效电流需要，其可以从C后退半个步长的网格点上取值。为获取频域数据，可以利用离散傅立叶变换。设表示网格点上切向场的时域采样。其频域值为其中N为总的步进数，Δf=1/(NΔt)。(6-53)(6-54)4/24/20243.3三维情形设FDTD仿真域的外边界是S，其单位外法向矢量为ns，S上的切向电场和切向磁场分别为由等效原理，S上的切向等效电流和等效磁流分别为频域远区场可由下式计算(6-55)(6-56)(6-57)(6-58)(6-59)4/24/2024其中，为自由空间波阻抗，按以下式子计算(6-60)(6-61)(6-62)(6-63)(6-64)4/24/2024其中，是远区场点位置矢量r和等效面元S上源点位置矢量之间的夹角.假设S是一个边长为的矩形盒子，中心在原点。那么上述闭合面上的积分可气氛3组面积分：(1)位于的两个外表和的非零分量：指数相位项：。(6-65)(6-66)4/24/2024积分区间:。(2)位于的两个外表和的非零分量：指数相位项：积分区间:。(6-67)(6-68)4/24/2024位于的两个外表和的非零分量：(3).指数相位项：积分区间:.散射场的时间平均Poynting矢量为(6-69)(6-70)4/24/2024那么双站RCS为其中，为入射波功率密度。对于辐射问题(如天线/天线阵)，式(6-71)仍然可以用来计算远区场方向图。因为此时没有入射波，可以取天线的总入射功率。(6-71)4/24/20243.FDTD法应用例子

3.1均匀三线互连系统3.2波导元件的高效分析3.3传输线问题的降维处理3.4周期性结构分析4/24/20243.1均匀三线互连系统互连系统设计是目前超高速集成电路研制中的一项关键技术。图4所示为一均匀三线互连系统。当超宽频使用的时候，信号的有效频谱从DC一直到微波段。加上超微细结构，他的特性与低频电力传输线、高频微波传输线有同有异。图4均匀三导体互连系统4/24/2024采用FDTD法分析多导体互连线的传输特性，将导体条带及接地板作为导电率为的媒质处理，能计及趋肤效应、邻近效应以及色散等因素的综合作用。本问题的FDTD求解过程为：1)在初始(t=0)时令所有的场量都为零.2)将一高斯脉冲鼓励加在端口1。①先从FDTD方程算出时刻的磁场强度②再从FDTD方程算出时刻的磁场强度③令接地板下外表切向电场为零，并在截断边界上用吸收边界条件；4/24/2024④记录端口i(i=1,2,3,4,5,6)参考面处的电压值