高中数学人教A版选修23课时跟踪检测（十八）离散型随机变量的方差

课时跟踪检测（十八）离散型随机变量的方差层级一学业水平达标1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较解析：选B∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2 B．2－4C．3·2－10 D．2－8解析：选CE(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝eq\f(1,2)，n＝12，则P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))11＝3·2－10.3．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是()A．0和1 B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)p解析：选D由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6解析：选B∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.5．设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(x2＋x3,2)，eq\f(x3＋x4,2)，eq\f(x4＋x5,2)，eq\f(x5＋x1,2)的概率也均为0.2，若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则()A．D(ξ1)>D(ξ2)B．D(ξ1)＝D(ξ2)C．D(ξ1)<D(ξ2)D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关解析：选A由题意可知E(ξ1)＝E(ξ2)，又由题意可知，ξ1的波动性较大，从而有D(ξ1)>D(ξ2)．6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．解析：事件在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.答案：0.57已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.解析：由E(X)＝30，D(X)＝20，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np(1－p)＝20，))解得p＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．已知离散型随机变量X的分布列如下表：X－1012Pabceq\f(1,12)若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.解析：由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×\f(1,12)＝0，,(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×\f(1,12)＝1，))解得a＝eq\f(5,12)，b＝c＝eq\f(1,4).答案：eq\f(5,12)eq\f(1,4)9．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)．解：由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.10．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值和方差．解：设事件A表示“该地的1位车主购买甲种保险”，事件B表示“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C表示“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D表示“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”，则A，B相互独立．(1)由题意知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A∪B，则P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝eq\x\to(C)，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.由题意知X～B(100,0.2)，所以均值E(X)＝100×0.2＝20，方差D(X)＝100×0.2×0.8＝16.层级二应试能力达标1．设二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1解析：选B由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.2．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝eq\f(2,3)，P(ξ＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知E(ξ)＝eq\f(4,3)，D(ξ)＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为()A．eq\f(5,3) B．eq\f(7,3)C．3 D．eq\f(11,3)解析：选Cx1，x2满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x1＋\f(1,3)x2＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2×\f(1,3)＝\f(2,9)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3).))∵x1<x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.3．某种种子每粒发芽的概率是90%，现播种该种子1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望与方差分别是()A．100,90 B．100,180C．200,180 D．200,360解析：选D由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B(1000,0.1)．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，故X＝2ξ，则E(X)＝2E(ξ)＝2×1000×0.1＝200，故方差为D(X)＝D(2ξ)＝22·D(ξ)＝4×1000×0.1×0.9＝360.4．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于()A．0 B．1C．4 D．2解析：选A由分布列的性质，得a＋eq\f(1,3)＝1，a＝eq\f(2,3).∵E(ξ)＝2，∴eq\f(m,3)＋eq\f(2n,3)＝2.∴m＝6－2n.∴D(ξ)＝eq\f(1,3)×(m－2)2＋eq\f(2,3)×(n－2)2＝eq\f(2,3)×(n－2)2＋eq\f(1,3)×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2时，D(ξ)取最小值0.5．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.解析：由题意设P(ξ＝1)＝p，则ξ的分布列如下：ξ012Peq\f(1,5)peq\f(4,5)－p由E(ξ)＝1，可得p＝eq\f(3,5)，所以D(ξ)＝12×eq\f(1,5)＋02×eq\f(3,5)＋12×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)6．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.解析：由题意知，－p1＋p3＝0.1，1．21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.答案：0.40.10.57．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：ξ110120125130135P0.10.20.40.10.2η100115125130145P0.10.20.40.10.2其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好．解：E(ξ)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(η)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(ξ)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(η)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，由于E(ξ)＝E(η)，D(ξ)<D(η)，故甲厂的材料稳定性较好．8．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．(1)求X的分布列、均值及方差；(2)求Y的分布列、均值及方差．解：(1)X的可能值为0,1,2.若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(6,11)，同理，有P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(9,22)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,22).∴X的分布列为X012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)∴E(X)＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2).D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2×eq\f(6,11)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq\f(9,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f