专题01 集合（8大题型）高频考点题型归纳与方法总结（解析版）

专题01集合（8大题型）高频考点题型归纳【题型1集合的概念】【题型3元素与集合的关系】【题型4集合的表示方法-描述法】【题型5集合的表示方法-列举法】【题型6根据元素与集合的关系求参数】【题型7利用集合元素的互异求参数】【题型8两个集合相等求参数】【题型9根据集合元素求个数】【题型1集合的概念】【知识点】集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示。【典例1】（2022秋•博罗县校级月考）下面给出的四类对象中，能构成集合的是（）A．东江广雅学校2022年入学的高一年级新生中身高较高的全体学生 B．惠州市很受欢迎的主题游乐园 C．广东省所有的5A级风景区 D．中国全域内较大的湖泊【答案】C【解答】解：根据集合的定义，对于A，较高的概念不确定，不能构成集合，对于B，受欢迎的概念不确定，不能构成集合，对于C，广东省所有的5A级风景区，满足集合的确定性、无序性、互异性，能构成集合，对于D，较大的概念不确定，不能构成集合，故选：C．【题型训练1】1.（2022秋•金水区校级月考）下面给出的四类对象中，能构成集合的是（）A．郑州回高2022年入学的高一年级新生中身高较高的全体学生 B．郑州市很受欢迎的主题游乐园 C．河南省所有的5A级风景区 D．中国全域内较大的湖泊【答案】C【解答】解：根据集合的定义，对于A，较高的概念不确定，不能构成集合，对于B，受欢迎的概念不确定，不能构成集合，对于C，河南省所有的5A级风景区，满足集合的确定性、无序性、互异性，能构成集合，对于D，较大的概念不确定，不能构成集合，故选：C．2.（2022秋•邓州市校级月考）下列说法正确的是（）A．由小于8的正整数组成一个集合 B．方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解构成的集合不是空集 C．由﹣1，0，1组成的集合和由﹣，1，0组成的集合不相等 D．某班中上课认真听讲的同学能够组成一个集合【答案】见试题解答内容【解答】解：对于A，小于8的正整数，符合集合的定义，能构成集合，故A正确，对于B，|x+1|+（x﹣1）2＝0，可得|x+1|＝0，（x﹣1）2＝0，由|x+1|＝0⇒x＝﹣1，由（x﹣1）2＝0⇒x＝1，故方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解构成的集合是空集，故B错误，对于C，{﹣1，0，1}＝{﹣，1，0}，故C错误，对于D，某班中上课认真听讲的同学没有明确定义，不能构成集合，故D错误，故选：A．3.（2022秋•裕华区校级月考）下列对象能构成集合的是（）①所有很高的山峰；②方程x2+3x﹣4＝0的实根；③所有小于10的自然数；④cos60°，sin45°，cos45°．A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】B【解答】解：对于①：不满足确定性，对于④：不满足互异性，对于②③：符合集合的三要素原则，故选：B．4.（2022•南京模拟）下列所给的对象能构成集合的是（3）（4）（5）．（1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；（2）高一（3）班的高个子；（3）英文26个字母；（4）中国古代四大发明；（5）方程x2＝﹣2的实数根．【答案】（3）（4）（5）．【解答】解：对于（1），高中数学必修第一册课本上所有的难题，“所有的难题”不确定，不满足集合的确定性，故（1）不能构成集合；对于（2），高一（3）班的高个子，“高个子”不确定，不满足集合的确定性，故（2）不能构成集合；对于（3），英文26个字母，是确定的且满足互异性，故（3）能构成集合；对于（4），中国古代四大发明，是确定的且满足互异性，故（4）能构成集合；对于（5），方程x2＝﹣2没有实数根，故能构成空集，故能构成集合的是（3）（4）（5），故答案为：（3）（4）（5）．【题型2元素与集合的关系】【知识点】1.元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.（2）不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.2.集合中元素的三大特征：（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．【典例2】（2021·广东）用符号“”或“”填空：（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A；（2）若，则-1_____________A；（3）若，则3________________B；（4）若，则8_______________C，9.1____________C.【答案】（1）（2）（3）（4）【解答】（1）根据国家的地理位置直接得到答案：中国，美国，印度，英国；（2），故；（3），故；（4），故；故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）【题型训练2】1.用符号“∈”或“∉”填空：（1）若集合P由小于的所有实数构成，则2∉P；（2）若集合Q由表示为n2+1（n∈N*）的所有实数构成，则5∈Q．【答案】∉；∈．【解答】解：因为2，故；（2）当n＝2时，22+1，故5∈Q．故答案为：∉；∈．2．（2022秋•浦东新区期末）∈R．（用符号“∈”或“∉”填空）．【答案】∈．【解答】解：∈R．故答案为：∈．3.（2022秋•泗洪县期中）已知A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，则下列判断正确的是（）A．﹣4∈A B．4∉A C．﹣7∈A D．7∈A【答案】D【解答】解：对于A，令3k+1＝﹣4，解得k＝，故A错误，对于B，令3k+1＝4，解得k＝1∈Z，故B错误，对于C，令3k+1＝﹣7，解得k＝，故C错误，对于D，令3k+1＝7，解得k＝2∈Z，故D正确．故选：D．【题型3集合的表示方法-描述法】【知识点】在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为．常见集合的表示方法①方程的解集：②不等式的解集：③函数自变量构成的集合：④函数因变量构成的集合：⑤函数图象上的点构成的集合：⑥方程组的解：或⑦奇数集：⑧偶数集：⑨做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、、···）.【典例3】（2022秋•川汇区校级月考）用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数组成的集合；（2）不等式2x﹣3＞5的解集；（3）方程x2+x+1＝0的所有实数解组成的集合；（4）抛物线y＝﹣x2+3x﹣6上所有点组成的集合；（5）集合{1，3，5，7，9}．【答案】（1）{x|x＝3k，k∈Z}；（2）{x|x＞4，x∈R}；（3）{x|x2+x+1＝0，x∈R}；（4）{（x，y）|y＝﹣x2+3x﹣6}；（5）{x|x＝2n﹣1，1≤n≤5且n∈N*}．【解答】解：（1）所有被3整除的整数组成的集合为{x|x＝3k，k∈Z}；（2）不等式2x﹣3＞5的解集为{x|x＞4，x∈R}；（3）方程x2+x+1＝0的所有实数解组成的集合为{x|x2+x+1＝0，x∈R}；（4）抛物线y＝﹣x2+3x﹣6上所有点组成的集合为{（x，y）|y＝﹣x2+3x﹣6}；（5）集合{1，3，5，7，9}为{x|x＝2n﹣1，1≤n≤5且n∈N*}【题型训练3】1.（2022•南京模拟）试描述法表示下列集合：（1）方程x2﹣x﹣2＝0的解集；（2）大于﹣1且小于7的所有整数组成的集合．【答案】（1）{x∈R|x2﹣x﹣2＝0}．（2）{x∈Z|﹣1＜x＜7}．【解答】解：（1）方程x2﹣x﹣2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2﹣x﹣2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2﹣x﹣2＝0}，（2）大于﹣1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且﹣1＜x＜7，因此，用描述法表示为{x∈Z|﹣1＜x＜7}【题型4集合的表示方法-列举法】【知识点】将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为【典例4】（2022秋•雅安期末）集合{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}用列举法表示为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1} D．{1}【答案】C【解答】解：{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}．故选：C．【题型训练4】1.（2022秋•朝阳区校级月考）已知集合A＝{x∈N|x2+x﹣6＝0}，则集合A可化简为（）A．{2} B．{3} C．{﹣2，3} D．{﹣3，2}【答案】D【解答】解：A＝{x∈N|x2+x﹣6＝0}＝{x∈N|（x﹣2）（x+3）＝0}＝{﹣3，2}，故选：D．2．（2021秋•合肥期末）集合{x∈N+|x﹣2＜2}用列举法表示是（）A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}【答案】A【解答】解：集合{x∈N+|x﹣2＜2}＝{x∈正整数|x＜4}＝{1，2，3}．故选：A．3．（2022秋•朝阳区校级月考）已知集合A＝{x∈N|x2+x﹣6＝0}，则集合A可化简为（）A．{2} B．{3} C．{﹣2，3} D．{﹣3，2}【答案】D【解答】解：A＝{x∈N|x2+x﹣6＝0}＝{x∈N|（x﹣2）（x+3）＝0}＝{﹣3，2}，故选：D．4．（2022秋•保定月考）方程组的解集是（）A．{（1，1）} B．{x＝1，y＝1} C．{（x，y）（1，1）} D．（1，1）【答案】A【解答】解：方程组的解集是{（1，1）}．故选：A．5．（2022秋•呼和浩特期中）集合，用列举法可以表示为（）A．{3，6} B．{1，2，4，5，6，9} C．{﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，3，6} D．{﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，2，3，6}【答案】C【解答】解：由集合，可知＝3，＝6，＝﹣6，＝﹣3，＝﹣2，＝﹣1，所以x＝1，2，4，5，6，9．所以集合＝{﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，3，6}．故选：C．6．（2022秋•杨浦区校级期中）若集合A＝{x|1≤x≤10，x为偶数}，用列举法表示集合A＝{2，4，6，8，10}．【答案】{2，4，6，8，10}．【解答】解：因为集合A＝{x|1≤x≤10，x为偶数}，故列举法表示集合A＝{2，4，6，8，10}，故答案为：{2，4，6，8，10}．7．（2022秋•嘉定区校级期中）方程x2＝9的解的集合用列举法表示为{3，﹣3}．【答案】{3，﹣3}．【解答】解：由x2＝9可得x＝±3，所以方程解集为{3，﹣3}．故答案为：{3，﹣3}【题型5根据元素与集合的关系求参数】【技巧】：也要考虑集合中元素的特性：元素必须是确定的、互异性、无序性【典例5】（2022秋•梧州月考）若x∈{1，2，x2}，则x的可能值为（）A．0 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2【答案】C【解答】解：①当x＝1时，x2＝1，此时不满足元素的互异性，舍去，②当x＝2时，x2＝4，此时集合为{1，2，4}，符合题意，③当x＝x2时，x＝0或1，若x＝1，x2＝1，此时不满足元素的互异性，舍去，若x＝0，此时集合为{1，2，0}，综上所述，x的可能值为2或0，故选：C．【题型训练5】1．（2022秋•红岗区校级月考）若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．0 D．1或2【答案】B【解答】解：a∈{1，a2﹣2a+2}，则：a＝1或a＝a2﹣2a+2，当a＝1时：a2﹣2a+2＝1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a≠1时：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1（舍去）；或a＝2；故选：B．2．（2022春•南开区期末）已知x∈{1，2，x2}，则实数x＝0或2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x∈{1，2，x2}，分情况讨论可得：①x＝1此时集合为{1，2，1}不合题意②x＝2此时集合为{1，2，4}合题意③x＝x2解得x＝0或x＝1当x＝0时集合为{1，2，0}合题意故答案为0或2．【题型6利用集合元素的互异求参数】【知识点】：集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互异性、无序性【典例6】（2022秋•南岗区校级月考）已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的取值集合．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为1∈A，所以①若a+2＝1，解得a＝﹣1，此时集合为{1，0，1}，元素重复，所以不成立，即a≠﹣1．②若（a+1）2＝1，解得a＝0或a＝﹣2，当a＝0时，集合为{2，1，3}，满足条件，即a＝0成立．当a＝﹣2时，集合为{0，1，1}，元素重复，所以不成立，即a≠﹣2．③若a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或a＝﹣2，由①②知都不成立．所以满足条件的实数a的取值集合为{0}．【题型训练6】1.（2023•海淀区校级模拟）设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．0或1【答案】C【解答】解：设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，∵﹣3∈M，∴2m﹣1＝﹣3或m﹣3＝﹣3，当2m﹣1＝﹣3时，m＝﹣1，此时M＝{﹣3，﹣4}；当m﹣3＝﹣3时，m＝0，此时M＝{﹣3，﹣1}；所以m＝﹣1或0．故选：C．2.（2022秋•东川区校级期末）设集合A＝{2，a2﹣a+2，1﹣a}，若4∈A，则a的值为（）A．﹣1，2 B．﹣3 C．﹣1，﹣3，2 D．﹣3，2【答案】见试题解答内容【解答】解：集合A＝{2，a2﹣a+2，1﹣a}，4∈A，∴a2﹣a+2＝4或1﹣a＝4，当a2﹣a+2＝4时，a＝﹣1或a＝2，若a＝﹣1，则1﹣a＝2不满足集合中元素的互异性，故a≠﹣1，若a＝2，则集合A＝{2，4，﹣1}满足题意，当1﹣a＝4时，a＝﹣3，a2﹣a+2＝14，集合A＝{2，14，4}满足题意，综上所述，a＝2或﹣3．故选：D．3.（2022•杭州模拟）已知集合A＝{12，a2+4a，a﹣2}，﹣3∈A，则a＝（）A．﹣1 B．﹣3或﹣1 C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：∵﹣3∈A，∴﹣3＝a2+4a或﹣3＝a﹣2，若﹣3＝a2+4a，则a＝﹣1或a＝﹣3，当a＝﹣1时，a2+4a＝a﹣2＝﹣3，不满足集合中元素的互异性，故舍去，当a＝﹣3时，集合A＝{12，﹣3，﹣5}，满足题意，若﹣3＝a﹣2，解得a＝﹣1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去，综上所述，a＝﹣3．故选：D．【题型7两个集合相等求参数】【知识点】集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．【典例7】（2022秋•香坊区校级月考）已知集合A＝{a，b，1}，B＝{﹣1，2，a2}，若A＝B，则a+b的值为（）A．3 B．2 C．1 D．1或3【答案】C【解答】解：因为A＝{a，b，1}，B＝{﹣1，2，a2}，所以由A＝B，可得，解得a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1，故选：C．【题型训练7】1.（2023春•岳麓区校级月考）已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2021+b2020＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：由元素的互异性可得a≠b≠1，当ab＝1时，a2＝b，解得a＝1，舍去；当a2＝1时，a＝﹣1，此时A＝{1，﹣1，b}，B＝{1，﹣1，﹣b}，此时A＝B需要满足b＝﹣b，即b＝0，所以a2021+b2020＝﹣1．故答案为：﹣1．【题型8根据集合元素求个数】【技巧】：也要考虑集合中元素的特性：元素必须是确定的、互异性、无序性【典例8】（2022秋•西湖区校级期中）若A＝{0，1，2}，B＝{3，4}，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：A＝{0，1，2}，B＝{3，4}，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则M＝{0，3，4，6，8}，所以M中元素的个数为5个．故选：C．【题型训练8】1．（2022秋•宜阳县校级月考）集合A＝的元素个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：由题意知，x，n都是16的正整数因数，故n的取