8.6.2（第2课时）直线与平面垂直的性质课件-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质第八章立体几何初步课程目标

1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．1.直线和平面垂直的定义.

如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.一、复习回顾αA垂直，则该直线与此平面垂直。2.直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都图形表示符号表示关键：线不在多，相交则行.（1）在长方体ABCD-A’B’C’D’中，棱AA’，BB’,CC’，DD’所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有怎样的位置关系？（2）如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a,b一定平行吗？AA1BCDB1C1D1观察平行abα平行下面我们研究直线与平面垂直的性质,即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论。根据已有经验,我们可以探究直线a与平面α内的直线的关系.但由定义,a与α内的所有直线都垂直.所以,可以探究a,α与其他直线或平面的关系我们知道,在平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.在空间中是否有类似的性（2）如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a,b一定平行吗？证明：设b与a不平行，且b∩α=O.显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定一个平面，在该平面内过点O作直线b’//a，则直线b与b’是相交于点o的两条不同直线，所以直线b与b’可确定平面β，设α∩β=c,则O∈c,∵a⊥α，b⊥α，所以a⊥c,b⊥c.又因为b’//a，所以b’//c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b’与c垂直，显然不可能，因此b//a.已知：a⊥α，

b⊥α

求证：a∥b．反证法直线和平面垂直的性质定理：符号语言：图形语言：

垂直于同一个平面的两条直线平行.abα作用：由线面垂直证线线平行由探究我们得到线面垂直的性质定理例1.如图，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等。证明：过直线上任意两点分别作平面的垂线，垂足分别为。设直线确定的平面为四边形是矩形。由是直线上任意的两点，可知直线上各点到平面的距离相等。练习1.证明因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.又因为a⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.又因为EA∩EB=E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.证明两条直线平行的常见方法三、点面距、线面距、面面距

1.点到平面的距离垂线过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足之间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，出垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

2.直线到平面的距离垂线

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.

3.平面到平面的距离垂线

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等.我们把这个距离叫做两个平行平面之间的距离.棱柱和棱台的高就是上、下底面这两个平行平面之间的距离.求线面距、面面距问题转化为求点面距问题解：因为B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离设B1到平面A1BC的距离为d，因为VB1­A1BC＝VA1­BB1C所以S△A1BC×d＝S△B1BC×A1B1，可得d＝直线B1C1与平面A1BC的距离为点面距问题等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解.求线面距问题转化为求点面距问题[解]连接PA，PB.易知△SAC，△ACB是直角三角形所以SA⊥AC，BC⊥AC.取AB、AC的中点E、F，连接PF，EF，PE则EF∥BC，PF∥SA.所以EF⊥AC，PF⊥AC.因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.又PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC.易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点，所以PA＝PB.而E是AB的中点，所以PE⊥AB.因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．点面距问题构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解.例4.推导棱台的体积公式其中分别是棱台的上、下底面面积，是高。解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥。过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下交于点，则PO垂直于棱台的上底面。从而。设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为，高为，则于是所以棱台的体积由棱台的上下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且所以代入①，得

①

练习.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点.(1)求证：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM的体积.练习.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点.(1)求证：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM的体积.

作业：

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.

距离的定义具有最短性和确定性,充分体现了化归思想.两个平行平面间的距离、直线到平面的距离,都是转化为求点到平面的距离来解决.求点到平面的距离一般有两种方法:(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足