安徽省阜阳市太和县太和中学2023-2024学年高考冲刺数学模拟试题含解析

安徽省阜阳市太和县太和中学2023-2024学年高考冲刺数学模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出下列三个命题：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要条件；③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．其中假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则（）A． B．2 C． D．3．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（）A． B． C． D．4．已知向量，若，则实数的值为（）A． B． C． D．5．设非零向量，，，满足，，且与的夹角为，则“”是“”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．在三棱锥中，，，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（）A． B． C． D．7．二项式的展开式中，常数项为（）A． B．80 C． D．1608．已知，，，则的最小值为（）A． B． C． D．9．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3 B．－3 C．2 D．－210．设函数在定义城内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A． B．C． D．11．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A．72种 B．36种 C．24种 D．18种12．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________．14．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.15．如图，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F分别为BC，CD上的点，，若线段EF上存在一点M，使得，则____________，____________．（本题第1空2分，第2空3分）16．在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.（1）设直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C交于两点A．B，求AB的长；（2）设M、N是曲线C上的两点，若，求面积的最大值.18．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：一周课外读书时间/合计频数46101214244634频率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数.（2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.①求每层应抽取的人数；②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.19．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求证：对于任意，.20．（12分）如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.（1）证明：平面.（2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.21．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.22．（10分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，.（1）若，求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.2、C【解析】

把代入，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．【详解】∵，∴，∵为纯虚数，∴，解得．故选C．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．3、C【解析】

求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得出圆关于直线的对称圆的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出，即可得解.【详解】如下图所示：设点关于直线的对称点为点，则，整理得，解得，即点，所以，圆关于直线的对称圆的方程为，设点，则，当时，取最小值，因此，.故选：C.【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.4、D【解析】

由两向量垂直可得，整理后可知，将已知条件代入后即可求出实数的值.【详解】解：，，即，将和代入，得出，所以.故选:D.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.5、C【解析】

利用数量积的定义可得，即可判断出结论．【详解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要条件．故选：C．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6、A【解析】

设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为，所以，解得.因为，所以.设，易知平面ABC，则.因为，所以，即，解得.所以球Q的半径.故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题7、A【解析】

求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式展开式的通式为，令，解得，则常数项为.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.8、B【解析】,选B9、A【解析】

求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】，若，，在单调递增，且，在不存在零点；若，，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.10、D【解析】

根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.【详解】由的图象可知，在上为增函数，且在上存在正数，使得在上为增函数，在为减函数，故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，故排除A，B.由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.故选：D.【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.11、B【解析】

根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有C3若甲村有2外科,1名护士,则有C3则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，故选：B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.12、C【解析】

根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】点不在直线、上，若直线、互相平行，则过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，即必要性成立，若过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，则直线、互相平行成立，反证法证明如下：若直线、互相不平行，则，异面或相交，则过点只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件，故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、20,21【解析】

由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.【详解】解:由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,偶数项构成公比为的等比数列,则;.当时,,.当时,,.由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.故答案为:20,21【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.14、【解析】

分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.【详解】首先，第一行队伍的排法有种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有种；第二行的每个位置的人员安排有种；第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率.故答案为：.【点睛】本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.15、【解析】

根据题意，设，则，所以，解得，所以，从而有.16、【解析】

的展开式的通项为，取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）1.【解析】

（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2），，由（1）通过计算得到，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为，即；再将，，代入上式，得，故曲线C的极坐标方程为，显然直线l与曲线C相交的两点中，必有一个为原点O，不妨设O与A重合，即.（2）不妨设，，则面积为当，即取时，.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.18、（1），，，中位数；（2）①三层中抽取的人数分别为2，5，13；②【解析】

（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得，得到，，再结合中位数的计算方法，即可求解.（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；②由①知，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得，所以，.设一周课外读书时间的中位数为小时，则，解得，即一周课外读书时间的中位数约为小时.（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，又因为，，的频数分别为20，50，130，所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13.②由①知，在，两层中共抽取7人，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21种，其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，，共有10种.设事件为“这2人不在同一层”，由古典概型的概率计算公式，可得概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19、（Ⅰ），（Ⅱ）见解析【解析】

（1）根据导数的运算法则，求出函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出，值；（2）首先将不等式转化为函数，即将不等式右边式子左移，得，构造函数并判断其符号，这里应注意的取值范围，从而证明不等式.【详解】解：（1）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（2）由（1）知，所以.考虑函数，，则.而，故当时，，所以，即.【点睛】本题考查了利用导数求切线的斜率，利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题，以及不等式证明问题，考查了分析及解决问题的能力，其中，不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.20、（1）见解析（2）【解析】

（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，根据圆的几何性质证得，由此证得平面.（2）判断出三棱锥的体积最大时点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面平面是正方形，所以平面.因为平面，所以.因为点在以为直径的半圆弧上，所以.又，所以平面.（2）解：显然，当点位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.不妨设，记中