二次函数的应用

关于二次函数的应用学习的目的在于应用，日常生活中，工农业生产及商业活动中，方案的最优化、最值问题，如盈利最大、用料最省、设计最佳、距离最近等都与二次函数有关。第2页,共34页，2024年2月25日，星期天学习目标1、能根据实际情景学会建立二次函数模型；2、运用二次函数的配方法或公式法求出最大值或最小值；3、学会将实际问题转化为数学问题。第3页,共34页，2024年2月25日，星期天想一想如何求下列函数的最值：

(1)y＝√２x2＋４x＋５第4页,共34页，2024年2月25日，星期天例2：

如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６ＫＭ处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２Km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５Km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？①设经过t时后，Ａ、Ｂ两船分别到达A’、B’如图），则两船的距离Ｓ（A’B’）应为多少

?

②如何求出S的最小值？AB东北实际生活问题转化为数学问题A,B,第5页,共34页，2024年2月25日，星期天如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?

复习小结首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围，然后通过配方法变形，或利用公式法求它的最大值或最小值。注意：在此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内

.第6页,共34页，2024年2月25日，星期天某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销售的饮料每瓶进价为5元。销售单价与日均销售量的关系如下：例3：①若记销售单价比每瓶进价多X元，日均毛利润（毛利润=日均销售量×单件利润-固定成本）为y元，求y关于X的函数解析式和自变量的取值范围；②若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元（精确到０.１元）？最大日均毛利润为多少元？销售单价（元）6789101112日均销售量（瓶）480440400360320280240第7页,共34页，2024年2月25日，星期天问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？分析：利润=（每件商品所获利润）×

（销售件数）设每个涨价x元，那么（3）销售量可以表示为（1）销售价可以表示为（50+x）元（x≥0，且为整数）(500-10x)

个（2）一件商品所获利润可以表示为（50+x-40）元（4）共获利润y可以表示为(50+x-40)(500-10x)元第8页,共34页，2024年2月25日，星期天答：定价为70元/个，此时利润最高为9000元.

解：

y=(50+x-40)(500-10x)

=-10x2+400x+5000(0≤x≤50,且为整数)

=-10（x-20）2+9000第9页,共34页，2024年2月25日，星期天练习：

2、有一种大棚种植的西红柿，经过实验，其单位面积的产量与这个单位面积种植的株数成构成一种函数关系。每平方米种植4株时，平均单株产量为2kg；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少kg。问每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大的产量为多少？第10页,共34页，2024年2月25日，星期天作业xyoA

如图，有一次,篮球运动员姚明在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当运行的水平距离2.5m时，达到最大高度然后准确落入篮圈。已知篮圈中心面的距离为3.05m.3.05

m2.5m3.5m4m（1）篮球运动路线的函数解析式和自变量取值范围（2）球在空中运动离地的最大高度第11页,共34页，2024年2月25日，星期天完成课本P：48作业题5一次足球训练中，一球员从球门正前方10m处将球射向球门.当球飞行的水平距离为6时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高度为2.44m，问球能否射入球门?10m3m6m2.44m第12页,共34页，2024年2月25日，星期天

心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？知识拓展第13页,共34页，2024年2月25日，星期天（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？第14页,共34页，2024年2月25日，星期天ＡＢ现在有一条宽为２米的小船上平放着一些长３米，宽２米且厚度均匀的木箱，要通过这个最大高度ＡＢ＝３米，水面跨度ＣＤ＝６米的桥洞，请问这条船最高可堆放的多高？CD第15页,共34页，2024年2月25日，星期天x0y

h

ABD

河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的表达式为y=x2，

当水位线在AB位置时，水面宽AB=30米，这时水面离桥顶的高度h是（）A、5米B、6米；C、8米；D、9米125解：当x=15时，Y=-×152=-9问题1：第16页,共34页，2024年2月25日，星期天问题2：炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数关系式是h=V0t－5t2，其中v0是炮弹发射的初速度，α是炮弹的发射角，当V0=300（m/s）,时,炮弹飞行的最大高度是m1125第17页,共34页，2024年2月25日，星期天问题3：

如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线的表达式为。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要____米，才能使喷出的水流不致落到池外。y=－(x-1)2+2.252.5Y

OxB(1,2.25)．(0,1.25)

A第18页,共34页，2024年2月25日，星期天第19页,共34页，2024年2月25日，星期天如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．⑴钢缆的最低点到桥面的距离是⑵两条钢缆最低点之间的距离是

(3)右边的抛物线解析式是Y/m

x/m

桥面

-50510小练习11米40米第20页,共34页，2024年2月25日，星期天问题4:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。ABCD第21页,共34页，2024年2月25日，星期天(3)∵墙的可用长度为8米

∴0<24－4x≤84≤x<6∴当x＝4m时，S最大值＝32平方米解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴花圃宽为（24－4x）米(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6）第22页,共34页，2024年2月25日，星期天如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm／s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm／s的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后ΔPBQ的面积最大？最大面积是多少？ABCPQ第23页,共34页，2024年2月25日，星期天解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大,则：AP=2xcmPB=（8-2x

）cm

QB=xcm则y=1/2x（8-2x）=-x2+4x=-（x2-4x+4

-4）=-（x-2）2

+4所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大最大面积是4cm2（0<x<4）ABCPQ第24页,共34页，2024年2月25日，星期天拓展提高问题5:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。(1)设AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；(2)当AP的长为何值时，

S△PCQ=S△ABC

第25页,共34页，2024年2月25日，星期天即S＝(0<x<2）

∴AP=CQ=x当P在线段AB上时S△PCQ＝CQ•PB=AP•PB解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等第26页,共34页，2024年2月25日，星期天当P在线段AB的延长线上时

S△PCQ＝即S＝(x>2）第27页,共34页，2024年2月25日，星期天(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有＝２此方程无解②＝２

∴x1=1+,x2=1－(舍去)∴当AP长为1+时，S△PCQ＝S△ABC

第28页,共34页，2024年2月25日，星期天例6:某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为6万元。（1）求y的解析式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？(五)实践与探索题第29页,共34页，2024年2月25日，星期天解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分别代入y=ax2+bx,得

a+b=2,4a+2b=6,解得:a=1,b=1,∴y=x2+x.

（2）设w＝33x-100-x2-x,则

w=-x2+32x-100=-(x-16)2+156.由于当1≤x≤16时，w随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资。第30页,共34页，2024年2月25日，星期天

1、如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于两点A（x1，0）B（x2，0）（x1<x2