2022年山东省菏泽市统招专升本数学自考真题(含答案带解析)

2022年山东省蒲泽市统招专升本数学自考

真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

.下列级数绝对收敛的是()

A.它(一1尸+B£一尸由

”=1ny/n

00

]]D.弓(一Ik-

C.

-1Jn+1

2.

函数y=arc.si£.r)的定义域是()

5/.r—1

A.[0,2]B.(1,+℃)C.(1,2]D.口.2]

3.

若F，(“)=f(G,则[八J^d.r=()

A.-2F(-Q+CB.—F(-^)+C

x

c.-F(>/7)+cD.-JF(-77)+C

4.

下列方程是一阶微分方程的是()

A.2/|h、'1y=0B.(7«r—6y)&rI(x\y)d>=0

C.（y'y+zy⑷-/=0D.(7)2+5(/)2j5+r7=0

5.

二次积分「dy「/Cro）dr在极坐标系下可化为（）

J°Jy

A.fdo[JXrcosO♦rsin0)drB『do1/(rcosO,rsin^)rdr

CJ；rcos^,rsin0)drD.J：d@f(rcos^trsin^)rdr

6.

.设a・b为非零向量•且aJ_b.则必有()

A.\a+b\=\a|+|b\B.\a-b\=\a\—\b\

C.\a+b\=\a-b\D.ab=ab

7.

(y=sin/*-

曲线1(，为参数)在，=f对应点处切线的方程为()

kr=2cos?4

A.i=1B.y=1C・y=1+1D.y=i-1

8.

若/为〃阶方阵，则|乂|=()，其中人为常数，

A.kAB.MHC.42MD.砌a

9.

函数/(J-)=arcsin(,r—2)的定义域是(:

A.Cl,3]B.(—8,+8)

C.[2一步,2+为D.(1,3)

10.

微分方程=的一个特解形式(a,b为常数)为()

A.aex+bB.axe1C.ax2eJD.m+bx)e”

11.

如果lim(1，)=Jzc'dz.则a=()

A.0B.1C.2IX3

12.

.当①-*0时，，l+i——E是.r2的()

A.高阶无穷小B.低阶无穷小

C.筝价无穷小D.同阶非等价无穷小

13.

极限lim/2zsin—十四迎\=()

A.0B.2

C.3D.5

14.

.微分方程虫+虫=0的通解是()

yx

22

A.x+y=25B.3JT+4V=C

c.&2+y=cD.T=1

15.

设/r是〃阶矩阵A的伴随矩阵，则正确的是()

A.(A*尸=|A|A)B.|A*1=1A―

C.(M)*=FA*D.(A")*=0

16.

当/0时，若2〃一cosx--.则可确定a的值一定是()

A.0B.1c—D——

.2°2

17.

设在［o」］上/（力＞o,则r（o）j'（i）和y（i）-f（o）或f（o）-f（i）几个数的大

小顺序为）

A./(l)>/(0)>/(1)-/(0)B./(l)>/(1)-/(0)>/(0)

C./(l)-/(0)>/(1)>/(0)>/<0)

18.

已知有10个产品，其中有2个次品，随机抓取3个产品，其中恰好只有一个次品的概

率为)

1

A.60

7

R45

1

C.5

7

19.

设A.B为同阶方阵.则有)

A.(AB)T=AB./IB=BA

C.(A+B)-1=A-1D.|AB|=|BA|

20.

函数》=\/4+才+arctan:的定义域是()

A.[―4,+oo)B.(―4,+oo)

C.C-4.0)U(0,+o=)D.(-4,0)U(0,+oo)

21.

-r=1是函数f(G=---的

1—e-

A.可去间断点B.趺跃间断点C.连续点D.第二类间断点

22.

.已知极限Sm（"“）则可确定的值是

lim=2,m()

L0X

A.1B.2C.-i-D.0

23.

.设之=2+>,则d之=()

A_s*£_iyB_曲+虫c皿_9D_生_虫：

xyxy1y

24.

设f(x)=arctan/.则W£z/(.r2

—t2)d/=()

da、Jo

A.z/W)

B.-J/(JT2)

C.2.rf(>)D.一)

Atj+x2+x3=0,

当丸为（）时，齐次线性方程组・国+六2+看=°，有非零解.

再+X2+AX3=0

A.4HlB.4工—2

25c.%=-2或4=1D.4工—2且4。1

26.

曲线y=W炉的渐近线共有（只考虑水平和垂直渐近线）（）

X十lx

A.1条B.2条C.3条D.4条

27.

-1-J-2

1、.•彳H1•

1—J

函数/(j)=Y的间断点为(〉

0,r=1,

A,1=0B,x=-1

C.T=1D.不能确定

28.

二s2

l™(z-l)2(z+2)()

A.JB.-[C.0D-

0O3

函数/(刈=卜2sll^户工。，在工=0处(

)

[0,x=0

3•-

A.不连续B.连续但不可导

连续且可导无法判定

29C.D.

30.

.次

/sinrdi=()

J一a

A.nB.一%C.1D.0

二、填空题(20题)

3]设？〜=12,D(④=4,则〃的值是，

一+2d『=

”J+4①+8'

32.

»Cl。1,T

矩阵/二，贝

33.1°1°J'=___

34.

已知函数/(X)在才=0的某邻域内连续，且/(0)==6♦则lim

LQX

35两平面'—+2?—6=0和2、r一y+2一-5=0的夹角为

36.若与=1f♦初=3+i,则=

不定积分1cos2a、＜lr=

37.J____

2Q设y—Iny-2_rhxr=。确定了函数y=.则y=

Jo.

co

事级数一7一的收敛半径R=_

39.z2"+(-3)"

(2丫

lim1-——=

40.E川―

41.已知函数J=.rarctani,则y=____

42.

1—Jl+X

设/(x)=———，试定义/(x)在x=0处的值,使/(x)在x=0处连续，则

X

/(0)=

设连续函数/(z)满足fCr)=simr+1—/(oOdr,则/(才)=

43.'JT

f(.jc)、m.id/CJ2)

右&=g((z)*则FT—=

46若cosx为/(x)的一个原函数，则j切'(x)ix=

极限lim/

47.»-«/〃十1

—1•-1</<0.

函数/(/)=1,o<^<1,的傅氏变换为

0,其他

设3=(f—1)(2—3)山，则y(0)=

49."—

50.

2

已知函数z=ln(x十/)，则全微分dz|<i,n

三、计算题(15题)

51.

已知函数/(x)在［0,1］上可导，/(X)>0,/(0)=1,且在［0,1)满足等式

/(x)一一二1，«)由=0,求函数/(x).

x-1

rzln(l+z)d/

求极限lira&---------------.

—°x-sinx

52.

求y"—5y'+6y=0满足条件y=2.y'=8的特解.

X-0r-0

53.

54.

设函数z=-y,y2-①)，其中函数/具有二阶连续偏导数，求善.

计算积分［xlnxdx.

55.

56.

设函数y="与是微分方程/+»'-2y=0的解，且在了=0处立］)取得极值3.

求1y(又).

57.

计算二重积分叮柠二7rdx4v,其中。是圆环区域：a2<x2+y2<b2.

D

58.

已知椭圆的参数方程「—,确定了函数y=心)，求半和修.

\y=bsmtd.rd.r2

求a；=e^cos(x+y)的全微分.

59.

1

求%did”。其中区域“由9=2，）=2,x=1及z=2所围成.

D

60.

不设曲线3=TH,求其拐点及凹凸区闻

61.

求不定积分［丁/・.

JA/Z（1+Jl'）

62.

求不定积分arctan石dx.

63.」

64.

已知曲线过（0,一且其上任一点（八3）处的切线斜率为11水1+/）,求人工）

0O

试确定寨级数z■Z”的收敛域并求出和函数.

〃+1

65.

四、证明题（10题）

66.

5

已知方程4、T+3I3—J*=0有一负根w=-2,证明方程4+9/—5、/=0必有一个

大于一2的负根.

证明：对于0VaV6•有arctan/)—arctanaV6—a.

67.

证明：当oVi<1时.（］-2）ln（l一—>2x.

68.

69已知/(7)=——3w—1.求：

(1)函数/⑺的凹凸区间；

(2)证明方程八1)=0在(1,2)内至少有一个实根.

70.

证明：方程3①一1一「二%=0在区间(0,1)内有唯一实数根.

Jo1+产

71.

设/&)在区间［0,用上连续，证明：「f(x2)dx=2「/(12)业.

J—aJ0

证明：当oVi<1时—乃>21.

72.

73.

求抛物线丁=1—/及其在点(1,0)处的切线和？轴所图成图形的面积,并计算该图

形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.

74.

设/(力在［1,2］上连续，在(1,2)内可导，且/(D=；,/(2)=2,证明存在

“(1,2),使得，'0)=义里.

75.

求由抛物线:y=1—I?及其在点。，0)的切线和;y轴所围成的平面图形的面积.

五、应用题（10题）

76.

设Di是由抛物线v=2.r2和直线①=a,.r=2及.、，=0所围成的平面区域；Q是由

抛物线>=2〃和直线y=o,x=a所围成的平面区域,其中0Va<2.

（1）试求外绕;r轴旋转而成的旋转体体积%;外绕.、，轴旋转而成的旋转体体积匕；

（2）问当a为何值时％+匕取得最大值?试求此最大值.

77.

某房地产公司有50套公寓要出租•当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去，当月

租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修

费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

78.

求由曲线卬=2,4'=/及了=4所围成的图形的面积，并求此图形绕7轴旋转所得

的旋转体的体积.

79.

设Di是由抛物线v=2.?和直线①=a,.r=2及1，=0所围成的平面区域；Q是由

抛物线y=2/和直线y=0,1=a所围成的平面区域,其中0〈aV2.

（1）试求"绕工轴旋转而成的旋转体体积%;外绕轴旋转而成的旋转体体积匕；

（2）问当a为何值时V,+V2取得最大值?试求此最大值.

80.

过点（1.0）作抛物线），=的切线.求这条切线、抛物线及.r轴所围的平面图形

绕汇轴旋转一周得到的旋转体的体积.

某产品总成本。为月产量，的函数:

81.

C（①）=0.25/+6.r4-100（元）.

产品销量价格为力•需求函数为J=x（p）=100—2p.

（1）求当.r=10时的总成本和边际成本。

（2）求总收入函数，当价格p为多少时总收入最大？最大收入是多少？

82.

某工厂生产两种产品/和B，出售单价分别为10元与9元，生产x件产品/与生产y

件产品B的总成本是：C（x,y）=0.01（3x2+孙+3y2）+2x+3y+400（元）.求两种产

品的产量分别为多少时，获得的利润最大？

83.

求由直线.r=1,①=e,y=0及曲线y=’所围成平面图形的面积.

X

证明：对T>0,有之产>1+（.

84.二

85.

设以向量a和P为边做平行四边形.求平彳j四边形中垂直于a边的高线向量.

六、综合题（2题）

86.

设函数/（口遭（/）在闭区间［-a・a］（a>0）上连续,gCr）为偶函数，且函数/（力满

足条件/（工）I/（-1）=AJA为常数）

（1）证明J/Q、）g（z）cLr=g（q）cLn

J~aJ0

（2）利用（1）的结论计算|*Isinz|arctane/di.

J2

87.

已知两曲线y=/(工)与y=e"也在点(0,0)处的切线相同,

(D写出此切线方程;

⑵并求极限㈣叫舁

参考答案

1.A

【精析】因为W二产是2=3的力-级数,所以级数十(一1尸」尸绝对收敛B

〃=invz?-N=InJn

C中的级数是发散的*D中的级数是条件收敛的.故应选A.

2.C

/—141—J*W1,

【精析】为使函数有意义，须有即IV#<2,故函数的定义域为

|.z-1>0,

(1，2J.故应选C.

3.A

——=-2f/(―A/T)d(—)=—2F(—)+C,故本题选A.

Jy/xJ

4.B

［答案］B

【精析】微分方程的阶数是方程中未知函数y的导数的最高阶数，可知A项为2阶，B

项为1阶,C项为4阶.D项为2阶.

［答案1B

rO<<1,。

【精析】积分区域。:V,々1转化为。J

I-

故dyjf(jr9y)djr=fdjj/(/coMksinJ)nl厂♦故选B.

5B」oJjJDJO

6.C

【精析】因为a，人以a.b为斜边的平行四边形是矩形,对角线相等,

即|a+b|=|a—b|.故应选C.

7.B

［答案1B

av*

【精析】由于半=d&y-则

QX

dr遗

民

切线方程为y=U

D

8D【评注】方阵行列式的性质.

9.A

L答案」A

【精析】要使函数有意义.则须一1<.r-2岂1.即1W.rW3.故函数的定义域为U.3」.

10.B

B

【评注】非齐次线性微分方程的特解形式，特征方程户-1=0,得1是其一阶特征根.

［答案］c

【精析】lim(L±三产=］由1(1+工)…=e"，

.L"TiX

f

fe'df=—fed/=(a—,

j—•■j—•,•

i仆

由r=/e'd/.所以“=2.

ll.C一IJ

12.B

［精析］因为1而,1+厂"。=lim2-----------=co

3rr'°.r2(</l+jr+/I—.r)

所以JTTT-4^7是/的低阶无穷小.故应选B.

13.B

10in。Sin1

【精析】lim(2xsin1-----\—2limFlim—•sin3x=2+0=2•故应选B.

z\JCJCI1JC

14.C

【精析】由皿+匕=0,得苴=一匕，分离变量一id?=ydy,

y]y]

两边积分，得一行+G=9*即/+32=C为原微分方程的通解.故选C.

15.B

[答案]B

【精析】A*=AT・|A则|A*|=|Q|A||=(|A|)"•1AT|=|A尸.

16.C

【精析】由2a-COST~yj?2(1->0),可知2a—cosO=2“-1=0,即n=.故应

乙乙

选C

17.B

【精析】由拉格朗日中值定理知八1)一八0)=/小)，其中ee<o,i).由于/'(工)>0,

则/U)单调增加，故/(0)</(f)</(I).即/(0)</(I)-/(0)</(I).故

应选R

18.D

【精析】C=*=28co=1cclci2X287

129°'/『=F^=T?

Zo7\ZX1

19.D

L答案」D

【精析】对于任意同阶方阵A、B.都有ABBAAB,而其他三项不一定

成立，故选D.

20.C

,4+彳》0*

【精析】要使函数有意义.则解得7>—4且*片0,应选C.

|彳¥0，

【精析】当彳f1一时，产----►+8,故lim----二_=o；

1一法51—0匚

当*-》■1+时，—*—oo.故lim-----...——1,

1-HL1+1-e后

21用故才=1为跳跃间断点.

22.B

【精析】lim^n(—)=lim皿竺Li.m=m=2.本题选B.

x-*0JCx-*0"?W

【精析】因为之=宏=!+5

所以d之=d(:)+d(()=一—*dy,故应选A.

23

24.A

rl"1ACx1Ar°

2222

-j—tf(x—t)dt=———f(x—r)d(.r—产)=———Qf(u)du

d"oZd.rJoZd.rJ)

=-y/(r2)•2JC=J/(j2).

25.C

C

211

【评注】系数行列。=14-10=(2+2X2-iy.

10X—\

当。=0时，即4=1或4=-2时，方程组有非零解.

26.C

［答案1C

r

【精析】因为丁=/（工）=/11l+&=（工一,2）y；4）,Hm/（z）=1,所以》=1

是曲线的水平渐近线=8Jim/（.r）=8,从而l=0x=4是曲线的垂直

x-0j-4f

渐近线.故选C.

27.C

［答案］c

【精析】lim/'（T）=lim-...:+了》=2W〃1）,所以/（J-）的间断点为_r=1,故

应选C.

28.A

sin2(l—z)

【精析】limlim=lim故应选A.

22

.i-i(^-l)(z+2).r-i(T-1)(Z+2)・L11十/O

c

【评注】1汕％2$也2_=0=/(0),函数y(x)在x=o处连续，

29.CXT°x

/'(0)=lim/(")-以Q)=lim......=limxsin—=0»函数/(x)在x==0处可导.

x5)X-0IOx7x

30.D

【精析】由于y=/siar为［-上的奇函数，故fsin^dz=0,故应选D.

J—K

31.18

【精析】E(情=np=12»D(f)=np{\—p)=4•解得力=年,〃=18.

32.

In"+—+8+C

【精析】原式=11.，［出=yf~—d(x2+4z+8)

2J+4»r+82J.r+4,r+8

=-^-ln(.r2+4,r+8)+C=InqF+4才+8+C.

33.

「21、

Jb

，2p

JI

（］10、

【评注】本题考查矩阵的乘积，//7=11

010）一

【精析】

34.6

35.

n

T

［答案1j

【精析】两平面的法向量分别为a=-史=（2.1,11，令两平面的夹角为

B,则cos夕=…I2T+2I=乙故公n

"ill出"展•&2取亍

36.

［答案］—e(3+i)

【精析】?1•=e"m•(3+i)

=e(cosn+isinn)(3+i)

-e(3+i)=e•(一l)(3+i)

=—c(3+i).

37.

-ysin2,r+C

卜os2.rdr=-ycos2id(2①)=-^-sin2i+C.

38.

2y(1+Inz)

1十_y

1精析】因_y+Iny—2/lrLr=0,令F(.rtj»)=_y+Iny—2.rln.r,

IH||J=_=21nET2=2.y(l丁hir)

川)一玛Cz，y)1+y,

y

39.

41.

2

(1+立？/

1J+V-①♦2i2

y=arctan.i'+■：：—r.v---------------------------------------------------

1+1+x2(1+x2)2(14-.rz)2"

42.

2_

2

【评注】Iim/(x)=lim/WV=lim——-=lim—。==一1，由

10XTOxXT。x(l+Jl+x)xf1+Jl+x2

/(x)在x=0处连续，当且仅当lim/(x)=/(0)可得〃0)=-L

102

43.

si”+玄

0

【精析】令］J(1)dr=右，则对等式两边积分得jJ(N)djr=J(sinx+1一力五=

一COST|4-j'|—kr|=2—,即4=2—2氏，解得A="I"，故/(1)=sin/+1

2.,1

y=smx+可.

44.

d/(_g(2')•2icLz*=2igU

2①g(x2

45.

arctan/(j')+C.

.舟/=j1+}(r)d/Gr)=arctan/⑺+C.

46.

-xsinx-cosx+C

-xsinx-cosx+C

【评注】(cosx)=/(x),即/(x)=-sinx.

Jxf(x^x=卜4f(x)=4(x)-J/(x>=-jcsin^-cosx+C.

47.

1-----

n—11

)【精析】limlim-----孑=

2〃+1L82+J-3J

2n

48.

［答案］—(cosicf-1)

w

【精析】=「/(/丘一皿山

eTu'd/+］；-沁'山

—(COSW-1)

IV

rri

=—c""df+5沁，出

JI'J•'

fl2i1

=-2isinafd,=-cosu^f

JI)zu<?

=—2i,(COSW-「1).

u,

49.3

【精析】y=(JC-1)(1-3)=y'(0)=(—1)•(—3)=3.

50.

dw+d)

dz2xdz2ymi

5-=~一=—一■72，贝I」

dxx+ydyjr-十yi

_2-

aa)dx+jr2+ydy=do•+dy.

<i.i>X2+y2(i,i)

51.

解：「《(Od/=(xT)/(x)两边求导得/'(x)=/(x),即覆丹

解得y=/(x)=ce,又：/(O)=1,:.f(x)=e\

52.

2

AS[，皿1+。"xln(l+x)x

解：lim--------------=lim------------=hm-——=2■

x-*0x-sinxz1-cosxx-^12

-X

2

53.

【精析】二阶齐次方程的特征方程为，-5r+6=0,特征根为八=2.r,=3.所以

齐次方程的通解为

,y=♦*十CeE(GC为任意常数)

将y=2代人通解中可得

y=G十C?=2，

£一0

又

2z3j

y=2C1e4-3Qe,

将=8代人>/=2(7]，+3Qc”.得y=2Ci+3C2=8,

■T-0,一。

C+C=2,(C=-2,

联立1-解得Jt

2C,-F3C:=8[Cz=4,

•••特解为2c2"+ic3\

54.

【精析】[=八•2x-/\,

=2z[/\i♦<—1)4-/'i2•2y~\-[7%i(—1)+/‘22*2>]

=-2xftl-(4孙+1)/12-2yf2Afi2=/21).

55.

f2\

X.

解:Jexlnxdx=1Inxd—=—Inx+工合d(lnx)

、2)

56.

【精析】特征方程为rIr—2=(rI2)(z—1)=0=>八=—2.r2=1-

2fr

故通解为二V=IQ2C1t•C2e.

由题意知：.y'(0)=0.y(0)=3.

-2r

y(0)=(Qe{C2)=C\|G=3,r_】

、x-0।(1-]

即，a]

2rf

v'(0)=(-2Ge-IC2e)=-2GIC2=0.

故V=e-"J2e，.

57.

解：JjJ.+/&砂=jd6/r-rdr=2K--=—(Z>3-a3)-

DA33

58.

【精析】¥=j£^L=—9cw.

dw—asinra

2

dv_b1.]=_b_J=_b

da"asin"-as\nta2sin3/a2sin3

59.

【精析】空=c吗”+，)1=e'cos(H+y)—eJsin(x+v)，

dxdx

孕=疝气气才+m=_e，sin(i+y),

3y3y

则dz二矢'thr—会打=e*[cos(>r+y)sin(1+y)]d_re，sin(j*+y)dy.

60.

61.

【精析】据题意..〜才雷&，八/强瑞

令y"=。，则可得上=0，7=2,

当工<0时./>0；当0V工V2时,;/V0；当工>2时,y”>0.

而且当z=。时,v=j当彳=2时,v=-7-.

44

所以点（0仔）和（2仔）为拐点，

凸区间为（0,2）,凹区间为（一oo,0）,（2.+8）.

62.

.「arctany/r.；/—2d（7T）

【精析】--------di=arctanC・-------七二一

JG（l+.r）J1+（々）2

.

=2arctanvCrd（arctan>/x）

=（arctan\/Cr）2+C.

63.

令正^=£,则sr=t2=2那£,

原式=arctanr•dr=rarctanr—

=r2arctanr—dz+

=rarctam：T-t+arc苗n人士..C；­….，……,二

.,,••幅；：_■.:............,.......

将t代入得arctan=xarctanvCr—A/Z+arctan+C.

64.

【精析】由题意可得“=川n(l+V),积分得

y=fjrln(14-x')dj=-^-Jln(l—x2)d(l+x?)

=+.r)ln(l+x')—2.rdrj

=}[(1far2)ln(11x2)—x23-C,

又曲线过点(0,-J),代入曲线y的方程中得C=-J，

乙乙

所以/(Jr)=.y=-1-(1+x2)[ln(I+Xs)—1].

65.

【精析】p=lim以旦=lim"=2=l,故收敛半径R=l.

当z=-i时，级数为x土W,为收敛级数.

仁〃十】

当才=1时，级数为W-1n•.为发散级数.

故原级数的收敛域为1—1,1).

B<]1

S(z)=1++，++

GS九-A十rr1=+T2+T3T4"n^-H1

co-oo-

MF=I：(W〃W=(「山=-lnd-x),

令S)(JT)=

K

=一皿/£i,#e1—1,1)且1r0,当士=。时，和为i.

即S(r)=J1

1,x=0.

66.

3

【证明】令,/(J)=4.r+3.r—.一,由题可知f(—2)=0.又有/(0)=0,

/(.r)在［-2,0］上连续.在(一2.0)上可导，故由罗尔定理可知至少存在一点

W€(—2,0),使得/(f)=4+95-56*=0.

即方程4+9M-5d=0必有一个大于一2的负根.

67.

【证明】令/(x)=arctanz,则f(x)在［a㈤上连续，在(a,6)内可导，所以/(x)在

［。，瓦I内满足拉格朗日中值定理.故至少存在一点SC(。，6)，有

击(一)，

arctan/>-arctana=

而。＜小＜1.所以夫―一,

1

故arctan6—arctana=T+?(b—a)<Zh—a.

68.

【证明】令/1)=(工2)ln(lJ-)2x,f\x)=ln(lx)1—5-r.

jr-1

/'(工)=~当。<工v1时,，(工)》().

所以/'(①)在。<才<1内单调递增.又/(O)=0,所以/'(］)>0,

故fix)单调递增，又因为/(0)=0,所以当0〈才〈1时，/(1)>0・

即当0VIVI时，(工2)ln(l>2x.

69.

【证明】(1)/(%)=5T4—3./"(I)=20./，令/'(l)=0»得.r=0,

当了>0时J'(z)>0；当#V0时,/'(工)<0.

故/(J)在凹区间为(0,+8)，凸区间为(一8,0).

(2)/(.r)=1-3］一1,知fQ)在［1,2］上连续.

又/(I)=-3<0,/(2)=25>0,即/(1)•/(2)<0,

由零点存在定理知，/。)在(1,2)内至少有一点3使/(£)=0.即八］)=0在(1.2)

内至少有一实根.

70.

【证明】令f(r)=3T—1—‘rd/,

J01+广

则/(T)=3—"r在［。，1］上有意义.

即有/