专题02 几何思想之平行线及其判定重难点综合专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（浙教版）

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题02几何思想之平行线及其判定重难点综合专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，下列条件：中能判断直线的有()A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【标准答案】B【思路指引】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【详解详析】解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．故选B．【名师指路】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．2．（2021·浙江吴兴·七年级期中）下列说法错误的个数是（）①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【标准答案】C【思路指引】根据平行公理及其推理、点到直线的距离即可判断出结果．【详解详析】解：①经过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误；④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确．故选：C．【名师指路】本题考查了平行公理和点到直线的距离，掌握以上两个知识点是解题的关键．3．（2021·浙江杭州·七年级期中）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（）A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【标准答案】B【思路指引】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．【详解详析】解：∵由题意a⊥AB，b⊥AB，∴∠1=∠2∴a∥b所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，

故选：B．【名师指路】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．（2021·浙江·七年级期末）如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：①∠1=∠3；②∠2+∠5=180°；③∠4=∠B；④∠D+∠BCD=180°．其中能判断AD∥BC的是（）A．①② B．①④ C．①③ D．②④【标准答案】B【思路指引】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．【详解详析】①∵∠1=∠3，∴AD∥BC；②∵∠2+∠5=180°，∵∠5=∠AGC，∴∠2+∠AGC=180°，∴AB∥DC；③∵∠4=∠B，∴AB∥DC；④∵∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC．综上，只有①④能判断AD∥BC．故选：B．【名师指路】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．5．（2021·浙江·七年级期中）如图，若，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】由∠A+∠ABC=180°可得到AD∥BC，再根据平行线的性质判断即可得答案．【详解详析】∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），∴（两直线平行，内错角相等）．故选：C．【名师指路】本题考查的是平行线的判定与性质，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行内错角相等；熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．6．（2021·浙江·模拟预测）如图，用直尺和三角尺画图：已知点P和直线a，经过点P作直线b，使，其画法的依据是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B．两直线平行，同位角相等C．同位角相等，两直线平行D．内错角相等，两直线平行【标准答案】C【思路指引】根据平行线的判定定理即可得出结论．【详解详析】解：由画法可知，其画法的依据是同位角相等，两直线平行．

故选：C．【名师指路】本题考查了作图-复杂作图，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．7．（2021·浙江·七年级期末）在下列命题中，为真命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行C．同旁内角互补 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行【标准答案】B【思路指引】根据对顶角、平行公理的推论、平行线的判定、同旁内角逐项判断即可得．【详解详析】A、相等的角不一定是对顶角，此项是假命题；B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，此项是真命题；C、两直线平行，同旁内角互补，此项是假命题；D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此项是假命题；故选：B．【名师指路】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．8．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学七年级开学考试）如图，在下列给出的条件中，可以判定的有（）①；②；③；④；⑤．A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．②③⑤【标准答案】D【思路指引】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解详析】解：①∠1=∠2不能判定AB∥CD，不符合题意；

②∵∠1=∠3，∴AB∥CD，符合题意；

③∵∠2=∠4，∴AB∥CD，符合题意；

④∠DAB+∠ABC=180°；不能判定AB∥CD，不符合题意；

⑤∵∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥CD，符合题意．

故选：D．【名师指路】本题考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题的关键．9．（2021·浙江下城·一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3，可判断直线m与直线n是否平行的是（）A．① B．② C．③ D．④【标准答案】B【思路指引】根据平行线的性质、以及三角形外角的性质依次判断即可．【详解详析】解：A．度量：①∠1，∠2，∠C，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；B．度量：②∠2，∠3，∠B，可得∠4的度数，结合∠2的度数，即可判断直线m与直线n是否平行，符合题意；C．度量：③∠3，∠4，∠C不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；D．度量：④∠1，∠2，∠3，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；故选：B．【名师指路】本题主要考查了平行线的判定，三角形外角的性质．熟练掌握平行线的判定定理，并能正确识图是解题关键．10．（2021·浙江·七年级期中）如图，，P为平行线之间的一点，若，CP平分∠ACD，，则∠BAP的度数为（）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】过P点作PMAB交AC于点M，直接利用平行线的性质以及平行公理分别分析即可得出答案．【详解详析】解：如图，过P点作PMAB交AC于点M．∵CP平分∠ACD，∠ACD＝68°，∴∠4＝∠ACD＝34°．∵ABCD，PMAB，∴PMCD，∴∠3＝∠4＝34°，∵AP⊥CP，∴∠APC＝90°，∴∠2＝∠APC－∠3＝56°，∵PMAB，∴∠1＝∠2＝56°，即：∠BAP的度数为56°，故选：A．【名师指路】此题主要考查了平行线的性质以及平行公理等知识，正确利用平行线的性质分析是解题关键．二、填空题11．（2020·浙江上虞·七年级期末）如图，已知AB//CD，，，，则____度．【标准答案】90【详解详析】解：如图，过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，∴，，，，又∵，，∴，，∴，，∴，即：，∴．故答案为：90．【名师指路】本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键．12．（2020·浙江义乌·七年级期末）下列说法中：（1）不相交的两条直线叫做平行线；（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（3）垂直于同一条直线的两直线平行；（4）直线，，则；（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的是________．【标准答案】（4）【思路指引】根据平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论解答．【详解详析】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故该项错误；（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该项错误；（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故该项错误；（4）直线，，则，故该项正确；（5）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该项错误．故选：（4）．【名师指路】此题考查判断语句，熟记平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论是解题的关键．13．（2021·浙江·七年级期末）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________．【标准答案】同位角相等，两直线平行．【详解详析】试题解析：利用三角板中两个60°相等，可判定平行考点:平行线的判定14．（2021·浙江·七年级期末）如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠B+∠BAD=180°.其中能得到AB∥CD的是______(填写编号).【标准答案】②③【详解详析】分析：根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．详解：①∵∠1=∠2，∴AD∥BC；②∵∠3=∠4，∴AB∥CD；③∵∠B=∠5，∴AB∥CD；④∵∠B+∠BAD=180°，∴AD∥BC；∴能得到AB∥CD的条件是②③.故答案为②③点睛：本题考查了平行线的判定，掌握平行线的三种判定方法是解此题的关键.15．（2021·浙江·七年级期中）如图，给出了直线外一点作已知直线平行线的一种方法，它的依据是_________．【标准答案】同位角相等，两直线平行【思路指引】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行．【详解详析】给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．

故答案是：同位角相等，两直线平行．【名师指路】考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了平行线的判定．16．（2021·浙江杭州·七年级期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝_____时，CD∥AB．【标准答案】150°或30°．【思路指引】分两种情况，再利用平行线的性质，即可求出∠BAD的度数【详解详析】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝60°+90°＝150°；故答案为：150°或30°．【名师指路】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判掌握平行线的判定定理和全面思考并分类讨论是解答本题的关键.17．（2021·浙江·七年级月考）如图，，分别在直线，上，为两条平行线间的一点，则_________．【标准答案】【思路指引】过点P作PA∥a，如图，根据平行公理的推论可得PA∥a∥b，根据平行线的性质可得∠1+∠MPA=180°，∠3+∠NPA=180°，然后两式相加即可求出答案．【详解详析】解：过点P作PA∥a，如图，∵a∥b，∴PA∥a∥b，∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠NPA=180°，∴∠1+∠MPA+∠3+∠NPA=360°，即360°．故答案为：360°．【名师指路】本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．18．（2021·浙江越城·七年级期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．证明：∵_________（___________）∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴_____（_____），∴DF∥AE（______）．【标准答案】CD⊥DA，DA⊥AB；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行【思路指引】先根据垂直的定义，得到，，再根据等角的余角相等，得出，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．【详解详析】证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB（已知）∴∠CDA=90°，∠DAB=90°(垂直定义)．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴∠2=∠3(等角的余角相等)，∴DF∥AE(内错角相等，两直线平行)．故答案为：．CD⊥DA，DA⊥AB，已知；垂直定义；∠2=∠3，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【名师指路】本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行．19．（2021·浙江·浦江县教育研究和教师培训中心七年级期末）如图，直线//，，垂足为，与相交于点，若，则_______.【标准答案】110【思路指引】过点作，根据平行线的性质可得，根据垂线的定义和平行线的性质，推出，，再根据角的和差关系求出即可求解．【详解详析】解：过点作，，，，，，，．故答案为：110．【名师指路】本题主要考查对平行线的性质，平行公理的推论，垂线的定义等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键．20．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．【标准答案】y=90°-x+z．【思路指引】作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．【详解详析】解：作CG∥AB，DH∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CG∥HD∥EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，∴∠y=∠z+90°-∠x．即y=90°-x+z．【名师指路】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．三、解答题21．（2020·浙江仙居·七年级期末）综合与实践：七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线．（1）知识初探如图1，长方形纸条ABCD中，，，，将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在处，点D落在处，交CD于点G．①若，求的度数；②若，则（用含的式子表示）（2）类比再探如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由．【标准答案】（1）①∠=100°；②=180°－；（2）EF//GH，理由见解析．【思路指引】（1）①根据折叠，可知∠=∠AEF，可以求出∠AEG的度数，根据AB//CD，可以得到∠CGE=∠AEG，最后根据邻补角的性质可以求出答案．②由①可得∠=∠AEF，可以用表示∠AEG的度数，再根据∠CGE=∠AEG，可以表示出∠CGE的度数，最后根据邻补角的性质即可用表示．（2）利用折叠的性质可以得到，∠AEF=∠=，∠CGH=∠=，再根据平行线的性质，可以得到∠CGE=∠AEG，等量代换∠HGE=∠FEG，即可得到两直线平行．【详解详析】解：（1）①由题意得∠=∠AEF=40°∴∠AEG=80°∵AB//CD∴∠CGE=∠AEG=80°∴=100°②由①得∠=∠AEF=∴∠AEG=∵AB//CD∴∠CGE=∠AEG=∴=180°－（2）EF//GH，理由如下：由题意得∠AEF=∠=∠CGH=∠=∵AB//CD∴∠CGE=∠AEG∴∠HGE=∠FEG∴EF//GH【名师指路】本题考查了折叠的性质以及平行线的判定与性质，能熟练的找出内错角以及熟练角度的等量代换是解决本题的关键．22．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，已知平分，点D在射线上，且．判断与的位置关系，并说明理由．【标准答案】BC∥DE；理由见解析【思路指引】根据角平分线的定义和已知条件可得∠CBE=∠BED，再根据平行线的判定即得结论．【详解详析】解：BC∥DE；理由如下：因为平分，所以∠ABE=∠CBE，因为，所以∠CBE=∠BED，所以BC∥DE．【名师指路】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．23．（2020·浙江义乌·七年级期中）如图，已知，，．（1）求的度数；（2）若平分，交于点Q，且，求的度数．【标准答案】（1）45°；（2）85°．【思路指引】（1）先根据BC∥EG得出∠E=∠1=45°，再由AF∥DE可知∠AFG=∠E=45°；

（2）作AM∥BC，由平行线的传递性可知AM∥EG，故∠FAM=∠AFG，再根据AM∥BC可知∠QAM=∠Q，故∠FAQ=∠FAM+∠QAM，再根据AQ平分∠FAC可知∠MAC=∠QAC+∠QAM=80°，根据AM∥BC即可得出结论．【详解详析】解：（1）∵BC∥EG，

∴∠E=∠1=45°．

∵AF∥DE，

∴∠AFG=∠E=45°；

（2）作AM∥BC，

∵BC∥EG，

∴AM∥EG，

∴∠FAM=∠AFG=45°．

∵AM∥BC，

∴∠QAM=∠Q=20°，

∴∠FAQ=∠FAM+∠QAM=65°．

∵AQ平分∠FAC，

∴∠QAC=∠FAQ=65°，

∴∠MAC=∠QAC+∠QAM=85°．

∵AM∥BC，

∴∠ACB=∠MAC=85°．【名师指路】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．熟记平行线的各种性质是解题的关键．24．（2021·浙江·七年级期中）如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明；（2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数．【标准答案】（1）EF和AB的关系为平行关系；（2）∠ACB=40°．【思路指引】（1）由平行线的性质推出∠DCB=∠ABC=70°，结合∠CBF=20°，推出∠ABF=50°，即可得出∠EFB+∠ABF=180°，根据平行线的判定即可推出EF∥AB；（2）根据（1）推出的结论，推出EF∥CD，根据平行线的性质推出∠ECD=110°，根据∠DCB=70°，即可求出∠ACB的度数．【详解详析】解：（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下：∵CD∥AB，∠DCB=70°，∴∠DCB=∠ABC=70°，∵∠CBF=20°，∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=50°，∵∠EFB=130°，∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°，∴EF∥AB；（2）∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵∠CEF=70°，∴∠ECD=110°，∵∠DCB=70°，∴∠ACB=∠ECD﹣∠DCB，∴∠ACB=40°．【名师指路】本题主要考查平行线的判定和性质，关键在于熟练运用平行线的判定定理和性质定理，（1）求出∠ABF的度数，（2）熟练运用已知和已证的结论，推出∠ECD=110°．25．（2021·浙江龙湾·七年级期中）如图，已知，求的度数解：（）又（）（）又【标准答案】见解析【思路指引】利用∠1=∠2，推导出a∥b；再利用平行，推导出∠3的大小【详解详析】解：（对顶角相等）又（同位角相等，两直线平行）（两直线平行，同旁内角互补）又【名师指路】本题是相交线与平行线的简单推理考查，需要注意，仅在平行的前提下，才存在同旁内角互补，同位角、内错角相等26．如图①，在三角形ABC中，点E，F分别为线段AB，AC上任意两点，EG交BC于点G，交AC的延长线于点H，∠1＋∠AFE＝180°.(1)证明：BC∥EF；(2)如图②，若∠2＝∠3，∠BEG＝∠EDF，证明：DF平分∠AFE.【标准答案】(1)见解析；(2)见解析.【思路指引】（1）由条件可证明∠AFE=∠BCF，根据平行线的判定可证明BC∥EF；（2）由条件可先证明DF∥EH，可得∠DFE=∠FEG，再结合（1）的结论和已知条件可证明∠3=∠DFE，可证得结论．【详解详析】证明：（1）∵∠1+∠AFE=180°，∠1+∠BCF=180°，∴∠AFE=∠BCF，∴BC∥EF；（2）∵∠BEG=∠EDF，∴DF∥EH，∴∠DFE=∠FEH，又∵BC∥EF，∴∠FEH=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠DFE=∠3，∴DF平分∠AFE．【名师指路】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．27．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变）．（1）当∠BAD＝°，CDAB．（2）当∠BAD＝°，则三角板ACD有一条边与直角边OB平行．（写出所有可能情况）【标准答案】（1）150或30；（2）15或45或135或165【思路指引】（1）分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数；（2）分六种情况，根据三角板ACD有一条边与直角边OB平行，分别画出图形即可得到∠BAD的实数．【详解详析】解：（1）如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝60°+90°＝150°；故答案为：150或30；（2）如图所示，当CD∥OB时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；如图所示，当AD∥BO时，∠BAD＝∠B＝45°；如图所示，当AC∥BO时，∠BAD＝45°+90°＝135°；如图所示，当CD∥BO时，∠BAD＝180°﹣60°+45°＝165°；如图所示，当AD∥BO时，∠BAD＝45°+90°＝135°；如图所示，当AC∥BO时，∠BAD＝45°．综上所述，∠BAD的度数为15°或45°或135°或165°．故答案为：15或45或135或165．【名师指路】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．28．（2021·浙江镇海·七年级期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．（1）试问：，，满足怎样的数量关系？解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________．（2）如图3，，分别平分和，且点在左侧．①若，则的度数为______；②猜想与的数量关系，并说明理由；③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

【标准答案】（1）；（2）①130°；②，见解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°【思路指引】（1）过点P作PHAB，利用平行线的性质即可求解；（2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解．【详解详析】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PMAB，则PMCD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∵∠EPF＝100°，∴∠PEA+∠PFC＝100°，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，故答案为：130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴∠PFC＋∠PEA+2(∠DFQ+∠BEQ)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF+2∠EQF＝360°；③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD，∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，∴∠PFC＋∠PEA+22(∠DFQ1+∠BEQ1)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF+22∠EQ1F＝360°；同理可得：∠EPF+23∠EQ2F＝360°，∠EPF+24∠EQ3F＝360°，……∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°．【名师指路】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键．29．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点作，通过平行线性质来求．（1）按照小明的思路，写出推算过程，求的度数．（2）问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下，当点在线段上时，请直接写出与、之间的数量关系．【标准答案】（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）∠APC=β-α．【思路指引】（1）过P