2024届河北省衡中同卷高三上学期期末考试数学及答案

数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A{1xBx0x2∣AB1.已知集合，则（）0,11,2D.1,2A.B.C.axy30和直线l：3x2y30al2.已知直线：垂直，则（）123232232A.B.C.D.D.33.已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的侧面积为（）1623A.4πB.12πC.16ππ4.已知函数是定义域为R的奇函数，当fxx0时，，则（）fxx1xf12A.1B.C.2D.0cos2555.已知是第一象限角，cos，则（）sin13751A.B.C.D.5531前项和，且成等差数列，则（）San0的n13S,S,SS66.记为等比数列nn12342A.126B.128C.254D.256上，则xy20y轴交于A，B两点，点P在圆x22x分别与轴，y22ABP7.直线取值范围是面积的2648A.B.C.232D.22328.设a2ln0.99，bln0.98，c0.961，则（）A.abcC.bacB.D.cba二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目第1页/共5页要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.Sn的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）anSnn27n9.数列n是递增数列a1410aA.B.na0nn3或4时，S取得最大值nC.当n4时，D.当x，则下列说法错误的是（fx2xe）10.已知函数A.图象在x2处的切线斜率大于0fx的B.的最大值为fxeC.在区间fx上单调递增有两个零点，则fxaaeD.若ππ2fxsinx11.已知gxsin，则下列结论正确的为偶函数，x3是（）πA.623B.若的最小正周期为3π，则gx7C.若在区间π上有且仅有3个最值点，则的取值范围为33gx,π43D.若g，则的最小值为22BAC，过中点的直线与线段12.如图，在中，，AB3，BC1MlAB交于点2．将AMN沿直线l翻折至，且点A在平面BCMN内的射影H在线段上，连接交N△AMNBCl于点O，D是直线l上异于O的任意一点，则（）A.ADHADCB.ADHAOH第2页/共5页C.点O的轨迹的长度为6D.直线AO与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为83第II卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.52a1,bk,13.已知向量，若a//b，则k__________.yxyx22和圆x3y32都相切的圆的方程：______.14.写出一个圆心在上，且与直线15.表面积为100πS､A､B､C，△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若S面SAB⊥面ABC，则棱锥体积的最大值为___________.411116.数列满足a,ana1nN，则的整数部分是__________．a2*n1n1n1a2a3四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.ACbsinC17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且csin.2（1）求角B；的周长.（2）设BD是AC边上的高，且BD1，b3，求18.如图所示，在四棱锥E中，底面ABCD是菱形，ADC60，AC与BD交于点O，底面ABCD，F为BE的中点，ABCE．第3页/共5页（1）求证：//平面ACF；（2）求AF与平面EBD所成角的正弦值．34是各项都为正整数的等比数列，an且与的等差中项，数列满足4bn1a3是a219.已知数列1n1n1.（1）求数列的通项公式;a,bnnn5kan8n2k24（2）若对任意nN恒成立，求实数k的取值范围.*220.已知点P到(0)的距离是点P到的距离的2倍.B0（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.的轨迹交于，F两点，探索是否为定E21已知函数fxexasinx1aR．fxπ3π,（1）当a1时，讨论函数gx在上的单调性；ex22（2）当a3时，证明：对x，有fxex12e2x．x1322.如图①，在中，BCAB13,cosB,E,D分别为BC,AC的中点，以为折132痕，将折起，使点C到达点的位置，且C1，如图②.111l，证明：lP,B,EABC；1（1）设平面平面平面（2）P是棱1D（3）P是棱1D的中点，过三点作该四棱锥的截面，与CA交于点Q，求；11P,B,EBEC三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的1第4页/共5页3正切值为，求该截面将四棱锥分成上､下两部分的体积之比.2第5页/共5页数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A{1xBx0x2∣AB1.已知集合，则（）0,11,2D.1,2A.B.C.【答案】A【解析】【分析】直接利用集合的交运算法则进行运算即可.A{1xBx0x2∣【详解】因为集合，故AB{x|0x，故选：axy30和直线l：3x2y30垂直，则2al2.已知直线：（）13232232A.B.C.D.3【答案】D【解析】a【分析】由直线垂直的充要条件列出关于的方程，解方程即可.laxy30和直线l：3x2y30垂直，2【详解】因为直线：123a3120a所以，解得.故选：D.3.已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的侧面积为（）1623A.4πB.12πC.16πD.π【答案】B【解析】第1页/共22页【分析】由圆锥的侧面展开图扇形基本量与圆锥基本量间的关系可得.【详解】已知圆锥的底面半径r2，高h42，则母线长lr6，2h222(42)2圆锥的侧面展开图为扇形，且扇形的弧长为圆锥底面圆周长2r，扇形的半径为圆锥的母线长l，1S2rlrl26π12π则圆锥侧面积.2故选：B.4.已知函数是定义域为R的奇函数，当fxx0时，，则（）fxx1xf12A.1B.C.2D.0【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义计算得解.【详解】定义在R上的奇函数，当fxx0，fxx1x时，所以ff2.故选：Bcos2555.已知是第一象限角，cos，则（）sin13751A.B.C.D.55【答案】B【解析】【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简求值.第2页/共22页255【详解】因为是第一象限角，cos，22555所以sin121，52552cossincossin2557522121所以，55故选：B.312的前项和，且成等差数列，则（）San0n13S,S,SS66.记为等比数列nn1234A.126B.128C.254D.256【答案】A【解析】221a3a1634a2q2211SSSa228132322运算求解.【详解】设等比数列的公比为，则qq0，ana122a421a3a163123由题意可得1，即，a112312SSS132222a4aq4a2121整理得，则8，解得q2，a2a81q2322126所以S6故选：A.126.12xy20y轴交于A，B两点，点P在圆x222上，则x分别与轴，y2ABP面积的7.直线取值范围是2648A.B.C.232D.2232【答案】A【解析】第3页/共22页，A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可直线xy20xy分别与轴，轴交于A，B两点详解：A2,0,B222,则点P在圆x）y2上22202d122圆心为（2，022,32xy20d的距离的范围为2故点P到直线1SABd22d22,6则2故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．8.设a2ln0.99，bln0.98，c0.961，则（）A.abcC.bac【答案】D【解析】B.D.cba【分析】根据对数的运算法则及对数函数的单调性，直接比较a和b的大小；构造函数fx1x12x1，求导判断其单调性，进而比较b和c的大小.【详解】a2ln0.990.9920.98010.98b，x0.02,b1x,c12x1令令，，112x1(xfx1x)21x12xfx，1x12x1x212xx12x0，212fxfx在所以1x12x，即0，故,上单调递增，ff00所以，即bc，综上，abc.第4页/共22页故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）anSnSnn27n9.数列n是递增数列a1410aA.B.na0nn3或4时，SC.当n4时，D.当取得最大值n【答案】CD【解析】时，通项公式，即可判断、、ABCS【分析】根据表达式及n2aSSa的关系，算出数列nnnnn1Snn27n选项的正误.的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.a，则naSS2n8aS6218，又1a2n8n【详解】当n2时，，所以nnn11是递减数列，故A错误；12，故B错误；n4a82n0当时，，故C正确；n7Snn27nnn，开口向下，而是正整数，且n3因为的对称轴为或距离对称轴一样远，所以42n3S或时，取得最大值，故正确当4D.n故选：CD.x，则下列说法错误的是（fx2xe）10.已知函数A.B.的图象在x2处的切线斜率大于0fx的最大值为fxeC.在区间fx上单调递增有两个零点，则fxaeaD.若【答案】ACD【解析】【分析】利用函数的导数逐项判断求解即可.第5页/共22页【详解】由题得xxx，则f2e20，故A错误；fxe2xe1xe当x1时，fxfx在区间在区间,1上单调递增；上单调递减，fxfx当x1时，所以的极大值即最大值为，故B正确，C错误；f1fxegxfxa令gx1xex，，则由B知在区间gx上单调递增，在区间上单调递减，,1所以的极大值为，且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，gxgxg1eaxgxax趋向于，ea0所以若fxa0ae，即，故D错误.有两个零点，则a0故选：ACDππ2fxsinx11.已知gxsin，则下列结论正确的为偶函数，x3是（）πA.623B.若的最小正周期为3π，则gx7C.若在区间π上有且仅有3个最值点，则的取值范围为33gx,π43D.若g，则的最小值为22【答案】ABC【解析】【分析】先求出函数的解析式，然后逐项判断即可求解.fxππππfxsinx0)【详解】对A：若π,kZ，，为偶函数，则3232ππ，所以，A选项正确；26第6页/共22页2π23对B：若的最小正周期为3π，则T3π，所以，故B正确；gxππ66π6xπ，得x,πgx在区间π上有且仅有3个最值点，对C:由，若5ππ7π7310π则，得，故C正确；2623π6π4ππ3gxsinx对D：因为sin，若g，462πππππ2π则2π或2π，46346328k或28k,kZ得，32又0，所以故选：ABC.的最小值为，故D错误.3BAB3，BC1Ml12.如图，在中，，，过AC中点的直线与线段AB交于点2．将AMN沿直线l翻折至，且点A在平面BCMN内的射影H在线段上，连接交N△AMNBCl于点O，D是直线l上异于O的任意一点，则（）A.ADHADCB.ADHAOHC.点O的轨迹的长度为6D.直线AO与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为83【答案】BCD【解析】【分析】A、B选项结合线面角最小，二面角最大可判断;对于C，先由旋转，易判断出AO，故其轨迹为圆弧，即可求解.对于D求直线与平面所成角的余弦值，即求，AOAO32AMN,，用AO,表示，再结合三角恒等变换求出函数的最值即可第7页/共22页【详解】依题意，将AMN沿直线l翻折至△MN，连接,由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分，BC内的射影在线段上，故，又A在平面BCMNH所以H平面BCMN，平面BCMNH，所以，，平面，平面AAHAAAHAAAAHAHAAH.所以平面平面AAHO，平面AHH，平面AAH，AO,AO,AH，，且AB的平面角即为二面角对于A选项，由题意可知，DH为DBCMN与平面所成的线面角，故由线面角最小可知ADHADC，故A错误；对于B选项，故B正确；A即为二面角B的平面角，故由二面角最大可知DHOH，对于C选项，AO恒成立，故O的轨迹为以为直径的圆弧夹在内的部分，易知其长AM1度为，故C正确；236对于D选项，如下图所示32AMN,设，在AOAMsinsin，第8页/共22页AB3AHB在ABH中，，BAH，2cos33AHAOsin，3，设直线AO与平面BCMN所成角为所以3sin3AO323则cos113sin3sinsin3223183133，12当且仅当故选：BCD．时取等号，故D正确．3212第II卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.52a1,bk,13.已知向量，若a//b，则k__________.【答案】5【解析】【分析】根据向量平行关系得到方程，求出答案.521k2k5.，故【详解】因为a//b，所以故答案为：-5yxyx22和圆x3y32都相切的圆的方程：______.14.写出一个圆心在上，且与直线【答案】x12y12（答案不唯一）2【解析】【分析】由题设，设圆心为(m,m)r2|m|x3y3222切，分别求出对应m即可得结果.第9页/共22页|mm|【详解】设圆心为(m,m)，则半径r2|m|，2假设与圆x3222外切，则m32m32y322|m|，所以|m3||m|，故m6m9m2|m|1，则m|m4，22m0，则4m4m1，则圆心为，半径为rx12y122；若2，故若m0，则2m4m2，不满足前提；6222内切，又yx322，假设与圆x3y3与的距离为2此时，圆x32y32m32m322|m|22内切于所求圆，则，所以|m3||m|1，故m26m9m22|m|1，则m|m4，m0，则2m4m2，则圆心为(2,，半径为r22，故x22y28；2若若m0，则4m4m1，不满足前提；综上，x12y122或x22y28.2故答案为：x12y12（答案不唯一）215.表面积为100π的球面上有四点S､A､B､C，△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若___________.S面SAB⊥面ABC，则棱锥体积的最大值为第10页/共22页【答案】12(73)【解析】小圆性质，求出的外接圆半径，确定点S到平面的最大距离即可作答.R5，令正的中心为O，则OO3，且平面，【详解】依题意，球O的半径外接圆半径rCOR2OO24，连接CO并延长交AB于D，则D为AB的中点，且12OD2，r显然CDAB，而平面SAB平面，平面SAB平面ABCAB，有CD平面，的外接圆圆心为E，则OE平面，有//OD，令又OO由OO平面ABCD，AB平面ABCD，所以OOAB，CDO,所以平面，所以，EDABSABSABABCAB，ED平面，而平面平面，平面平面平面，则3，OD2，ED//即有，因此四边形为平行四边形，则的外接圆半径R22，的外接圆上点S到直线AB距离最大值为21rrED213，而点S在平面上的射影在直线AB上，于是点到平面S距离的最大值h213，第11页/共22页333r2342123，又正的面积S44131S的体积最大值VSh123(2112(73).所以棱锥S3故答案为：12(73)【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.411116.数列满足a,ana1nN，则的整数部分是__________．a2*n1n1n1a2a3【答案】2【解析】4为a,an2a1nN*an1a(a20n1a，n【详解】因，所以1n1nnn3数列单调递增，an1111a1a(a0所以所以所以，所以，n1nnn11a(aa1annnn11111111111S(n)()()，n11n112111212n1n1mS20173，201714441313131331338113312,，aa()，所以221,a()21,4()2因为所以133339998181a20172016201542，1111，所以01，所以233，a2017所以a2017120151m因此的整数部分是2．点睛：本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试111题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为的单调性是解答的关键．，再借助数列n11a1ann第12页/共22页四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.ACbsinC17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且csin.2（1）求角B；（2）设BD是AC边上的高，且BD1，b3，求的周长.π【答案】（1）B3（2）33【解析】B1）利用正弦定理边化角以及诱导公式化简已知等式，可得sin的值，即可求得答案；2ac2，再利用余弦定理即可求得ac的值，即可得答案.（2）根据三角形面积相等可推出【小问1详解】ACcsinbsinC，因为2πB22所以sinCsinsinBsinC，因为C(0,π),sinC0，BBBBsinB2sin所以因为，即.2222BπB0，，222B12π所以sin，解得B.23【小问2详解】π因为B，b3，3113所以SbBD13.2221π333，所以ac2.又由SABCacsinac，可得ac23442π由余弦定理b2a2c22ac，可得3a2c2ac，即ac23，3第13页/共22页ac2369即，所以所以ac3，的周长为33.18.如图所示，在四棱锥E中，底面ABCD是菱形，ADC60，AC与BD交于点O，底面ABCD，F为BE的中点，ABCE．（1）求证：//平面ACF；（2）求AF与平面EBD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解答5（2）5【解析】1）通过证明//，得证//平面ACF；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】证明：如图，连接，ABCDACBD交于点O，可得O与点为BD因为底面是菱形，的中点，，又F为的中点，所以为△的中位线，可得//又OFACF，DEACF，平面平面//ACF；可得平面第14页/共22页【小问2详解】以，y所在直线为，轴，过z作x的垂线所在直线为轴，建立如图所示的坐标系，CADC60，因为ABCD是菱形，为等边三角形，D3,0AF不妨设AB2，则，B2,0，E0,0,2，，0，可得(3,3,0)，2)，DBn3x3y0nx,y,z，可得设平面的一个法向量为，BEn2y2z03不妨取y1，则x,z1，可得n3.又(3,，331011n5所成角的正弦值为：.可得与平面n2232253210234是各项都为正整数的等比数列，an且与的等差中项，数列满足4bn1a3是a219.已知数列1n1n1.（1）求数列的通项公式;a,bnnn5kan8n2k24（2）若对任意nN恒成立，求实数的取值范围.*k232n1b2nn12）.an【答案】（1），【解析】1）根据等比数列的性质求得公比，进而得到数列的通项公式；由已知得到数列n是an以2为首项，2为公比的等比数列，求得其通项公式，进而得到数列的通项公式；bnk3n3n3fn（2）等价转化为对任意nN*恒成立，然后令，利用作差法研究单调性，得162n2n第15页/共22页k到最大值，进而求解得到的取值范围.【详解】设数列的公比为q，则1aqN*，n33aa2a42aaa,是与的等差中项，332444322q1q2q=2或q，解得(舍去)n32n143n1nb12b1，n1nb121，数列n是以2为首项，2为公比的等比数列，又n12nn21；nb5由2knan8n2k24，28n3k2n1232n18n32kk32n1整理可得，即，k3n3令对任意nN*恒成立，162nn3n2n3n22n34nfnfn1fn，则2n2n12n2n12n1n4n4fn1fn，当n5时，fn1fn,当时，当取得最大值，fn5或时，fnf416k31.解得.k41616.k故实数的取值范围是20.已知点P到(0)的距离是点P到（1）求点P的轨迹方程；的距离的2倍.B0（2）若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.的轨迹交于，F两点，探索是否为定E【答案】（1）x22y24（2）是定值，BEBF3【解析】【分析】(1)设点Px,y，根据两点坐标求距离公式计算化简即可；第16页/共22页(2)设的轨迹方程，直线l的方程、，Ex,y11Qx,y，根据中点坐标公式代入圆P方程中可得Q00Fx,y，联立圆Q1xxx方程，利用韦达定理表示出,，结合向量数量积的坐标表示化简计算即22212可；【小问1详解】设点，由题意可得2，即x222Px,yy2xy2，2化简可得x22y24.【小问2详解】0x21Qx,y，由（1）P点满足方程:x22设点4，y2，00yy00x20y024，即Qx2y4，2代入上式消去可得的轨迹方程为ykx1当直线l的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，kl2y42xy1k，消去，得2x22k2xk240，显然0，由ykx12k2k42设，则xx12，xx，Ex,yFx,y1122121k21k2xy，2BEx1，又则12BEBF1x1x2121y21x1x212k2x1x112k422k21k1k2xx1k2xx1k221k21k212121k21k2k4k242k42k2k42k21k323.1k21k2E3F3，当直线l的斜率不存在时，，BEBF3.第17页/共22页故BEBF是定值，即BEBF3.21.已知函数fxexasinx1aR．fxπ3π,（1）当a1时，讨论函数gx在上的单调性；ex22（2）当a3时，证明：对πx，有fxexx12e2x．π【答案】（1）在,0gx单调递减，在单调递增22（2）证明见解析【解析】1）由导函数符号变化，分区间讨论单调性；（2）不等式等价变形，构造函数Fxe2x3sinxx2，求解导函数并利用放缩，再结合xsinx辅助角公式转化利用有界性判断导函数符号，得到函数单调性证明不等式.【小问1详解】exsinx1sinx1当a1时，gx1，exexπ42x1xsinx1，gxexexπππππ42gx单调递减；x03π0gx，当当时，x,cosx，24442ππ7ππ42gx0，gx，单调递增．0xx,x时，24442π2π所以在,0gx单调递减，在单调递增．2【小问2详解】要证xx12e2x，只要证3sinxx22e2x，fxe即证．e2x3sinxx22令Fxe2x3sinxx2，Fxe2x6sinx2x3cosx5．第18页/共22页hxxsinxhx1cosx0当x0时，令，，所以在单调递增，所以，即，xsinxhxhxh002x2sinx从而．所以2x6sinx2x3cosx5e2x6sinx2sinx3cosx5，Fxee2x4sinx3cosx5e2x5sinx50，3545为辅助角，且满足sin,其中，即可.所以在单调递减，即．FxFxF02故