人教版八年级二次根式知识点总结课件

人教版八年级二次根式

全章知识点总结课件一.二次根式的概念及有关性质1.理解二次根式的概念.（重点）2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）

问题1

什么叫做平方根?

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2

什么叫做算术平方根?

如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用表示.问题3

什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.问题引入思考

用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)若面积为3的正方形,则边长为_____m；若面积为S的正方形的边长为_____m．(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．新知探究（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．新知探究问题1

这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是：，，，．

①根指数都为2;②被开方数为非负数.问题2

这些式子有什么共同特征？二次根式的概念及有意义的条件1新知探究

一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式.

“”称为二次根号.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥0注意：a可以是数，也可以是式.新知探究

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：例1典例解析

当x是怎样的实数时,在实数范围内有

意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.例2典例解析【变式题1】

当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意，得x-1＞0，∴x＞1.典例解析解：∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.

归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.典例解析【变式题2】

当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.

归纳：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.典例解析(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加如有意义的条件：(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：

A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：

A≥0且B≠0.归纳小结1.下列各式：.

一定是二次根式的有（）A.3个B.4个C.5个D.6个B2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

练一练问题1

当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.问题2

二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？二次根式的双重非负性2新知探究二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性新知探究若，求a-b+c的值.解：

由题意可知，a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例3典例解析

已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意，得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．例4典例解析【变式题】已知a、b为等腰三角形的两条边长，且a、b满足，求此三角形的周长．解：由题意，得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．归纳：若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.典例解析已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意，得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.练一练2.式子有意义的条件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA-10当堂练习4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：当堂练习5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．解：由题意，得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，∴m＞2．(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．解：由题意，得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.当堂练习6.若x、y是实数，且y＜,求的值.

解：根据题意，得∴x=1.∵y＜,∴y＜，∴

.当堂练习7.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意，得x(x-1)≥0.由乘法法则，得或解得x≥1或x≤0，即当x≥1或x≤0时，有意义.x≥0,x-1≥0,x≤0,x-1≤0,当堂练习体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解：由题意,得则解得x≥2或x＜，即当x≥2或x＜时，有意义．当堂练习二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式中,a≥0且

≥0课堂小结二、

二次根式的乘除运算

二次根式的乘法二次根式的除法分母有理化最简二次根式知1－导计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?1知识点二次根式的乘法归纳计算下列各式：例1解：知1－讲总

结1.两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方；2.当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，如(b≥0，d≥0)，即将根号外的因数(式)与根号外的因数(式)相乘的积作为积的系数，被开方数与被开方数相乘的积作为积的被开方数．知1－讲1计算：（来自《点拨》）导引：(1)(2)两题直接利用公式

(a≥0，b≥0)计算；(3)(4)两题要利用乘法交换律和结合律，将二次根式根号外的因数(式)和两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符解：2

【中考·河池】计算：

3

【中考·安徽】计算

的结果是(

)A.

B．4C. D．23B二次根式的除法2知识点1.计算：知2－导2.根据上题计算结果，用“＞”、“＜”或“＝”填空：综上所述，二次根式的除法法则:_______________.当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的_______，被开方数之商为_______.归纳(a≥0，b＞0).计算下列各式：例2解：总

结利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．1计算:(a＞1，b＞0).导引：(1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要注意根号外的因数与因数相除，同时要注意结果的符号；(3)进行计算时需先把带分数化成假分数．解：2成立的条件是(

)A．a≠1 B．a≥1且a≠3C．a＞1 D．a≥3知2－练D3计算

的结果是(

)A. B.C. D.知2－练C分母有理化3知识点请就小明和大刚分别计算

的做法给予评价，并谈谈你的想法.小明的做法(先运算后化简)解：大刚的做法(先化简后运算)解：归纳在本例的解答过程中，将分别化成了

也就是将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子.像这样，把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.去掉下列各式分母中的二次根式：例3导引：要想将分母有理化，其实质是将分子、分母同乘一个适当的数(式)，使分母转化为

的形式．(1)分子、分母同乘

(2)有多种方法：可以先运用二次根式的除法法则，再把被开方数进行化简，最后进行开方运算，也可以先分别把分子、分母进行化简，再将分子、分母同乘一个适当的数(式)，化去分母中的根式；(3)分子、分母同乘(4)分子、分母同乘解：总

结

分母有理化的一般步骤：“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)开方后移到根号外；“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；“三化”，即化简计算．1将下列各式分母中的二次根式去掉：(1) (2)(3) (4)解：2

【中考·上海】在下列各式中，二次根式

的有理化因式是(

)A.

B.C. D.C3化简的结果是(

)A. B.C. D.D5.最简二次根式满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不能含开的尽方的因数或因式1.在应用二次根式的乘、除法法则时要注意不要忽略法则成立的条件，尤其在除法法则中，b既是被开方数，又在分母的位置，所以b一定是正数．2.当二次根式根号外有因数或因式时，可以类比单项式乘单项式(或单项式除以单项式)的法则计算，在二次根式的计算中，最后的结果应不含开得尽方的因数或因式，同时分母中不能含有二次根式．3.最简二次根式3.法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即：4.与前面学习二次根式的乘法法则类似，将式子(a≥0，b＞0)两边的式子交换一下，我们又得到了商的算术平方根的件质.商的算术平方根的件质：(a≥0，b＞0)，可以叙述为两个数的商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.三、二次根式的加减同类二次根式二次根式的加减回顾旧知把下列式子化成最简二次根式；

这两组式子有什么特点？引入新知几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。探究思考1？如何计算：

探究思考2？如何计算：

它们两个能够合并吗？

探究思考3能合并吗？

它们两个能够合并吗？

呢？说说你的想法?知识梳理二次根式加减时，先把二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。课堂练习例1下列根式中，不能与

合并的是(

)A.

B.