多项式的最大公因式

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问题：

〔一〕.多项式的最大公因式的定义是什么？

设f(*)与g(*)是P[*]中两个多项式，P[*]中多项式d(*)称为f(*)与g(*)的最大公因式，假如满意下面两个条件：

(1).d(*)是f(*)与g(*)的公因式；

(2).f(*)，g(*)的公因式全是d(*)的因式。

我们商定用(f(*)，g(*))表示首项系数为1的那个最大公因式。

定理1：对于P[*]中任意两个多项式f(*)，g(*)，在P[*]中存在一个最大公因式d(*)，且d(*)可以表示成f(*)，g(*)的一个组合，即有P[*]中多项式u(*)，v(*)使

d(*)=u(*)f(*)+v(*)g(*)

引理：设f(*),g(*),q(*),h(*)∈F(*),g(*)≠0，且

f(*)=g(*)q(*)+h(*)

那么f(*)与g(*)与q(*)与h(*)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且

(f(*)，g(*))=(g(*)，h(*))

定理2：F(*)的任意两个多项式f(*)与g(*)肯定存在最大公因式。

〔二〕.用来求最大公因式的方法

(1).辗转相除法:

假如f(*),g(*)∈P[*],g(*)≠0，且qq(q),qq(q)∈P[*],使

f(*)=q1(q)g(*)+q1(q)

g(*)=q2(q)q1(q)+q2(q)

q1(q)=q3(q)q2(q)+q3(q)

..

.页脚

??

qq?2(q)=qq(q)qq?1(q)+qq(q)qq?1(q)=qq+1(q)qq(q)+0

其中?(qq(q))≥0，那么qq(q)是f(*)与g(*)的一个最大公因式。

(2).串位加减法

(3).矩阵求法：

A=(f(*)

g(*)

)一系列初等行变换

→(

d(*)

)d(*)=(f(*)，g(*))

例1.设f(*)=q4+3q3?q2?4*?3

g(*)=3q3+10q2+2*?3

求(f(*)，g(*))

解：法1辗转相除法。

..

求得r2(q)=9q+27是最大公因式，即

(f(*)，g(*))=*+3

法2串位加减法

设c≠0，那么对于任意多项式f(*)，g(*)

(f(*)，g(*))=(f(*)，cg(*))

于是r7(q)=2*+6是最大公因式，即

(f(*)，g(*))=*+3

.页脚

..

.页脚例2．令F是有理数域，求出F[*]的多项式

f(*)=4q4?2q3?16q2+5*+9，

g(*)=2q3?q2?5*+4

使得u(*)f(*)+v(*)g(*)=d(*)成立的d(*)，u(*)，v(*),其中d(*)=(f(*)，g(*))。

解我们把I拼在(f(*)g(*)

)的右边一起做行初等变换：(f(*)10g(*)01)=(4q4?2q3?16q2+5*+9102q3?q2?5*+401

)q1+q2×(?2)→(?

6q2?3*+91?2q2q3?q2?5*+401)q2+q1×q→(?6q2?3*+91?2q6q3?3q2?15*+120

3

)→?(0???3q+3q?1?2q2+2q+3)q1?q2q1×(?13)→(q?1?13(q?1

)23q2?23q?10?

?)。所以d(*)=q?1，u(*)=?13(q?1)，v(*)=23q2?23q?1。

注：假如d(*)是f(*)，g(*)在F[*]中的公因式，那么d(*)是f(*)与g(*)的最大公因式的充分须要条件是存在u(*),v(*)∈F(*)，使得

d(*)=u(*)f(*)+v(*)g(*)

例3.求u(*),v(*)使u(*)f(*)+v(*)g(*)=(f(*)，g(*))：

f(*)=q4+2q3?q2?4*?2，

g(*)=q4+q3?q2?2*?2

〔P45,6.(1)〕

解：f(*)=g(*)q1(q)+q1(q)，其中，

{q1(q)=1q1(q)=q3?2*

g(*)=q1(q)?q2(q)+q2(q),其中，

{q2(q)=*+1q2(q)=q2?2

q1(q)=q2(q)?q3(q)+q3(q),其中，

{

q3(q)=*q3(q)=0所以，q2(q)=q2?2是f(*)和g(*)的最大公因式。

..

.页脚由于g(*)=q1(q)?q2(q)+q2(q),f(*)=g(*)?q1(q)+q1(q)，所以

(f(*)，g(*))=?q2(q)?f(*)+[1+q1(q)?q2(q)]?g(*)

由此可得：

{u(q)=?q2(q)=?*?1v(q)=1+q1(q)q2(q)=q+2

注：利用辗转相除法求出最大公约数，然后逆向推导。

例4．证明：假如d(*)│f(*),d(*)│g(*)，且d(*)为f(*)与g(*)的一个组合，那么d(*)是f(*)与g(*)的一个最大公因式。〔P45,8〕

证：

设d(*)是f(*)与g(*)的任一公因式，即有d′(*)│f(*)和d′(*)│g(*)

不妨设f(*)=d′(*)?q1(q),g(q)=d′(*)

?q2(q)

由已知条件可得d(*)=u(*)f(*)+v(*)g(*)

所以d(*)=u(*)d′(*)?q1(q)+v(*)d′(*)?q2(q)

故有