2019年北京市海淀区高三年级一模数学(理)试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2019.4本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合，且，则可以是(A)(B)(C)(D)(2)若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A)(B)(C)(D)(3)已知等差数列满足，则中一定为零的项是(A)(B)(C)(D)(4)已知，则下列各式中一定成立的是(A)(B)(C)(D)(5)执行如图所示的程序框图，输出的值为(A)(B)(C)(D)(6)已知复数，则下面结论正确的是(A)(B)(C)一定不是纯虚数(D)在复平面上，对应的点可能在第三象限(7)椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为(A)，(B)，(C)，(D)，(8)某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班(A)8种(B)10种(C)12种(D)14种第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9)已知成等比数列，且，则____．(10)在△ABC中，，则，(11)已知向量=（1，-2），同时满足条件①∥，②的一个向量的坐标为(12)在极坐标系中，若圆关于直线对称，则(13)设关于的不等式组表示的平面区域为．记区域上的点与点距离的最小值为，则(I)当时，；(Ⅱ)若，则的取值范围是____．(14)已知函数，，其中.若，使得成立，则____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明~演算步骤或证明过程。(15)（本小题满分13分）已知函数的最大值为．(Ⅱ)求的值；(Ⅱ)求函数的单调递增区间．(16)（本小题满分13分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷造林方式地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642，184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；(Ⅱ)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？(Ⅲ)在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望．(17)（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．(Ⅱ)求证：∥平面(Ⅱ)求证：平面平面;(Ⅲ)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为300?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．(18)（本小题满分14分）已知函数.(I)求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)当时，求证：函数存在极小值；(Ⅲ)请直接写出函数的零点个数．(19)（本小题满分13分）已知抛物线，其中．点在的焦点的右侧，且M到的准线的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线OA与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.(I)求抛物线的方程和的坐标；(Ⅱ)判断直线与直线的位置关系，并说明理由．(20)（本小题满分13分）首项为O的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②(Ⅱ)请直接写出的所有可能值；(Ⅱ)记，若对任意成立，求的通项公式；(Ⅲ)对于给定的正整数，求的最大值．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）2019.04阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.D3.A4.D5.B6.B7.C8.B二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.10.11.（答案不唯一）12.13.14.三、解答题:本大题共6小题，共80分.15.（共13分）解：（Ⅰ）因为所以函数的最大值为所以所以（Ⅱ）因为的单调递增区间为，令所以函数的单调递增区间为，16.（共13分）解：(Ⅰ)人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省(Ⅱ)设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过，则 （Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有个地区：内蒙、河北、重庆，所以的取值为所以，随机变量的分布列为17.（共14分）解：(Ⅰ)方法一：连结因为分别为,中点,所以又因为，所以因为分别为,中点，所以又因为平面，平面平面，平面所以平面平面又平面，所以平面方法二：取中点为,连结由且又点为中点，所以又因为分别为,中点,所以所以所以共面于平面因为,分别为中点,所以平面平面所以平面方法三：在直三棱柱中，平面又因为以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系由题意得,.所以,设平面的法向量为，则，即令，得于是又因为所以又因为平面，所以平面（Ⅱ）方法一：在直棱柱中，平面因为，所以又因为，且所以平面平面，所以又，四边形为正方形所以又，所以又，且所以平面又平面所以平面平面方法二：设平面的法向量为，，即令，得于是即，所以平面平面（Ⅲ）设直线与平面所成角为，则设，则所以解得或（舍）所以点存在，即的中点，

18．（共14分）解：（Ⅰ）的定义域为因为所以切点的坐标为因为所以切线的斜率，所以切线的方程为（Ⅱ）方法一：令因为且，所以，，从而得到在上恒成立所以在上单调递增且，所以，，在区间的变化情况如下表:极小值所以时，取得极小值，问题得证方法二：因为当时，当时，，所以当时，，所以所以，，在区间的变化情况如下表:极小值所以时，函数取得极小值，问题得证（Ⅲ）当或时，函数有一个零点当且时，函数有两个零点19.（共13分）解：(Ⅰ)抛物线的准线方程为，焦点坐标为所以有，解得所以抛物线方程为，焦点坐标为(Ⅱ)直线方法一：设，，设直线的方程为联立方程消元得，所以，显然，直线的方程为令，则，则因为，所以直线的方程为，令，则，则①当时，直线的斜率不存在，，可知，直线的斜率不存在，则②当时，，，则综上所述，方法二：直线(1)若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨设，直线的方程为，则直线的方程为，即，令，则，则直线的斜率不存在，因此(2)设，，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，消元得，，整理得，由韦达定理，可得，，因为，可得.显然，直线的方程为令，则，则因为，所以直线的方程为，令，则，则，则综上所述，20.（共14