2016年数列历年高考试题

数列

一、选择题

1.（2009年广东卷文）已知等比数列｛%｝的公比为正数，且〃3•。广？%>6Z2=1,则4=

A.—B.---C.5/2D.2

22

【答案】B

【解析】设公比为4,由已知得％d.//=2（%/）[即42=2,又因为等比数列｛%｝的公

।5

比为正数，所以4=正，故4=亍=正=手，选B

2.（2009安徽卷文）已知⑷为等差数列，■+―+-=+■+■=",则~等

于

A.-1B.1C.3D.7

【解析】:%+a3+as=105即3a3=侬:.a｝=35同理可得知=33；.公差d=%-q=-2/.

。川=4+（20-4）xrf=1.选B。

【答案】B

3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列｛为｝的前〃项和为S..若4是%与%的等比中

项，58=32,贝1」51。等于

A.18B.24C.60D.90

【答案】C

【解析】由a：=a3a7得（q+3d）2=（q+2d）（q+6d）得2q+3d=0,再由

S8=8a,+yJ=32得2q+7d=8则d=2,q=—3,所以

90.

S1（）=10〃]H---d=60,.故选C

2

4.（2009湖南卷文）设S〃是等差数列｛q｝的前n项和，已知出=3,a6=11,则S,等于

（）

A.13B.35C.49D.63

［解析】57=73+%）=7他+&）=7（3+"）=49.故选C.

222

a。—Ci,4~—­3a,—\

或由《-=><,a-,=1+6x2=13.

4=q+5d=11d=2

所以S7（q+"7）=7（1+13）=49故选c

722

5.（2009福建卷理）等差数列｛%｝的前n项和为S“，且S3=6,%=4,则公差d等于

5

A.1B-C.-2D3

3

【答案】：C

3

［解析］S3=6=耳⑷+%）且%=为+21%=4d=2.故选C

6.（2009辽宁卷文）已知｛”“｝为等差数列，且%—24=—1，则公差d=

A.-2B.--C.-D.2

22

【解析】a?-2a4=a3+4d—2（a3+d）=2d=—1=>d=—

2

【答案】B

7.（2009四川卷文）等差数列｛。“｝的公差不为零，首项q=1,电是4和火的等比中

项，则数列的前10项之和是

A.90B.100C.145D.190

【答案】B

【解析】设公差为d，则（l+d）2=l.（l+4d）.W0,解得d=2,；.S1o=100

8.（2009宁夏海南卷文）等差数列｛勺｝的前n项和为S“，已知凡一+《“+1一出,=。，

《M-I=38,则m=

A.38B.20C.10D.9

【答案】C

【解析】因为｛叫是等差数列，所以，am.l+ain+l=2am,由屋=0,得：2am

一。,「=0,所以，/“=2,又5,,“1=38,即（2〃？T）（、+>2”一）=38,即（2m-l）X2

2

=38,解得m=10,故选.C。

9..（2009重庆卷文）设｛6｝是公差不为0的等差数列，%=2且4,小,。6成等比数列，则

｛4“｝的前〃项和S“=（）

n2Inn25nn23〃,

A.—+—B.—+—C.—+—D.n+n

443324

【答案】A

【解析】设数列｛q｝的公差为d,则根据题意得（2+2d）2=2-（2+5d）,解得d=〈或

d=O（舍去），所以数列｛%｝的前〃项和S.=2〃+”“（尸”一]）x；1=^n"+彳7/J

二、填空题

10.（2009全国卷I理）设等差数列｛q｝的前"项和为S"，若S9=72，则出+%+为=_

答案24

解析v｛a,,｝是等差数列,由S9=72,得S9=9%,%=8

/.七+%+为=（〃2+或）+%=（。5+&）+〃4=3%=24.

11.（2009浙江理）设等比数列｛凡｝的公比。=工，前〃项和为S,，则且=__________.

2a4

答案：15

且T1Wr_LP"l（l-4，）3L1-彳41e

解析对于％=---------，・=—=­；----------------=15

l-q&q（if）

12.（2009北京文）若数列｛氏｝满足：％=La,,+|=2a,,（〃eN*）,则的=;

前8项的和§8=.（用数字作答）

答案225

解析本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础知识、基本运算

的考查.

q—•1,ci）—2q—2,。3=4,。4=2a3=8,—2a4=16,

28-]

易知Sg==255,J应填255.

13.（2009全国卷II文）设等比数列｛%｝的前n项和为sn。若q=1,$6=4s3，则。4=___X

答案：3

解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由4=1,"=453得心3故a产a/=3

14.(2009全国卷II理)设等差数列｛为｝的前〃项和为S“，若%=5%则显=

q

解析•.•｛2｝为等差数列，.•・也=乂=9

$55%

答案9

15.(2009辽宁卷理)等差数列｛七｝的前〃项和为S〃，且6s5-5§3=5,则%=

解析VSn=nai+-n(n—l)d

2

/.S5=5ai+10d,S3=3ai+3d

.,,6S5-5S3=30a1+60d-(15ai+15d)=15a,+45d=15(aI+3d)=15al

答案i

三、解答题

16.(2009浙江文)设为数列｛a,J的前几项和，S„=kn2+n,nGN*,其中k是常数.

(I)求4及%;

(II)若对于任意的加eN*,am,a2m,“成等比数列，求％的值.

解(I)当〃=1,%=S|=k+l,

22

n>2,an=Sn-S“_]=kn+n-[k(n-1)+(n-1)]=2kn-k+1(*)

经验，n-\,(*)式成立，an-2kn—k+1

(IDam,a2m,a4m成等比数列，=。"4,"，

即(4&机一左+1)2=(2h〃一人+l)(8hn—k+l),整理得：机4伏一1)=0,

对任意的机wN*成立，；.&=0或k=1

17.(2009北京文)设数列｛4｝的通项公式为a,=pn+q(〃wN*,P>0).数列也,｝定义

如下：对于正整数必超是使得不等式2〃?成立的所有〃中的最小值.

(I)若p=g,q=_；,求/；

(n)若p=2,q=-1,求数列也“｝的前2而项和公式;

(Ill)是否存在。和g,使得耙=3机+2(机wN*)?如果存在，求0和g的取值范围；如

果不存在，请说明理由.

【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、

分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.

解(I)由题意，得—,解一〃—>3,得•肛N—.

"23233

3成立的所有〃中的最小整数为7,即仇=7.

23

(II)由题意，得%=2〃-1,

m+1

对于正整数，由42加，得〃2—^—.

根据以的定义可知

当m=2人一1时，bm=k(kwN*)；当机=2及时，鬣=k+l(keN").

4+为+…+”,“=(4+4+…+%"-1)+(。2+。4+,•,+%„,)

=(1+2+3+-一+机)+[2+3+4+--+(〃?+1)]

m(m+1)tn(in+3]。

=—----1+—------1=m2+2m.

22

m-n

(III)假设存在。和q满足条件，由不等式p〃+q2〃?及p>0得〃2—：

P

•••bm=3m+2(meN*),根据耙的定义可知，对于任意的正整数m都有

3m+l<丝且<3加+2,即—2p—q<(3〃—1)加<—p—q对任意的正整数m都成立.

P

当3p—l>0(或3p-l<0)时，得加〈一更主义(或机4—生上幺)，

3p-l3/7-1

这与上述结论矛盾！

12121

当3p-l=0,即p=§时，得解得

存在p和g,使得超=3>m+2(mwN*)；

121

。和0的取值范围分别是p=5，

18.(2009山东卷文)等比数列｛g｝的前n项和为S“，已知对任意的〃eN,，点

均在函数y=bx+r(b>OS.b^1力/均为常数)的图像匕

(1)求r的值：

774-1

(11)当b=2时，记b„=——(〃wN+)求数列｛2｝的前w项和7；

4%

解:因为对任意的〃eN+,点(〃,S“)，均在函数y=勿+〉0且6W1力,r均为常数)的图

像上.所以得S“=b"+r,

当〃=1忖，q=S[=匕+r,

当〃N2时，”“=Sn-S,-=加'+一(加“+r)=9—"I=3—I)/”,

又因为｛4｝为等比数列，所以厂=—1,公比为。，所以a“=3—l)b"T

⑵当"时）*3,/1胃=/=养

234n+1

则（=齐+尹+亍■+…+・2〃+i

1_234n+l

..+--n-+----

于=7+F+F+，2”+12"+2

山…小1f21111"+1

相减，得域+尹+呼+尹+…+尹-广

1八

委'X1一

1〃+131〃+1

—+

22〃+242"]2"+2

1--

2

31"+13〃+3

所以7；

22"2"+'-22,,+1

【命题立意】：本题主要考查了等比数列的定义，通项公式,以及己知S“求。”的基本题型，并

运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前八项和T”.

19.(2009全国卷H文)已知等差数列｛”“｝中，%%=-16,%+。6=°，求｛。〃｝前n项

和加

解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。

解：设｛%｝的公差为d,则

(q+2d)(q+6d)=-16

q+3d+q+5d=0

+Sdci,+12d——16

即r1

百=—4d

a,=-8,3[a,=8

解得41或1

d=2,[d=-2

因此Sn=-8/i+=〃（〃一9）,或S〃=8及一〃（九一1）二一〃（〃一9）

20.（2009安徽卷文）已知数列卢｝的前n项和与=却//如，数列｛入｝的前n项和

石=2-4

（I）求数列｛邑｝与｛3｝的通项公式；

（II）设•=卓,4,证明：当且仅当n23时，Jyj

【思路】由“=（”=1）可求出%和么，这是数列中求通项的常用方法之一，在

U.-S,T5*2）

求出明和生后，进而得到c“，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。

【解析】(1)由于q=访=4

22

当九N2时,an-s〃一s〃_]=(2n+2n)-[2(n-l)+2(〃-1)]=4〃/.am=4n(nGN*)

又当xN九时或=7>&「(2-6J-(2-bm.x)/.2bn=%

数列也｝项与等比数列,其首项为1,公比为;.•/“=g)"T

1116(〃+lf•《严g

(〃+1尸

2

⑵由⑴知G=a；-bn=16n/.=---------f-----

2G16M22〃2

由£1±L<1得(〃+1)<1即〃2—2〃—1>0；.〃>1+也即"N3

C.2〃

又〃23时（"+|）2<1成立,即9包<1由于。>0恒成立.

2/C“

因此，当且仅当时，C„+1<C„

21.(2009江西卷文)数列｛4｝的通项a“=〃2(cos2r--sin23-),其前〃项和为S“.

⑴求S.；

(2)求数列｛b)的前n项和7；.

n,4n

解：⑴由于cos?丝一sin之竺=cos型^,故

333

S3k=(q+4+。3)+(&+45+&)+…+(4*-2+。3"1+a3k)

=(.U+3，)+(--+G)+...+(-即2)2+"-吸的))

222

133118攵—5[(9攵+4)

22

S…Slx"也

。k(4-9k)(3k—1,3k-21

n1

〃=3左—2

一§—1

(n+l)(l-3n)

n=3k-1(keN*)

6

〃(3〃+4)

n=3k

6，

S3,,_9〃+4

(2)b

n"•4"-24

9/2+4

Tn=-[—+^+...+

"24424〃

什1no229〃+4]

4q=5口3+了+…+下

两式相减得

99

1m999n+414~4"9n+419n

3T=-[13+-+---+—------]=-[13+2_7--------]=8--e一一丁工，

“24r4"2j14"22"-322,1+1

4

22.（2009天津卷文）已知等差数列｛凡｝的公差d不为0,设S“=/+牝。+…+即/i

7“=/一的4+…,qw0,〃wN

(I)若q=l,%=163=15，求数列{a,』的通项公式；

(II)若为=d,且S，S2，S3成等比数列，求q的值。

(III)若q#±l,证明(1—q)S?”_Q+q)T,“=2dq(l_£N*

(1)解：由题设，S3=q+(%+d)q+(a]+2d)/,将q=1,为=LS3=15

代入解得1=4,所以。“=4〃-3〃eN*

2

(2)解：=d,S}=d,S2-d+2dq,S3=d+2dq+?>dq,'：S,,S2,S3成等比数列,

所以SZ2=S1S3，即(d+2dq)2=d(d+2dq+3dq2),注意到dwO,整理得q=—2

(3)证明：由题设，可得£=/i,则

S2n=4+424+a?[-+','1①

a2a(n

^2„-\-a2q+a3q-----2nl"'②

①-②得，

$2.一丁2»=2(a?q+aaq3T■…+a2nq'"')

①+②得，

T2

S2„+2n=2(alq+aiq+…+。2时1产?)③

③式两边同乘以q,得q(S2“+72")=2(%4+。3“2+…+a2"-iq2"-2)

2

所以(1一4电"一(1+q)T2n=2d(q+/+…+q-')=?叫(J?")

i-q

(3)证明：G-。2=(q也+(叽,一%)b2+(akn-a,)bn

=(%+(k2—l2)dbxq4---+-{kn—ln)dbiq"

因为dwO,awO,所以

1„2=(占一/])+(%2—，2)q+…+(%“一/〃)"1

db{

若k〃Win，取i=n,

若£,=/“，取i满足女产小且kjj,i+l<j<n

由(1)(2)及题设知，且

=(k[-]])+(女2一，2)。+…+(%“一

①当先<4时，kj—4K—1,由q2〃，kj—lj工q_1,i=T,2…,i—1

即匕T斗一1,(k2-l2)q<q(q—1),・・・(攵一一时以<q(q—1产

所以----W(q—1)+(q—l)q+♦•,+(4—l)q'一一q’1=(<y—1)——-----q'——1

db[\-q

因此C]一JW0

②当&〉/,时，同理可得幺二"w-l,因此C|一。2=0

db[

综上，Gwc2

【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本

知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。

23.(2009全国卷H理)设数列｛0“｝的前〃项和为S,,已知q=1,S,+|=4%+2

⑴设a=an+l-24,证明数列｛%｝是等比数列

(II)求数列｛为｝的通项公式。

解：(I)由q=1,及S„+1=4a“+2,有q+4=4q+2,4=3q+2=5,；.bx=a2-2al-3

由S,用=4。“+2,...①则当〃N2时，有S“=4a,i+2.••・・②

②一①得=4%—44T，,4+1-2a,=2(a〃-2a„_,)

又•；b“=a,.—2a“，.•也=2b,r也,｝是首项瓦=3,公比为2的等比数列.

(II)由⑴可得”=。的—2a“=3・2"T,3

""十Iit2〃+|2”4

二数列｛整｝是首项为g，公差为I的等比数列•

务=:=]an=(3〃-l>2”-2

2"2444

评析：第(I)问思路明确，只需利用已知条件寻找“与的关系即可.

第(II)问中由(I)易得氏+|-26,=3-2"T,这个递推式明显是一个构造新数列的模型：

a„+1=pa“+q"(p,q为常数)，主要的处理手段是两边除以/加•

总体来说，09年高考理科数学全国I、II这两套试题都将数列题前置，主要考查构造新数列

(全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法)，一改往年的将数列结合不等式放缩

法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和•线教师重视教材和基础知识、基本方法基本

技能，重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

24.(2009辽宁卷文)等比数列｛4｝的前n项和为s“，已知R,53,S2成等差数列

(1)求｛4｝的公比q；

(2)求q—a3=3,求s“

解：(I)依题意有

2

ax+(%+〃u)=2(%+。|4+。［夕)

由于％。0,故

2/+4=0

又q工。,从而q=-g5分

(II)由已知可得卬-%(—■!■)2=3

2

故为=4

4(1一(一:)")区,

从而Sn=--------f—=-(l-(--)n)10分

1-(-1)32

2

a

25.(2009陕西卷文)已知数列｛。“｝满足，a=1.a2=2,all+2=",n&N*.

(I)令a证明：｛2｝是等比数列；

(11)求｛4｝的通项公式。

（i）证,二4一q二1，

a=

当〃22时，bn=an+l-a„="入；""~<'~\伍"一/一)=~1

所以｛〃｝是以1为首项，-g为公比的等比数列。

（2）解由（1）知"=。,用

52

当”=1时,-1-6l|o

3~3

所以为=5|—京7一1了（〃小）。

26.（2009湖北卷文）己知｛a.｝是一个公差大于0的等差数列,

且满足a3a6=55,az+a7=16.

（I）求数列值力的通项公式：

hhhh

（H）若数列｛a“｝和数列｛bj满足等式：a,==改+寸+才+…才（〃为正整数），求数列

｛b,.）的前n项和S,,

解（1）解：设等差数列｛%｝的公差为d,则依题设d>0

由a2+a?=16.得2q+7d=16①

由％•&=55,得(4+2d)(q+5d)=55②

由①得2q=16—7d将其代入②得(16—3d)(16+3d)=22O。即256—9d?=220

d2=4,又"〉0,...〃=2,代入①得a।=1

a”—1+(〃—1)•2—2〃—1

(2)令%=优，则有a,=q+c2+...+cn,an+l=q+%+•••+*

4+1-勺=c"+i，由⑴得q=1,%+]-%=2

两式相减得c„+1=2,%=2(〃>2),即当〃>2时，bn=2M又当n=l时，4=2q=2

[2,(〃=1)

・b=<

.,2,,+1(n>2)

于是S“=伉+%+4...+a=2+23+24+...+22

=2+2、23+24+...+2i差千

-4=2,,+2-6,gPS„=2,1+2-6

27.（2009福建卷文）等比数列｛氏｝中，已知4=2,%=16

（I）求数列伍“｝的通项公式；

（II）若小,应分别为等差数列｛2｝的第3项和第5项，试求数列也,｝的通项公式及前〃

项和S,,。

解：（I）设｛%｝的公比为q

由已知得16=27,解得g=2

（II）由（I）得％=8，tz5=32,则4=8,么=32

仿+21=8伉=T6

设也J的公差为d，则有一解得1

b｝+4d=32=12

从而打=—16+12（〃—1）=12〃—28

所以数列｛"｝的前〃项和S,=..6+；2匕28）=6〃2_22〃

28（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（I）问3分，（H）问4分，（HD问5分）

已知q=l,a,=4,a“+2=4。,“|+可，勿=^-,«GN*.

猴

（I）求仇也也的值;

（H）设%=6,也用,S“为数列｛%｝的前〃项和，求证：5„>17»；

（HI）求证：瓦-“卜-!-

264172

1772

解：（I）,/a2=4,%=17,%=72,所以4=4力2=1也=—

(n)由«n+2=44M+。“得嗅=4+.即2M=4+J

J%b,.

所以当“22时,b,>4于是％=瓦力2=17,c,=b/用=4b“+1>17(〃22)

所以S〃=q+J+…+%之17〃

I|7

(III)当〃=1时，结论<讪成立

11K—卜1

当心2时，有限-a=14+(-4--1=1士701^-1^-如I

b.b,ibnbn_t17

…也一仇1<2(心2)

所以%-W+2-4+11+…+b2Tl

W\bn+i-bn\+\b2n~11

]/尸(5<]1

2(，严+(_1)"

+•••+(—)2"-2(neN”)

41717174,1641T~2

1-------

17

2005——2008年高考题

一、选择题

1.（2008天津）若等差数列｛g｝的前5项和§5=25,且4=3,则%=（）

A.12B.13C.14D.15

答案B

2.（2008陕西）已知｛”“｝是等差数列，%+%=4,%+4=28,则该数列前10项和耳。

等于（）

A.64B.100C.110D.120

答案B

3.（2008广东）记等差数列｛《,｝的前〃项和为S,，若4=；，54=20,则S$=（）

A.16B.24C.36D.48

答案D

4.（2008浙江）已知｛%｝是等比数列，a2=2,%=；，则。|勺+。2a3+…+=

（）

A.16(l-4-n)B.6(1-2-")

C.一（1一4一"）D.—（1-2-"）

33

答案C

5.（2008四川）已知等比数列（a,J中/=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）

A.（-oo,-l]B.（-oo,0）U（l,+°o）

C.[3,+oo）D.（―00,—1]U[3,4-00）

答案D

6.（2008福建）设｛&｝是公比为正数的等比数列,若m=7,注=16,则数列｛a｝前7项的和

为（）

A.63B.64C.127D.128

答案C

7.（2007重庆）在等比数列｛a｝中，包=8,a3=64,,则公比q为（）

A.2B.3C.4D.8

答案A

8.（2007安徽）等差数列｛%｝的前n项和为S,若g=1，%=3,则S4=（）

A.12B.10C.8D.6

答案B

9.（2007辽宁）设等差数列｛q｝的前〃项和为S“，若邑=9,S6=36,则%+。8+。9=

（）

A.63B.45C.36D.27

答案B

10.（2007湖南）在等比数列｛aj（neN*）中，若6=1,%=』，则该数列的前1。项

8

和为（）

clcC1八C1cl

A.2——B.2—z-C.2—rrD.2—~

24222102"

答案B

11.（2007湖北）已知两个等差数列｛4｝和｛〃｝的前〃项和分别为4“和纥，且

4=21上生，则使得区为整数的正整数〃的个数是（）

4〃+3bn

A.2B.3C.4D.5

答案D

12.（2007宁夏）已知a,b,c,d成等比数列，且曲线y=/一2x+3的顶点是（6,c）,则

ad等于（）

A.3B.2C.1D.-2

答案D

13.（2007四川）等差数列｛a｝中,a,=l,a+a=14,其前〃项和S,=100,则小（）

A.9B.10C.11D.12

答案B

14.（2006湖北）若互不相等的实数ahc成等差数列，c,a,b成等比数列，且

o+3b+c=10,则。二

A.4B.2C.-2D.-4

答案D

解析由互不相等的实数成等差数列可设@=13—5c=b+d,山。+3〃+c=l0可得

b=2,所以a=2—d,c=2+d,又“，“力成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D

15.（2005福建）已知等差数列｛%｝中，%+的=16,4=L则由2的值是（）

A.15B.30C.31D.64

答案A

16.（2005江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a｝中，首项团=3,前三项和为21,则

&）+S1+35=（）

A.33B.72C.84D.189

答案C

二、填空题

17.（2008四川）设等差数列｛%｝的前〃项和为S.，若S4210，S5415,则知的最大值为

答案4

18.（2008重庆）设S,=是等差数列｛a｝的前n项和，囱谆-8,%-9,则Se=.

答案-72

19.（2007全国I）等比数列｛4“｝的前〃项和为S“，已知5,2s2,3s3成等差数列，则｛4｝

的公比为.

答案-

3

20.（2007江西）已知等差数列｛%,｝的前〃项和为S“，若%=21,则的+的+冬+%二

答案7

21.（2007北京）若数列｛叫的前〃项和S“=〃2_10〃（〃=1,2,3广・），则此数列的通项公

式为；数列｛n4｝中数值最小的项是第项.

答案2n-ll

22.（2006湖南）数列｛氏｝满足：ai=\,an+l=2a„.n=\,2,3….则

a｝+a2+•••+〃”=

答案2〃-1

解析数列满足：％=1，勾+|=2%,〃=1,2,3…，该数列为公比为2的等比数列，

2〃一］

-十〃2^an=---------=2，/-1

,・-2-1

三、解答题

23.（2008四川卷）.设数列｛4｝的前〃项和为5“，已知为"-2"=伍一l）S.

（I）证明：当〃=2时，｛a,是等比数列；

（II）求｛4｝的通项公式

解由题意知％=2,且如,一2"=优一1）5“

她+「2川=3-1）“

两式相减得-%）-2"=9-1”用

即％+i=ba.+2"①

（I）当b=2时,由①知%+1=2%+2"

于是%+i_(〃+1).2"=2%+2"-(〃+1)•2"

又％-l-2"T=l#0,所以｛a'-〃-2"T｝是首项为1,公比为2的等比数列。

(II)当匕=2时，由(I)知％—“？1=2"T,即a“=("+l)2"T

当2时，由由①得

a.一一—-2n+,=ba+2"—一—■2"+'

nn++'2-b"2-b

=ba----—•2"

"2-b

ba“-一—-2"

"2-b

2n=1

1r-

-^-[2"+(2-2b)bn-'^n>2

24.（2008江西卷）数列｛a,J为等差数列，a“为正整数，其前〃项和为S"，数列｛"｝为等

比数列，且q=3，A=l,数列｛%｝是公比为64的等比数列，h2S2=64.

（1）求。“也；

3

(2)求证--1--H---1---<—.

S,S2Sn4

解：(1)设仅“｝的公差为d,｛〃,｝的公比为q,则d为正整数,

'

a„=3+(n-l)J,bn=q~

b3+wJ

=JL------=qd=64=26

依题意有|%q①

S2b2=(6+d)q=64

由(6+d)q=64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一,

解①得d=2,q=8

故。“=3+2(〃-1)=2〃+1也=8"T

(2)Sn=3+5H---F(2〃+1)=n(n+2)

1111111

------1--------F,••H------=----------F2^4+3^5+■•■+

S]S2Sn1x3n(n+2)

11L3+…+L，)

(1----1----

232435nn+2

----)<—

n+2---4

25..(2008湖北).已知数列｛4｝和｛包｝满足:

2

4=几，-4也=(―1)"(a“一3〃+21),其中X为实数，〃为正整数.

(I)对任意实数几，证明数列｛4“｝不是等比数列;

(II)试判断数列｛2｝是否为等比数列，并证明你的结论;

(HI)设0<。<6,S.为数列｛〃,｝的前〃项和.是否存在实数2,使得对任意正整数〃，都

有

a<S“<%?若存在，求4的取值范围；若不存在，说明理由.

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,

考查综合分析问题的能力和推理认证能力，(满分14分)

(I)证明：假设存在一个实数入，使｛4｝是等比数列，则有提=a0,即

(2九—3>=4(3/1—4)=3/12—44+9=^42—4%=9=0,矛盾.

3999

所以｛a.｝不是等比数列.

2

(II)解：因为以二(-1严［打［3(止1)+2口=(-1严(-为-2加14)

3

22

=—(-1)'•(a厂3/?+21)=--bn

33

又玩I入+18),所以

当人=-18,力尸0(〃£N+),此时｛儿｝不是等比数列：

当人2—18时・，斤(A+⑻W0,由上可知4H0,(n6N*).

b.3

2

故当入片-18时，数列｛ZU是以一(入+18)为首项，一一为公比的等比数列.

3

(in)由(n)知，当入=-18,4=0,s方o,不满足题目要求.

2

XWT8,故知4=-(A+18)•(一—)j于是可得

3

S,=-|(/l+18)-1-(-|)rt.

要使水S,〈。对任意正整数〃成立,

32

即水一一(入+18)•[1—(——)"](b(77^N)

53

/口a3/cyc、b

得-----厂<-(2+18)<.....-

①

2

令/(〃)=>(——)，贝I」

当〃为正奇数时，1"(〃)<|；当〃为正偶数时/(«)<1,

.../•(〃)的最大值为AD=-,f(")的最小值为F(2)=-,

39

533

于是，由①式得己a〈-士(A+18),〈2bo—b—18<4<—3〃—18.

955

当水b43a时，由一618N=-3kl8,不存在实数满足题目要求；

当於3a存在实数X，使得对任意正整数n,都有a<S„<2.

26.(2005北京)数列｛&｝的前〃项和为S,且a=l,炉1，2,3,..,求

(I)如的国的值及数列｛4｝的通项公式；

(II)。2+。4+〃6+…+a2”的值•

解：(I)由Q\—\ta〃+i=1S“，n=L2,3,...,得

11111、411、16

a2=4S1o==Q，%=+%)=3，=QS3=Q(〃]+%+〃3)=寸

114

由4+1一。“=)(S,—S,i)=]a“(n》2),得“।=§a“(n22)，

又az=；,所以a,=|(1)"-2(n22),

n=1

数列｛&｝的通项公式为4=<14

27.（2005福建）已知｛%｝是公比为q的等比数列，且％,%，的成等差数列.

（I）求q的值；

（［I）设｛4｝是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S“