2022-2023学年高中数学第3章圆锥曲线与方程单元测评湘教版选择性必修第一册

第3章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

d

L双曲线的渐近线方程是（）

V2我

A.x±片0B.x±y=Q

C.2x±y=OD.x±2y=0

2.若抛物线V4叱的焦点与椭圆s"=1的下焦点重合，则/的值为（）

A.4B.2C,-4D.-2

3.（2022四川绵阳一中高二期中）平面上满足到定点尸（0,-1）和定直线/:2x+3y+3=0距离相等的点

产（福力的轨迹是（）

A.圆B.双曲线

C.直线D.抛物线

士以

12A

4.（2022山西怀仁高二期中）与椭圆=1共焦点且过点夕（2,1）的双曲线的标准方程是（）

士二

A."-/-IB.2-

/V/

F3~~2

C.=1D./2--1

5.已知几人是双曲线。的两个焦点，户为双曲线上一点，且/期/之/必/=/£6/,则。的离心率为

（）

A.1B.2C.3D.4

我

6.已知抛物线/之加（o为）上一点〃的纵坐标为-4,该点到准线的距离为6,则该抛物线的标准方

程为（）

A._/=T6xB._/=8x或/%x

C.y=-8xD._/=16x或_/=8x

士+土

7.已知椭圆‘（a»刈，GK分别是椭圆的左、右焦点，/是椭圆的上顶点，直线";交椭圆于另

一点己若/在/=出4/,则椭圆的离心率为（）

筋1V51

T522

A.B.C.D.

—="'—

8.已知焦点在x轴上的椭圆8=1（a»）,且a,2,c成等差数列,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶

PF'PA

点,户是椭圆上任意一点，则的最大值为（）

A.8B.10C.12D.16

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全

部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.己知抛物线C-.y^x的焦点为F,。为坐标原点,点〃（刘,㈤在抛物线，上,若/版/N,则（）

我

A.助考B.

*/21

C./OMl=D.b的坐标为（0,1）

10.（2022吉林东北师大附中高二期中）已知关于x,y的方程切/=1（其中m,n为参数）表示曲线C,

下列说法正确的是（）

A.若m=n阳,则曲线C表示圆

B.若mn内,则曲线C表示椭圆

C.若mn<0,则曲线C表示双曲线

D.若mn=Q,m+nX）,则曲线C表示四条直线

JoV3J3

11.（2022浙江瑞安中学高二期中）已知双曲线。过点（"），且渐近线方程为y=±x,则下列结

论正确的是（）

而

A.双曲线。的离心率为

而

B.左焦点到渐近线的距离为

C.双曲线的实轴长为1

D.过右焦点被双曲线。截得弦长为6的直线只有三条

12.（2022山东嘉祥一中高二期中）设椭圆,"二l（a»A））的左、右焦点分别为凡民点户在椭圆上，

414

且PF\LFM,iPF'EjPFj』.过点M-2,1）的直线1交椭圆于A,8两点,且A,8关于点〃对称,则下

列结论正确的有（）

A.椭圆的标准方程为“'=1

而

B.椭圆的焦距为

C.椭圆上存在2个点Q,使得

D.直线1的方程为8x~9y+25R

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

XJ

13.（2022河南名校联盟高二期中）已知椭圆的面积等于'其中,是椭圆长轴长与短轴长的乘积,则

2o

椭圆=1的面积为

14.如图，吊车梁的鱼腹部分/如是抛物线的一段,宽为7m,高为0.7m.根据图中的坐标系,则这条

抛物线的方程为

7~T

15.双曲线=1(以0)的离心率为，则6=;过双曲线的右焦点尸作直线垂直于双曲线

的一条渐近线,垂足为A,设。为坐标原点,贝|/物/匚.

士是

16.已知椭圆I?6=1的左、右焦点分别为尻息点尸在椭圆上,且△阳月是直角三角形,这样的点P

有个.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在①双曲线£的焦点在x轴上,②双曲线£的焦点在y轴上这两个条件中任选一个,补充

在下面问题中，并作答.

布

已知双曲线C的对称轴为坐标轴，且C经过点/(0,),8(1,3).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若双曲线£与双曲线C的渐近线相同,,且£的焦距为4,求双曲线£的实轴长.

注:若选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.

18.(12分)设抛物线的焦点为£直线，与抛物线C交于不同的两点46,线段的

中点〃的横坐标为2,且/m/+你

(1)求抛物线。的标准方程；

(2)若直线1(斜率存在)经过焦点F,求直线1的方程.

19.(12分)(2022河北唐县一中高二期中)已知点A(-2,0),6(2,0),动点〃(x,y)满足直线/〃与BM

1

的斜率之积为2,记〃的轨迹为曲线C.

(1)求。的方程,并说明C是什么曲线；

(2)若直线l-.y=x^)和曲线。相交于区尸两点，求/用/.

20.(12分)已知椭圆C:s4=1.

⑴求C的四个顶点围成的菱形的面积；

机衣五

(2)若直线片痴+1与，交于20两点,“(5,0),的面积为，求4的值.

21.（12分）（2022广东华南师大附中高二期中）如图，在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个

/J/J

“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆二l（xW0）和=1（了三0）组成,其中心以9,“挞圆

内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）.

（1）求“挞圆”的方程;

(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为yr(te

(0,15)),求该网箱所占水域面积的最大值.

22.(12分)(2022山东临沂兰山高二期中)已知椭圆’”二1(刘》刀)的左焦点为方(-。,0),右顶点为4

~2

点£的坐标为(0,c),△£物的面积为.

(D求椭圆的离心率；

5

(2)设点0在线段AEh,若lFQl=C,求直线FQ的斜率.

参考答案

第3章测评

1.C•.•双曲线的标准方程为“々M,...渐近线方程为"-X=O,即尸±2x.

故选C.

—r—w

2.D•.•椭圆'的下焦点坐标为(0,-1),即抛物线步之0y的焦点坐标，...J-l,...必=-2.故选D.

3.C依题意得，点户(0,T)在直线/上,所以点尸的轨迹是过点户且与1垂直的直线.故选C.

IF9V5

4.B椭圆=1的焦点坐标是(±,0).

设双曲线的标准方程为‘1=1(aX"X),

<11

京一?

因为双曲线过点月(2,1),所以-1,

又3+BA解得/2廿=\,所以所求双曲线的标准方程是-/=L故选B.

2。_I一与I_1昂写I

2a0/问I\J^\

5.Be==2.故选B.

6.D...抛物线的准线方程是x=~而点〃到准线的距离为6,.•.点〃的横坐标是6金

的坐标代入f^px,得324P（65），解得p鼻或故该抛物线的标准方程为

将点也

_/=16x或y=Qx.

故选D.

7.A因为/是上顶点，所以/"]/=〃K/=a.

由椭圆定义可得/图/+/PF2/3a,

n匹

-2

又/必/=/必/,则可得/图//,/%/二.

牛，+即T一学Fs-（2c）＞

则由余弦定理可得cosN/必二丁丁了，：

则整理可得a2=3c2,则离心率e±s.故选A.

A\

-=■丁一

8.C因为椭圆JO=1的焦点在x轴上，所以旨44.

又a,2,c成等差数列，所以4=a+c.

—+—

联立匕+0=4,解得1。=1,所以椭圆的标准方程为9、，左焦点尸（二0）,右顶点43,0）.

设户（司,㈤，则§餐,所以餐

找=找

-(-Ab-l,~yo)•(rb+3,-yb)-。-2刘-3+。一2刘一3+8--2为存=I（照-9）2刘£[一

3,3],

PF-PA

当照二-3时，最大,为12.故选C.

9.AC由题可知/（1,0）,由/版/，）<LN,°Nxo,可得苞=3,刃二±2.

则/OM/^.故选AC.

10.ACD若zz7-/7>0,则殳+了「X）,。表示圆,故A正确；

若m<0,/7<0,满足的X,但C不表示椭圆，故B错误；

若皿]<0,则。表示焦点在x轴或y轴上的双曲线,故C正确；

一

若277/74）,加77>0,则ZZ7/X）,〃丸或胪:0,Q0,则£=±£'或尸土YJ,C表示四条直线，故D正确.故选ACD.

"o"</2'^^33

11.BD由已知设双曲线的方程为丁-3二九因为双曲线过点J'V），所以2-二九4=1,双曲线的

标准方程为/-=1,a=l"J,所以C2离心率为e三之,故A错误；左焦点为（-2,0）,一条渐近线方

心_炳

程是X-尸0,左焦点到渐近线的距离为必如w"㈠”,故B正确;双曲线实轴长是2,故C错误；

2*_2X3

双曲线两顶点间的距离为2a2又'।4,即通径长为6,因此过右焦点被双曲线截得弦长为6

的直线有3条,两个交点在同一支上的只有一条,即双曲线的通径所在直线,另两条与双曲线的两支

各有一个交点,故D正确.故选BD.

gy1%|2-[尸F][2=优L

12.AD因为阳，EK,/期/=,/必/=，所以c=,a=（/历/+/加/）超则6N,

所以椭圆的标准方程为9"=1,椭圆的焦距为2V5,故A正确,B错误；

QF，■Q&

由可知NA坐K0°,所以点0在以月K为直径的圆上，因为c>6,所以圆与椭圆有4个交点,

故C错误；

因为过点M-2,1）的直线/交椭圆于A,6两点,且A,8关于点〃对称，

所以点欣-2,1）为弦朋的中点，设2（荀,防），6（x2,V2）,

耳

4-1,

V

-4巧L+q一8

41,-------9尸i+g9

则矛1为2二9％小与，联乂两式相减得直线46的斜率为kAB^=~，所以直线1

8

9

的方程为厂1二（户2）,即8『9片25或故D正确.故选AD.

V241T1

13.4兀因为才阳方之,所以己丑,b=，所以椭圆二1的面积为兀仍N兀.

55

2~

14.y设抛物线方程为三之"（夕方），

7749T

因为从人所以之义P,

55

解得P=,

35

~2

所以抛物线的方程为V=y.

£=而“底

15.12由e=742,得6=1.

1

由双曲线的渐近线为尸士\"可知,/如/=///-/"14--=@2工,所以例/幺

16.6当户不是直角顶点时,尸为过焦点与x轴垂直的直线与椭圆的交点，易知这样的点有4个;当

V12-6=^6

P是直角顶点时，点户在以内A为直径的圆上，，

再+5=1,(x=0,.pr=O,

，261_■或j_JC,

故圆的标准方程为/+/=6,联立评+/=6,解得3=V63=-V8这样的点户有两个.综上所述,

共有6个点满足条件.

17.解⑴设双曲线C的方程为族切六1(曲⑹，

c7

所以双曲线C的标准方程为=1.

V3

(2)双曲线C的渐近线方程为y=±x.

若选①，设双曲线£的标准方程为''=l(aA),6X),

所以双曲线，的实轴长为2.

若选②，设双曲线6的标准方程为'"=l(aA),6X),

3=有，

2c=4,'方=1,

、演='+解得.C-2.

则所以双曲线£的实轴长为2.

*1+通

18.解设/(.,%),6(x2,㈤,则线段相的中点〃的横坐标为方一与，即荀+刘4

⑴/AF/+/BF/=xi+X2+p=^+p=6,解得p=2.

故抛物线的标准方程为了可X

⑵由⑴可知抛物线的焦点坐标为A1,0),故设直线方程为y*(x-l),20,

p■二ACx-1),2WM

联立3=4x,得扃j2AA=16"2+16X,则荀交2='N.

解得公土我故直线1的方程为我x土厂收=0.

yy

19.解⑴由题意可得AM,题的斜率分别为住与5片-2),左i工(xW2),

y■_Z_-}±_d

由已知得*2r2Z(#±2),化简得"2=1(XW±2),

即曲线。的方程为'2=15W±2),曲线。是一个双曲线(不包含左、右顶点).

(T~F=b

⑵联立『3,消去了整理得/-12^+22-0,

设E(xi,yi),F(X2,丹),△=56>0,贝Ijxi+x2=12fxix2=22f

dl+京。1+一■J(jq+2)2-4.>-Vl+l2■V12z-4X22-卷■VS6

lEFl=•Ixi-X21=N

诉

20.解⑴由题意,可得才49=3,所以a2b二,

zV5

所以。的四个顶点围成的菱形的面积为X2a乂2b丸abA.

'y-奴+L

±+±-1

{•34、整理得(4+3如)9用履-

62g

90,A-36^+36（4+3妙）-144（发+1）X）,贝U矛产范x\Xi=-

（）

212^+1

Vl+i>｛（八+.）2-4*It-

d+SN

可得"0/二

15Hli

又由点〃到直线y=kx+\的距离dJ,

1已“2+]-All_6

所以△g0的面积5=2/%/><£皿♦/5AH/」，即""【

17

,,18

解得k=l或k=.

二金L+立

81

21.解（1）易知6=15,a=34f之5,所以“挞圆”的方程为⑵225勺（痣。）和3=1（^0）.

（2）设/（荀，。，6（右。分别是矩形水箱在第一、二象限内的顶点，

+3-1

-----T--------Xj

625225

二+及-1?

125811'可得.=-9荀,

则

—XX1/—\

所以网箱所占水域面积S=2%（荀F）=2力X^i=15X34X2X915^510XV225叼巧10,当且仅当

三二」

了-E时，等号成立.

故网箱所占水域面积的最大值为510平方米.

1y

2~2

22.解（1）由已知，可得｛c+a）