勾股定理与方程

关于勾股定理与方程BCA直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理第2页,共40页，2024年2月25日，星期天勾股定理的常见表达式和变形式第3页,共40页，2024年2月25日，星期天在直角三角中，如果已知两边的长，利用勾股定理就可以求第三边的长；那么如果已知一条边长及另两边的数量关系，能否求各边长呢？第4页,共40页，2024年2月25日，星期天感受新知1第5页,共40页，2024年2月25日，星期天（二）例题【问题1】如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢？例1.有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?

第6页,共40页，2024年2月25日，星期天例1.有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?设计意图：

1.能利用勾股定理解决简单的实际问题；2.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；4.本题是我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果.第7页,共40页，2024年2月25日，星期天第8页,共40页，2024年2月25日，星期天解决与勾股定理有关的实际问题时，先要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾股定理求解.小结：第9页,共40页，2024年2月25日，星期天AB的中垂线DE交BC于点DAD=BDBC=3BD+CDAD+CD==3

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1，BC=3.AB的中垂线DE交BC于点D,连结AD，则AD的长为——.x3-x感受新知2第10页,共40页，2024年2月25日，星期天在直角三角形中（已知两边的数量关系）设其中一边为x

利用勾股定理列方程

解方程求各边长

基本过程第11页,共40页，2024年2月25日，星期天

如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长.CBADE66例1第12页,共40页，2024年2月25日，星期天解：在Rt△ABC中

AC=6cm，BC=8cm

∴AB=10cm设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm

由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE,

∠C=∠AED=90°

解得x＝3∴CD=DE=3cm∴BE＝10-6＝4cm,∠BED=90°在Rt△BDE中由勾股定理可得（8-x）2＝x2+42CBADE66例1第13页,共40页，2024年2月25日，星期天【问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C'处，BC'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.第14页,共40页，2024年2月25日，星期天例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C'处，BC'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.方法一第15页,共40页，2024年2月25日，星期天方法二第16页,共40页，2024年2月25日，星期天例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C'处，BC'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.1.如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常数），在这个三角形中利用勾股定理求解.2.解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量.小结：第17页,共40页，2024年2月25日，星期天例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C'处，BC'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.注意：1.基本图形：“平行、角平分线、等腰三角形”知二推一2.折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好在图中标出相等的线段和角.第18页,共40页，2024年2月25日，星期天练习第19页,共40页，2024年2月25日，星期天思考1

1、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知

DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到

E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km

处？CAEBD第20页,共40页，2024年2月25日，星期天解：设AE=xkm，则BE=（25-x）km根据勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2

又DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x）2∴x=10

答：E站应建在离A站10km处。x25-xCAEBD1510思考1

第21页,共40页，2024年2月25日，星期天

在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处，如果两个猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ABCD5m10m思考2第22页,共40页，2024年2月25日，星期天ABCD解：如图，D为树顶，AB=5m,BC=10m.

设AD长为xm，则树高为(x+5)m.∵AD+DC=AB+BC,∴DC=10+5–x=15-x.在Rt△ABC中，根据勾股定理得解得x=2.5

答：树高为7.5米。5m10m∴x+5=2.5+5=7.5102+(5+x)2=(15–x)2思考2第23页,共40页，2024年2月25日，星期天例3.已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面积.【问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有直角，怎么利用勾股定理求解？设计意图：

经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用分割图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转化思想;第24页,共40页，2024年2月25日，星期天例3.已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面积.方法一：第25页,共40页，2024年2月25日，星期天例3.已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面积.方法二：第26页,共40页，2024年2月25日，星期天例3.已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面积.小结：1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直角三角形;2.“斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解.第27页,共40页，2024年2月25日，星期天例3.已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面积.注意：1.本题可选择列方程或方程组求解，当列方程组求解时，要注意开平方时，是两种情况，要舍去负值；当列方程求解CD时，最好写“”，可以省去后面的讨论;

2.本题也可以过A或B作对边的高.第28页,共40页，2024年2月25日，星期天【问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？第29页,共40页，2024年2月25日，星期天设计意图：

【问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？1.经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用“补”图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转化思想;2.题目中设置的已知量并不是整数，意在增强学生的计算能力.第30页,共40页，2024年2月25日，星期天第31页,共40页，2024年2月25日，星期天小结：题目中没有直角三角形，但存在直角，可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上，本题利用“割”也有多种做法.

第32页,共40页，2024年2月25日，星期天小结：题目中没有直角三角形，但存在直角，可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上，本题利用“割”也有多种做法.第33页,共40页，2024年2月25日，星期天注意：1.本题的解法很多，但是解法上却有的简单，有的复杂，要选择好方法;

2.注意不要跳步.不能直接用结论：“含有30°的直角三角形的三边的比为：”;如：要求CE，需先求DE，再由勾股定理求CE.第34页,共40页，2024年2月25日，星期天【问题5】如果将勾股定理中“直角三角形”改为“斜三角形”，的关系会是怎样呢？思考题：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图①，根据勾股定理，则，若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想的关系，并证明你的结论.

第35页,共40页，2024年2月25日，星期天思考题：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图①，根据勾股定理，则，若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想的关系，并证明你的结论.

设计意图：1.从证明方法角度看，通过利用“割”、“补”图形构造直角三角形的方法，得出类似勾股定理的结论，它是本节课所学知识的综合应用；2.从结论上看，三角形的边长由具体的数变成了字母，结论具有普遍性，它也是本章第18.1小节勾股定理的推广，体现了特殊与一般的转化思想.第36页,共40页，2024年2月25日，星期天思考题：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若