第一节 数学应用与数学建模简介 感受数学建模的解释、判断和预见的三大功能

第一节数学应用与数学建模简介教学目标：1.通过大量的实例，学生了解数学建模在现实生活中各个领域的应用价值，体会生活中处处有数学。2.学生初步了解什么是数学模型以及数学建模的基本步骤，在具体问题中感受数学建模的解释、判断和预见的三大功能。3.学生感受数学之美，激发数学的学习兴趣。20世纪是科学技术突飞猛进的时代：人类登上月球，飞向太空；科学家开始解读遗传密码，开创了生物工程；人们发明了强大的高速数字电子计算机，开启了在网络上自由奔腾的新纪元。随着科学技术的迅猛发展和社会的进步，数学这门历史悠久的学科的应用已不再局限于物理、工程技术、自然科学等领域，而正以空前的广度和深度向经济、金融、医学、生物、地质、环境、军事、管理、人口、交通等新的领域渗透。利用数学知识研究和解决实际问题，已经成为当代一项高新技术，得到越来越广泛的关注。不论用数学的方法在科技和生产领域解决实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步就是建立恰当的数学模型(简称数学建模)，并加以计算求解。建立一个较好的数学模型，乃是解决实际问题的关键一步。所谓“高科技”就是一种“数学技术”。电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型，用这个模型对控制装置作出相应的设计和计算，才能实现有效的过程控制!气象工作者为了得到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等资料建立的数学模型!生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，就可以分析药物的疗效，有效地指导临床用药!城市规划工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决策提供科学根据!厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮存费用等信息，筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，一定可以获得更大的经济效益!就是在日常活动如访友、采购当中，人们也会谈论找一个数学模型，优化一下出行的路线!对于广大的科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁!教育必须反映社会的实际需要，数学建模进入高中选修课堂，既顺应时代发展的潮流，也符合高中教育教学改革的要求。对于数学教育而言，既应该让学生掌握准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理，也需要培养学生用数学工具分析解决实际问题的意识和能力，传统的数学教学体系和内容无疑偏重于前者，开设数学建模课程则是加强后者的一种尝试。数学模型与数学建模模型是客观实体有关属性的模拟，陈列在橱窗里展览的飞机模型是参照飞机实体的形状，严格按照一定的比例简缩而制成的，它的外形一定要像真正的飞机，至于它是否真的能飞则是无关紧要的；然而参加航模比赛的飞机模型则全然不同了，如果飞行性能不佳或飞不起来，外形再像飞机，也不能算是一个好模型。模型实际上是根据要实现的目的不同而对实体物的某些基本属性的一种抽象。至于在飞机设计、试制过程中用到的数学模型和计算机模拟，则只要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特性，毫不涉及飞机的实体!例如：宏观世界的电子元件电路图、行星的运行轨迹图、大陆板块排列图，微观世界的生物的DNA结构图、神经元细胞结构图、分子结构图等，并不一定要用实物来模拟，它可以是抽象的符号、文字和数字来概括地、集中地反应现实对象的某些特征，从而帮助人们迅速、有效地了解并掌握那个对象。而模型的基本特征是由构造模型的目的决定的!我们常见的模型一般分为三类：实物模型：如玩具、照片等(如图1)；物理模型：如风洞中的飞机，海底的舰艇等(如图2)；符号模型：地图，电路图等(如图3)。图1实物模型图2物理模型图3符号模型数学模型，作为模型的一类，也是一种抽象的模拟，是为了某些特定的目的，根据其内在的规律，通过必要的简化假设，以数学符号、数学表达式、程序、图形等为工具，对实际问题或实际课题的本质属性的抽象而又简洁的刻画。数学建模是运用数学的方法解决实际问题的一种实践过程。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的计算方法和计算机技术进行求解。数学建模的三大功能：解释，判断和预见。例如：①利用数学建模知识对生物中孟德尔遗传定律的“3:1”的解释(如图4)；豌豆是自花传粉，且是闭花授粉的植物，自然状态下永远是纯种，豌豆有易于区分的相对性状。他用黄色圆形豌豆(YYRR)与绿色褶皱豌豆(yyrr)杂交，这里黄色、圆形均为显性基因，绿色、褶皱为隐性基因。实验结果发现它们的第一代全是黄色圆形豌豆(YrRr)，但用第一代黄色豌豆再次杂交后，得到的豌豆种子中，会出现黄色豌豆与绿色豌豆比例为3:1，圆形豌豆与褶皱豌豆的比例为3:1。图4遗传学的奠基人孟德尔和他的实验图表②美国原子能委员会处理浓缩放射性废物处理方法：封装入密封性很好的坚固圆桶中，沉入300ft(1ft=0.3048m)的海里(如图5)；关于这种处理方法，许多生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。为此，工程师们也做了大量的碰撞实验，建立合理的数学模型，进行探讨和论证。图5放射性物质实物③谷神星的预见发现等(如图6)。谷神星是人们最早发现的第一颗小行星，由意大利人皮亚齐于1801年1月1日发现。图6谷神星的发现1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学教师，把下面的数列：3，6，12，24，48，96，192……的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每个数字都加上4，就得到了下面的数列：4，7，10，16，28，52，100，196……再把每个数都除以10，最后得到：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6……上面的数列我们可以用数列的通项公式刻画为：，其中令提丢斯惊奇的是，他发现这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太阳的距离比例（地球到太阳的距离定为1个单位）有着一定的联系，唯独时还没有发现相关的行星与之对应。提丢斯的朋友，天文学家波得深知这一发现的重要意义，就于1772年公布了提丢斯的这一发现，这串数从此引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯——波得定则，即：当时，人们还没有发现天王星、海王星和冥王星，以为土星就是距太阳最远的行星。1781年，英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星，从此，人们就对这一定则深信不疑了。根据这一定则，在数列的第五项即2.8的位置上也应该对应一颗行星，只是现在还没有被发现。于是，许多天文学家和天文爱好者便以极大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程。1801年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空。突然，他从望远镜里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯——波得定则中2.8的位置上。可是，当皮亚齐再想进一步观察这颗小行星时，他却病倒了。等到他恢复健康，再想寻找这颗小行星时，它却不知去向了。皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”。后来，高斯凭借他的渊博的数学知识，给出了计算行星运行的轨道后，成功算出了“谷神星”的位置，之后还发现了海王星、冥王星。数学建模不仅是了解基本规律，而且，从应用的观点来看，更重要的是预测和控制所建模系统行为的强有力工具。它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略等。数学建模的基本步骤包括：1、观察、分析实际问题；2、抽象、简化，确定变量和参数；3、利用某种“定律”建立变量和参数之间的某种对应关系(数学模型)；4、解析或近似地求解该数学模型；5、解释、验证、预测和发现新现象；6、若能，则可应用该数学模型，模拟(仿真)甚至预测。若不能，则回去检查各步骤是否有差错，重头再来。观察、分析实际问题观察、分析实际问题抽象、简化，确定变量和参数利用某种“定律”建立变量和参数之间的某种对应关系(数学模型)解释、验证、预测和发现新现象可应用该数学模型，模拟(仿真)甚至预测通过通不过数学建模就是上述框图多次执行的过程。简而言之，就是合理假设，建立数学模型，求解数学模型，解释验证。我们以下面简单的航行问题为例，解释数学建模的过程。例1：甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需要30小时，从乙到甲逆水航行需要50小时，问船的速度是多少？解：用，分别表示船速和水速，可列出如下方程：可求解得到，故船速为每小时20公里。当然真正的实际问题要远比上面的例题复杂的多，但是数学建模基本思想已经囊括在例1当中。首先观察、分析实际问题(读懂实际问题的已知，所求)；作出简化假设(船速、水速为常数)；然后用符号表示有关量(用，分别表示船速和水速)；利用相应的物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以时间)，列出数学式子(二元一次方程组)；求解得到数学解答();用这个答案解释原问题；最后还要用实际现象来验证这个结果。随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生这里一般地说不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。今天，在国民经济和社会活动的以下诸多方面，数学建模都有着非常具体的应用：分析与设计例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型。预报与决策生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案，是决策模型的例子。控制与优化电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化，要以数学模型为前提建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题。规划与管理生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都可以用数学规划模型解决。数学建模与计算机技术的关系密不可分一方面，像新型飞机设计、石油勘探数据处理中数学模型的求解当然离不开巨型计算机，而微型电脑的普及更使数学建模逐步进入人们的日常活动。比如当一位公司经理根据客户提出的产品数量、质量、交货期等要求，用手提电脑与客户进行价格谈判时，您不会怀疑他的电脑中贮存了由公司的各种资源、产品工艺流程及客户需求等数据研制的数学模型———快速报价系统和生产计划系统。另一方面，以数字化为特征的信息正以爆炸之势涌入计算机，去伪存真、归纳整理、分析现象、显示结果……，计算机需要人们给它以思维的能力，这些当然要求助于数学模型。所以把计算机技术与数学建模在知识经济中的作用比喻为如虎添翼，是恰如其分的。美国科学院一位院士总结了将数学科学转化为生产力过程中的成功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”，而“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径。

第二节桌子能放平吗？教学目标：1.通过具体例子，学生掌握对具体问题进行建模时，如何抓主要问题，作出合理的条件假设的方法。2.学生理解由具体问题转化为数学模型的巧妙过程，并应用联想、类比、化归等重要的数学思想方法，根据已学的知识点——根的存在性定理，解决实际问题，体会数学知识的强大功能。3.培养学生用数学的观点解释身边的实际问题的能力，增强数学的应用意识。我们将用一个具体的例子，说明如何根据实际问题作出合理的、简化的假设，以便用数学语言确切地表示实际问题，将看似与数学无关的实际问题转化为数学问题，并建立数学模型来加以解释和给出证明。问题：将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，问是否总能设法使其四条腿同时落地？分析：将方桌往不平的地面上一放，在通常情况下只能做到三只脚着地、放不平稳，然而只要稍微转动一下，就可以四只脚同时着地。如果上述问题不附加任何条件，答案显然是否定的，例如方桌放在某台阶上，而台阶的宽度又比方桌的边长小，自然无法将其放平；又如地面是平的，而方桌的四条腿却不一样长，自然也无法放平。可见，要想给出肯定的答案，必须附加一定的条件。基于对这些无法放平情况的分析，我们提出以下条件(假设)，并在这些条件成立的前提下，证明通过旋转适当的角度必可使方桌的四条腿同时着地。假设：(1)地面为连续曲面，沿各个方向都不会出现间断(没有台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面。(2)方桌的四条腿长度相同，桌腿与地面接触处可视为一个点，四角的连线呈正方形。(3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的。对于桌脚的间距和桌腿的长度而言，地面是相对平坦的，使桌子在任何位置至少有三只脚同时着地。(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。现在，在上述假设条件成立之下，我们来建立相应的数学模型，证明桌子可以四条腿同时着地。由假设(2)和(4),方桌的四只脚的连线呈正方形，以方桌的四只脚的对称中心为坐标原点，建立直角坐标系，如图1所示，方桌的四条腿分别在，，，处，且，的初始位置在轴上，而、则在轴上。当方桌绕中心旋转角度后，正方形转至的位置，对角线与轴的夹角决定方桌的位置。图1：变量图1：变量表示桌子的位置。显然，如果用某个变量表示桌脚与地面的竖直距离，当这个距离为零时，就是桌脚着地了，方桌在不同位置时，四条腿到地面的距离不同，所以，桌腿到地面的距离是的函数。虽然桌子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了。记、两角与地面的距离之和为，、两角与地面的距离之和为，则，。由假设(1)，和都是连续函数，由假设(3)，桌子在任何位置至少三只脚着同时着地，所以对于任意的，和中至少有一个为零，即恒成立。假设当时，，。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：已知:，均为的连续函数，，，且对任意的有，证明存在某一，使。证明：将桌子旋转，对角线与互换位置，由，可知，。构造函数，显然，由于，均为的连续函数，所以也是的连续函数。且有和，由闭区间上连续函数的性质可知：必存在角度，，使得，即。又由于对任意的有，故。故必有。学生练习：1.如果桌子表面的形状是长方形、圆形或者是其它不规则图形时，是否有类似的结果呢？由此，你得出什么样的结论？2.设函数在区间上连续，并且函数。证明：方程在内至少有一个根。3.某人第一天早上7点从甲地出发，晚上5点到乙地，第二天早上9点从乙地出发，沿原路返回，晚上8点回到甲地。问：能否在两天中该人恰好在同一时刻经过同一地点？4.根的存在定理在《高等数学》以及《数学分析中》是一个十分重要的定理，它采用了“设而不求”的重要的数学思想，在有关方程的根的存在性讨论以及解不等式方面中有着重要的应用。请同学们课后查阅并学习根的存在性定理的一些推广知识。

第三节商人们怎样安全过河教学目标：1.学生巩固数学建模的基本步骤，熟练掌握数学建模过程中的假设条件的确定，并在教师的引导下，逐步将问题的条件和所求转化为数学模型中的变量表示，体会笛卡尔坐标系的重要价值。2.通过数学方法与逻辑推理的对比，感受数学的化繁为简的转化思想，以及数学观点解决问题的巧妙，进而，增强数学学习的兴趣。3.鼓励学生自主编题、验证、不断完善题目的条件和结论，进而锤炼学生的数学思维方式，培养学生的创造性思维和发散的思想方法。示例：三名商人各带一个仆人乘船渡河，一只小船最多只能容纳二人，由他们自己划行。当今社会每个人都想当王者，谁都想成为有钱人，所以就在这个问题中仆人们也想成为商人。仆人们密约，在河的任一岸，一旦仆人的人数比商人多，仆人就会联合起来将商人杀死并抢夺其财务，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，问商人们如何设计过河顺序才能让所有人安全渡河呢？对于这类智力游戏经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的。这里用数学模型求解，一是为了给出建模的示例，二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比逻辑思索的结果容易推广。模型的假设：小船的质量是好的；过河的途中没有突发情况；水流的速度正常；每个商人和随从都会划船；随便两个人都会做同一条船。安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员（商人、仆人各几人）作出决策，在保证安全的前提下（两岸的仆人数都不比商人数多），在有限步内使全部人员过河，用状态（变量）表示某一岸的人员状况，决策（变量）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目标。模型构建：记第次渡河前此岸的商人数为，仆人人数为，，，。将二维向量=(，)定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作。(1)不难验证，对此案和彼岸都是安全的。记第次渡船上的商人数为，仆人数为。将二维向量定义为决策。允许决策集合记为，由小船的容量可知：(2)因为为奇数时，船从此岸驶向彼岸，为偶数时，船由彼岸驶回此岸，所以状态随决策变化的规律是：(3)(3)式称为状态转移律。这样，定制安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策()，使状态按照转移律(3)，由初始状态经有限步到达状态。模型求解：根据（1）～（3）式编一段程序用计算机求解上述多步决策问题是可行的。不过对于商人和仆人人数不大的简单状况，用图解法解这个模型更为方便。在平面坐标系上画出图1那样的方格，方格点表示状态。允许状态集合是用圆点标出的10个格子点。允许决策是沿方格线移动1或2格，为奇数时向左、下方移动，为偶数时向右、上方移动。要确定一系列的使由经过那些圆点最终移至原点。图1：安全渡河问题的图解法图1给出了一种移动方案，经过决策，，，，最终有。这个结果很容易翻译成渡河方案如下：次数船行方向策略此岸最终状态彼岸最终状态第1次此岸到彼岸两个仆人一起过河三个商人和一个仆人两个仆人第2次彼岸到此岸一个仆人过河三个商人和两个仆人一个仆人第3次此岸到彼岸两个仆人一起过河三个商人三个仆人第4次彼岸到此岸一个仆人过河三个商和一个仆人两个仆人第5次此岸到彼岸两个商人一起过河一个商人和一个仆人两个商人和两个仆人第6次彼岸到此岸一个商人一个仆人一起过河两个商人和两个仆人一个商人和一个仆人第7次此岸到彼岸两个商人一起过河两个仆人三个商人和一个仆人第8次彼岸到此岸一个仆人过河三个仆人三个商人第9次此岸到彼岸两个仆人一起过河一个仆人三个商人和两个仆人第10次彼岸到此岸一个仆人过河两个仆人三个商人和一个仆人第11次此岸到彼岸两个仆人一起过河0人三个商人和三个仆人备注：上面的解法可能不唯一。如下图2，提供了另外的可选择方案。图2：安全渡河问题的图解法(多种方案)这里介绍的是一种规格化的方法，所建立的多步决策模型可以用计算机求解，从而具有推广的意义譬如当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就困难了，而用这种模型则仍可方便地求解。大家不妨考虑四名商人各带一个随从的情况（小船如上，此种情况无解）。适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效地解决很广泛的一类问题的方法。“商人过河”模型适合于解决多种问题，如“传教士与野蛮人渡河”，“印度夫妻渡河”等。这些问题本质上都是相同的或相似的，由此可见这个趣味问题流传的广泛性。另外还有所谓“人狗鸡米过河”问题，也是颇有趣味的，人、狗、鸡、米均要渡河，船需人划，而船上最多还可载一物，但若人不在时，狗会吃鸡，鸡会吃米，问如何设计安全渡河方案。我们完全可以仿照商人渡河问题建立一个多步决策模型，加以解决。50年代中期，由于计算机科学技术迅猛发展，出现了一门新兴的学科，叫做“人工智能”。人工智能研究的是如何是计算机具有人类的智能，使计算机像人类那样智能地工作，去完成那些需要人的智能才可以完成的工作。从另一个角度来说，人工智能研究如何使人的智能用计算机来实现。利用人工智能的方法还能证明定理(例如：平面几何中的定理)。机器证明定理就是把人证明定理的过程通过一套符号体系，变成一系列能在计算机上实现的符号运算过程，从而把人的推理演绎过程机器化。最近，人工智能的研究还在下棋方面取得巨大的成就，下国际象棋的计算机程序已达到世界冠军水平，人们不仅将国际象棋大师们下棋的经验知识和技巧变成计算机可用的规则，编进计算机程序中去，而且计算机已达到在3分钟内可计算500亿的步棋的速度。人们认为，人工智能的发展将对人类的生活方式以及人类认识自己的方式产生巨大而深刻的影响。学生练习：1.四名商人各带一个随从过河，其它条件如示例，请你设计一种安全过河方案。如果没有合理方案，请你试着调整尽可能少的某些条件，自编一道能够求解安全方案的题目，并给出具体渡河方案。2.夫妻过河问题：有3对夫妻过河，船最多能载2人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他男子在一起，如何安排三对夫妻过河？若船最多能载3人，5对夫妻能否过河？

第四节对策模型教学目标：1.学生了解竞争的数学模型——对策模型及其在各领域中的应用,并理解并树立“从最坏的可能中争取最好的结果”的理性思考观，掌握零和对策、非零和对策、纳什均衡解等问题的模型建立方法及分析理念。2.通过数学原理在各个领域中的应用，学生感受数学的价值，并培养“以数学之眼看世界”的思维方式。3.从看似与数学毫不相关的具体实际问题入手，逐步探究、剖析其中的数学原理，并利用数学知识解决问题。在此过程中，激发学生的学习兴趣，树立学好数学的决定。问题的提出在人类的社会活动中，有许多竞争性活动，小至游戏，大至商业竞争乃至战争，在这类活动中，有一类有如下的特点：竞争对手可能采取的各种策略是清楚的；各方一旦选定了自己的策略，竞争的结果就清楚了，竞争的结果可以定量描述；竞争的每一方都希望在竞争中获得最好的结果，而且十分清楚竞争的对手也千方百计地要达到同样的目的，这类活动成为对策，下面举几个实际例子。一、乒乓球赛排阵甲、乙两队进行乒乓球团体赛，每队由3名球员组成，双方可排出3种不同的阵容，甲队的三种阵容记为A，B，C；乙队的3种阵容为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。根据以往的记录，两队以不同的阵容交手的结果如表1所示：乙队结果甲队ⅠⅡⅢA-3-1-2B-603C51-4表1表1中的数字为双方各种阵容下甲队的失分数。这次团体赛双方各采取什么阵容比较稳妥？二、水雷战作战的一方将水雷布在敌方船只驶经航道的海床中，当船只驶过时由某种物理因素激发水雷爆炸导致船舶被毁。另一方为了防止船被炸沉，在船只驶过水道之前先用打雷艇设法激发水雷爆炸，使其失去破坏作用。为了避免水雷被扫雷艇破坏，人们设计了一种可设置计数器的水雷，可以将水雷计数器设定为，此时仅当水雷被激发次才会爆炸。另外又设在船舶驶过之前扫雷艇只有有限的时间进行工作，激发水雷的次数有限制，可能不足以在船驶过之前引爆水雷。我们先考虑水道中只设置一个水雷又只有一条船驶过的情形。若水雷被引爆，船被炸沉的概率为0.1。设水雷计数器可设置为1和2，在船驶过前扫雷艇最多扫雷一次，那么在双方采取的各种不同策略的情况下，船被炸毁的概率如表2所示：水雷记数设置12扫雷次数00.10100.1表2若水雷计数器最多可设置为，在船驶过水雷的航道之前最多扫雷次，双方各应采取何种策略？三、田忌齐王赛马战国时期，齐王和大将田忌赛马，双方出3匹马各赛一局，各方的马根据好坏分别称为上马、中马、和下马。田忌的马比齐王同一级的马差，但比齐王低一级的马好一些。若用同一级马比赛，田忌必然连输3局。每局的赌注为1千金，田忌要输3千金。田忌的谋士建议田忌在赛前先探听齐王赛马的出场次序，然后用自己的下马对齐王的上马，用中马对齐王的下马，用上马对齐王的中马。结果负一局胜两局赢得一千金。但若事先并不知道对方马的出场次序，双方应取何种策略？双方采用的赛马出场次序安排及相应的结果(田忌输的千金数)可由表3列出：齐王田忌上中下上下中中上下中下上下中上下上中上中下311-111上下中13-1111中上下1131-11中下上11131-1下中上1-11131下上中-111113表3两人零和纯策略对策一、对策要素从上一部分的三个实例中可以看到，对策有下列几个要素。局中人在一场对策中总有参与者，他们为了取得竞争的胜利，必须选择适当的行动方案去对付对手。通常称对策活动中有权作出行动选择的参加者为局中人。上面的前两个例子中，比赛双方和战争双方都是局中人，第三个例子中，田忌和齐王也是局中人。一般局中人不一定是两个，也可以是多人。策略在对策中，局中人能够采用的可行的行动方案成为策略。策略的全体称为策略集，策略集可以是有限或无限的。若策略集为有限集，称为有限对策，否则称为无限对策。支付当局中人选定了自己的策略之后，竞争的结果就确定了，而且该结果是量化的，对每一方而言可能是得也可能是失，一般用支付来描述量化的得失，如第三个例子中在双方确定策略下田忌输的金额即为田忌的支付。二、两人零和绝对对策局中人只有两个，对策中各方只能从有限的策略集中确定地选择一种，且对策双方的支付之和为零的对策称为两人零和纯策略对策。支付矩阵设局中人为A和B，A有个策略，其策略集为；B有个策略，其策略集为，当A方选择策略，B方选择策略时，是一个对策，又称作一个局势，在此局势下，A方的支付为，B方的支付为。我们可以将在各种局势下A方的支付用表4表示A方支付B方策略……A方策略………表4表4称为A方的支付表，又称为A方的支付矩阵。由两人零和对策的定义，应成立。B方的支付表和支付矩阵可直接从A方的支付表和支付矩阵得到，不必专门列出。若对策问题成立其中是一个与，无关的常数，此时，引入新的支付，则新的支付满足两人零和对策的条件。2．最优策略与鞍点简记第一个例子中甲队策略为，，，乙队的策略为，，，甲队的失分即为支付，甲队的支付表由表5给出Max-3-1-2-60351-4-135Min-6-1-4表5当甲队采取策略时，乙队可能采取策略，，，对甲队而言最坏的可能支付为，若采用策略，最坏的可能支付为。若采用策略，最坏的可能支付为。根据通常的“从最坏的可能中争取最好的结果”的原则，甲队最好的可能是。即甲队应采取策略，失分为-1，即得1分。这个过程可以在表5中表示出来。将每一行的最大值求出后填在表的最后一列之中，然后再求这一列的最小值，用圆圈将其圈出。同样，乙队采用策略，，最坏的可能分别为，，。最好的结果为，即乙队应采取策略。这个过程可表示为取表5前三列各列的最小值，填写在表的最后一行中，然后求出这一行的最大值，用圆圈圈出。容易发现，对于甲队而言，从最坏的可能求最好的结果的原则确定应采取策略；对乙队而言，应采取策略。此时，A方的支付为-1。只要甲队选定策略，乙队必须选择策略，否则甲队的支付会更小，对乙队不利；另一方面，只要乙队选择了策略，甲队必须选择策略，否则甲队的支付会增大，对甲队不利。这样，双方的策略就会稳定为和，不会轻易改变。我们称局势(,)为该对策问题的一个鞍点或平衡点。分别称和为甲队和乙队的最优策略。-1称为(A方)对策的最优值。关于第二个例子的策略分析需要混合策略的相关知识，比较复杂，有兴趣的同学可以学习混合对策的相关知识，课下自学。两人非零和对策一、年度财政预算问题到目前为止我们处理的都是零和对策，即一方所得恰为另一方所失的完全竞争问题。然而，在自然和社会中有大量的非完全竞争，即非零和对策。一个比较有趣的实例是1981年美国国会表决里里根(Reagen)总统年度财政预算时，民主党和共和党的斗争。民主党议员可以采取大体支持里根和反对里根两种策略；共和党议员可采取完全支持里根和与民主党妥协两种政策。当时的《纽约时报》分析了两党采用不同的策略可能出现的各种结果，归纳为表6。共和党完全支持里根妥协民主党大体支持里根共和党胜，民主党避免受到谴责共和党胜，但里根方案修正，民主党也得分反对里根里根预算通不过，民主党受到谴责共和党很多项目被删除，民主党在本年度预算中看上去起主要作用表6将两党竞争的结果量化为1～4，数字越大表明得益越多，于是有如下赢利表7.(请读者思考赢利表与以前定义的支付表有什么区别)表7由于双方的得益不完全相反，必须分别标明。赢利表里各个括号(即赢利对)中第一个数字表征民主党的得益，第二个数字表征共和党的得益。非零和对策的赢利表也可以简单地表示成在非零和对策中通常要确定对策的原则。本段中我们采用的是“理性原则”，即假定局中人在对策中只考虑自己的得失。我们还假设对策双方事先不能预知对方采取什么对策，且双方必须同时做出选择。在这样的假设下，我们可以将上述赢利表分为民主党的赢利表和共和党的赢利表，分别按从最坏可能求最好结果的最大最小方法选择最优策略。对民主党，取赢利表各行元素最小值和最大值为2，见表8，即民主党应采取第一个策略，即大体上支持里根。Min23=2\*GB3②141表8对共和党，取赢利表各列元素最小值的最大值2，见表9。共和党应采取第一种策略，完全支持里根。4321Min=2\*GB3②1表9这两张表也可以合起来写成表10如下：=2\*GB3②1=2\*GB3②1表10二、纳什(Nash)均衡点——从无序市场中把握有序市场规律电影《美丽心灵》中，有人向纳什提出了这样一个问题，问题的背景如下：在一个舞会上，有两个以上的男士，有比男士更多的魅力十足的女士，但只有一个金发女郎，男人开始邀请舞伴，但只能邀请一次，请一个女郎作为舞伴，所有男士更喜欢金发女郎，但有女伴比无女伴要好，如果两个男士同时邀请一个女士，两人都会被拒绝。假设你作为一个男士，你会如何邀请舞伴？纳什对非零和对策作出了重要的贡献，纳什均衡就是他提出的一个重要概念。纳什均衡是博弈论中最重要的概念，各种非合作博弈模型的纳什均衡概念都是建立在纳什均衡基础之上的。假设对策双方遵循“无悔原则“，即决策要达到双方的策略一旦选定，任何一方擅自单方面改变自己的策略，只会导致自己收益的下降。当然，我们还是假设双方不能预知对方选取什么策略，假定双方的选择是同时作出的。设甲和乙进行对策，赢利表为其中为甲得到的赢利，为乙得到的赢利。如果存在，，使得元素取到甲的赢利矩阵中它所在列元素()的最大值，取到甲的赢利矩阵中它所在行元素()的最大值；那么就称(,)为该对策的一个纳什均衡点。这个概念容易推广到双方都有多于两个策略可供选择的情况。为求纳什均衡点，可对赢利表中的赢利对的第一个元素按列求出最大值，在最大元素标上“＊”号；再对赢利对的第二个元素按行求最大值，标上“＊”号。赢利对两个元素同时标有“＊”号的就是纳什均衡点。例如有以下赢利表：用上述方法可得纳什均衡点(有两个“＊”号的赢利对)：和是两个纳什均衡点。纳什均衡点并不一定存在，例如以下赢利表所表示的对策就没有均衡点。如果纳什均衡点存在，双方选择它所对应的策略，显然符合“无悔原则”。以下是一个对策理论中著名的案例。虽然它以囚犯对策的形式出现，但是在经济学中，有很重要的应用。囚徒困境两人因涉嫌共同抢劫被捕，检察官已初步掌握他们抢劫的证据，他们很可能是持枪抢劫，但检察官未掌握持枪的足够证据。两人入狱后被关押在不同的牢房，避免他们串供。他们两人面临的情况是：如一方揭发另一方持枪，而另一方没有揭发，揭发方因作为证人而立功，免于刑事处分，被揭发者将被判15年徒刑；如相互揭发，两人都将被判10年徒刑；两人都不揭发，各被判5年徒刑。他们该如何选择？两囚徒的对策可由表11刻画。囚徒乙揭发不揭发囚徒甲揭发不揭发表11求出赢利表的纳什均衡点：可知，两人都应采取揭发对方的策略。对囚徒困境问题，用最大最小收益的方法也得到同样的结论。求最大最小收益如下：-10-15-10-15同样得到双方都应揭发对方的结论。有意思的是，若双方都采取不揭发的策略，结果是双方都只判5年，显然比判10年好，然而双方不能事先互通信息，若一方不揭发，而另一方选择揭发，不揭发方会被判15年，所以任一方都不会轻易采用不揭发的策略。如双方可以商量，则情形就完全不同了，这种对策被称为合作对策，是对策论的另一种研究内容。学生练习：1.甲、乙两名儿童玩游戏，双方可分别出拳头(代表石头)，手掌(代表布)，两个手指(代笔剪刀)，规则是：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀，赢者得1分。若双方所出相同为和局，均不得分，试列出儿童甲的赢得矩阵。2.今有甲、乙两厂生产同一种产品，它们都想通过内部改革挖掘，获得更多的市场份额。已知两厂分别都有三个策略措施。据预测，当双方采取不同策略措施后两厂占有份额变动情况如下所示：请你分析，理智情况下，甲、乙两厂最可能出现什么策略，最大收益是多少？3.某地区有两家电视台，在一天的同一个黄金时间，每家各有两套节目可供选择播出。经调查，两家电视台各种节目搭配时甲台节目收视率如下表：乙台节目1节目2甲台节目A7040节目B5545甲台节目收视率(%)表中是甲台节目的收视率，乙台节目的收视率可以由以下公式得到：乙台收视率=100%-甲台节目收视率。这里假设了该地区的居民只看这两家电视台，设想两家电视台事先都知道这张表，即他们都知道彼此选播节目后各自的收视率，并假设他们都可以随时调整播放的节目，请分析这两家电视台会采取什么样的节目播放对策来应付他们之间的竞争？4.练习1中，如果两家电视台可能播放的节目分别为四个、三个，甲台节目收视率(%)如下表所示：乙台节目1节目2节目3甲台节目A704535节目B454050节目C555055节目D604550甲台节目收视率(%)此时情况变得比较复杂，他们会采取什么样的对策呢？5.中美贸易问题：1996年5月15日，美国政府借口中国对知识产权保护不力，单方面宣布：对中国出口到美国的纺织品、服装及电子产品实施惩罚性关税，涉及产品金额达30亿美元，惩罚性税率达100%，并于一个月后生效。当晚，中国外经贸部发表公告，做出了强烈的反应。公告中表示：如果美国政府一意孤行，中国将实施反报复，并与美国贸易报复措施生效的同时生效。在公告中还列举了反报复清单，报复惩罚额相当。事实发展是：双方都有允诺，也有威胁。由于中方反报复力度相当，又在强化知识产权保护上作了承诺，因而，诱使美方考虑合作与不合作的得与失。双方经过5天的磋商，在知识产权问题上达成一致的同时，彼此宣布取消拟采取的贸易报复措施，避免了两败俱伤的结局，得到了好的结果。请你用数学建模的知识分析对策的理念。6.1943年2月，第二次世界大战中的日本，在太平洋战区已处于明显的劣势。为扭转战局，日军统帅山本五十六大将统率下的一支舰队策划了一次军事行动：由集结地——南太平洋新不列颠群岛的拉包尔出发，穿过卑斯麦海，开往新几内亚的莱城，支援困守在那里的日军。山本五十六心中非常明白，在日本舰队穿过卑斯麦海的3天航程中，不可能躲开盟军的袭击，他要谋划的是尽可能减少损失。当盟军获悉此情报以后，盟军统帅麦克阿瑟即命令他麾下的太平洋战区空军司令肯尼将军组织空中打击。日美双方的指挥官及参谋人员都进行了冷静与全面的谋划。自然条件对于双方来说是已知的。基本情况是：(1)从拉包尔到莱城的海上航线有南线和北线两条，通过时间均为3天。(2)气象预报表明，未来3天中，北线阴雨，能见度差；而南线则天气晴好，能见度佳。局势估计如下：局势一：盟军侦察机重点搜索北线，日本舰队也恰好走北线。由于气候恶劣，能见度低以及轰炸机群在南线，因而盟军只能实施两天有效的轰炸。局势二：盟军侦察机重点搜索北线，而日本舰队走南线。由于发现晚，尽管盟军轰炸机群在南线，但有效轰炸也只有两天。局势三：盟军侦察机重点搜索南线，而日本舰队走北线。由于发现晚，尽管盟军轰炸机群在南线，以及北线天气恶劣，故有效轰炸只能实施1天。局势四：盟军侦察机重点搜索南线，日本舰队也恰好走南线。此时，日军舰队北迅速发现，盟军轰炸机群所需航程很短，加之天气晴好，这将使盟军空军在3天中皆可实施有效轰炸。历史情况：局势1成为事实，即肯尼将军命令盟军侦察机重点搜索北线；而山本五十六命令日本舰队取道北线航行。盟军飞机在1天后发现日本舰队，基地在南线的盟军轰炸机群远程飞行，在恶劣天气中，实施了2天有效的轰炸，重创了日本舰队，但未能全歼。请你用数学建模的知识分析、解释策略中的理性思考。7.(斗鸡博弈)两个人举着火柴棍从独木桥的两端走向中央进行火拼，每个人都有两种战略：继续前进，或退下阵来。若两个人都继续前进，则两败俱伤；若一方前进，另一方退下来，前进者胜利，退下来的丢了面子；若两人都退下来，两人都丢面子。请建立合理的支付矩阵，并找到纳什均衡解。8.(智者博弈)猪圈里圈着两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的一边有一个猪食槽，另一边安装一个按钮，按一下按钮会有10个单位的猪食进槽。但谁按按钮就需要付2个单位的成本。若大猪先到，大猪吃到9个单位，小猪吃到1个单位；若同时到，大猪吃7个单位，小猪吃3个单位；若小猪先到，大猪吃6个单位，小猪吃4个单位，请写出支付矩阵，并找到纳什均衡解。9.两名囚犯因涉嫌抢劫被捕，警方因证据不足将二人分关二室，并宣布：若二人均不坦白，则只能因藏有枪支而被判刑1年；若有一人坦白而另一个不坦白，则坦白者无罪释放，不坦白者呗判刑10年；若二人都坦白，则同判9年。此二人确系抢劫犯，请分析他们的抉择。若允许二人通话，那结果会怎样？

第五节动态规划——多阶段决策问题教学目标：1.类比于高中阶段线性规划的知识，学生理解并掌握动态规划的特点与求解思路，能够解决简单的多阶段决策问题。2.通过运输路线最短问题的探究，学生学会“逆向思维”解决问题的数学方法，将复杂问题简单化，进而找出问题的最优解。3.通过数学建模的知识解决生活中具体的实际问题，激发学生学习数学的兴趣，培养学生想象能力和创造性的思想。动态规划是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策问题的最优化方法。动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、排序、装载等问题中，使得求解更为方便。它不像线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理，需要丰富的想象力去建立模型，需要创造性的思想去求解。准确地说，动态规划不是万能的，它只适于解决一定条件的最优策略问题。或许，大家听到这个结论会很失望：其实，这个结论并没有削减动态规划的光辉，因为属于上面范围内的问题极多，还有许多看似不是这个范围中的问题都可以转化为这类问题。这里所说的满足一定条件，主要是指下面两点：(1)状态必须满足最优化原理；(2)状态必须满足无后效性。这条特征说明什么呢？它说明动态规划适于解决当前决策和过去状态无关的问题。状态，出现在策略的任何一个未知，它的地位都是相同的，都可以实施同样的决策。这就是无后效性的内涵。在整个物流成本中，运输成本所占的比例为33%-67%，所以我们必须关注如何降低运输成本问题，最大化地利用运输设备和人员，优化运输线路是降低运输成本的关键。运输路线决策就是找到运输网络中的最佳路线，以尽可能缩短运输时间或运输距离，达到降低运输成本、改良运输服务的目的。这类问题中，可以按照某种方式把整个过程分成若干个互相联系的阶段，在每个阶段都要求作出决策，从而使整个过程达到最佳效果。动态规划就是解决此类多阶段决策问题的最优方法。例题1下图1是一个路线网络图，连线上的数字表示两点之间的距离，要求寻找一条由到的路线，使距离最短，并求出最短长度图1解：对于这样一个简单而具体的问题，可直接使用枚举法列举所有从A到E的路线，共14条，然后根据每条路线的距离，确定出距离最短的路线。动态规划的思想是：如果由到的最短路线是：，那么在上图中从上的任何一点(如)到的所有路线中，最短路线必然是中的子路线(记作)。否则，若到的最短路是另一条路线，则把与连接起来，就会得到一条从到且不同于的更短的路线。根据最短路的这一特性，可以从最后一段开始，用逐步向前递推的方法，依次求出路线上各点到的最短路线，最后得到到的最短路。从最后一段开始，用由后往前逐步递推的方法，求出各点到点的最短路线，最后求得由点到点的最短路线。所以，动态规划的方向是从各点逐段向始点方向寻找最短路线的一种方法如下图所示。由到只有一条路线，故距离为8。由到也只有一条路线，故距离为8。考虑上一环节，出发点有，，。从出发，有两条路径可以选择，一是至，一是至。由于距离为14，距离为16，故从出发到达终点的最优路径是，且距离为14。从出发，有两条路径可以选择，一是至，一是至。由于距离为16，距离为12，故从出发到达终点的最优路径是且距离为12.从出发，有两条路径可以选择，一是至，一是至。由于距离为20，距离为24，故从出发到达终点的最优路径是，且距离为20。再考虑前一环节，出发点有，，。从出发，有两条路径可以选择，一是至，一是至。由于距离为28，距离为24，故从出发到达终点的最优路径是，且距离为24。从出发，有三条路径可以选择，一是至，一是至，一是至。由于距离为32，距离为22，距离为24，故从出发到达终点,的最优路径是，且距离为22。从出发，有两条路径可以选择，一是至，一是至。由于距离为18，距离为32，故从出发到达终点的最优路径是，且距离为18。再考虑最初的第一环节，出发点只有。从出发，有三条路径可以选择，一是至，一是至，一是至。由于距离为30,距离为32，距离为32.故从出发到达终点的最优路径是，并且最短距离为30.学生练习：1.下图2、图3是两个路线网络图，连线上的数字表示两点之间的距离，要求寻找一条由A到E的路线，使距离最短，并求出最短长度。图2图32.对下图4求从出发经过，，再回到最短路线和最短总路程。图4

第六节组合问题中的动态规划——背包问题教学目标：1.学生了解组合问题中的动态规划背包问题的数学模型描述，并学会应用递推法求解满足一定条件的一类不定方程的解。2.培养学生分类讨论、划归的数学思想，理解整数条件在不定方程求极值问题中的作用。3.激发学生学习数学的兴趣，锻炼学生严谨的思维方式。假设种不同类型的科学设备要求装入一个登上月球的宇宙飞船中，分别编号为。设一件第类型设备的科学价值为，重量为。若整个宇宙飞船载重量的限度是，那么装载设备科学价值最大化的模型是s.t.且为整数，，其中是所装载第种设备的数量。由于所求的变量都是整数，问题归结为整数规划问题，把宇宙飞船解释为登山旅行时，就成为背包问题。下面用递推法求解具体问题为例加以说明。例题2用递推法求解s.t.。，且为整数，解：考虑约束条件，，且为整数，由于的系数10比较大，接近11，所以从的选法开始考虑，它只能选0或1.当时，可以取0,1,2，在考虑当时，可以选0,1,2.，当时，可以选0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。依此类推，可得如下的可行分支图：当时，只可以取0，再考虑，只可以取0，再考虑，可以取0或1。分支图如下：因此当，时，。学生练习：1.背包问题的一个小规模的实例：物品重量价格1212美元2110美元3320美元4215美元称重量W=5，请你查找价值最大的子集。2.某条街上每一公里就有一汽车站，乘车费用如下表：公里数12345678910费用122131404958697990101而一辆汽车从不行驶超过10公里。某人想行驶n公里，假设他可以任意次换车，请你帮他找到一种乘车方案使费用最小(10公里的费用比1公里小的情况是允许的)。

第七节贷款问题教学目标：1.综合运用等差、等比数列的知识解决有关一些实际应用问题，体会函数的观点、化归的方法在解题过程中的重要作用。2.学生理解等额本金与等额本息两种还款方式的异同，学会建立递推关系的数学模型，进而利用数列的相关知识解决问题。3.体会用数学知识解决现实生活中的实际问题的巧妙，进而激发学习兴趣，增强学生的应用意识，培养学生分析问题和解决问题的能力。预备知识：等比数列求和公式某人想商业贷款买房，借200000，期限20年。如果按当时的年利率6.39%，20年后一次还清的话，银行将按月利率0.5325%的复利计算，则要还。太多了，怕还不起，所以决定每个月还一点钱。他有两种还贷款方式，一种是等额本息，一种是等额本金。说明：等额本息，是在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息，其中本金递增，利息递减，也就是说前期还本付息月供里面本金扣得较少，利息较多)，这样由于每月的还款额固定，可以有计划地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力。等额本金，是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息，所以初期由于本金较多，将支付较多的利息，从而使还款额在初期较多，而在随后的时间每月递减，这种方式的好处是，由于在初期偿还较大款项而减少利息的支出,比较适合还款能力较强的家庭。两种还款方式比较而言，同样的金额、同样的期限，选择等额本金可以少支付利息，因为它的月供里面扣除的本金部分比等额本息这种方式多一些，那么，每还过一次后，剩余的本金越少，利息就越少了。至于选择哪种方式，就要看个人的经济条件了，如果你预测办完按揭后还有其他方面需要用钱，那么你可以选择压力较小的等额本息，等你把大事都办妥了，攒些余钱到银行申请部分提前还贷或者提前结清贷款，你只用还上剩余的本金就可以了(有些银行会附加收一点违约金)。如果你是高收入家庭，月供只占你家庭收支的一小部分，没什么经济压力的话，可以选择等额本金。在Internet网络上有专门的网络计算器：分析：贷款金额200000，贷款年数20，年利率(%)6.39%=0.0639（月利率=6.39/12%=0.5325%）。如果是上述输入，按照等额本息计算，会见到如下结果：如果是上述输入，按照等额本金计算，会见到如下结果：问题：请用数学建模的方法来回答，这两种情况是怎么算出来的。第一种情况分析：假设月等额本息还款，20年还清。(提示：贷款模型是按月利率，按月计算的)，用符号表示，设一开始的贷款金额记为：，贷款年数记为，年利率记为，月利率记为假设每年等额还款数额均为元。问题中的变量为，，，。数学模型的建立：确定变量以及变量之间的关系，即数学模型的建立。这个月记为第个月，假设尚欠银行的款数记为，上个月记为第个月，结余欠款记为，加上利息记为，减去这个月的还款，还欠。所以，数学模型的语言表述为：这个月的欠款等于上个月的欠款加上利息，再减去这个月的等额还款，一开始的借(欠)款已知，20年必须还清，用数学符号表示，数学模型为：，表示20年(24个月)还清贷款。求解这个数学模型只需要用到等比级数部分和的求和公式。数学模型的求解过程如下：；容易观察出规律，并用数学归纳法证明，对于任何有由等比级数部分和的求和公式由于，即所以解释验证：利用数学软件，例如：matlab，mathematica等可以用不同的数据代入此公式得到的结果和“房贷计算器”的等额本息情况结果比较，它们是完全一致的，从而可以断定“房贷计算器”的等额本息情况用的就是这个数学模型。第二种情况分析：假设月等额本金还款，20年还清。用符号表示，设一开始的贷款金额记为：，贷款年数记为，年利率记为，月利率记为则每年等额还款本金数额均为元。问题中的变量为，，。数学模型的建立：则还款累计支付的利息为解释验证：利用数学软件，例如：matlab，mathematica等可以用不同的数据代入此公式得到的结果和“房贷计算器”的等额本金情况结果比较，它们是完全一致的，从而可以断定“房贷计算器”的等额本金情况用的就是这个数学模型。学生练习：1.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。(1)设年内(本年度为第一年)总投入万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式。(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？2.某地区2000年底有居民住房面积为，现在住房划分为三类：其中危旧房占，新型住房占，为加快住房建立，计划用10年的时间全部拆除危旧住房(每年拆除的数量相同)，自2001年起居民住房只建设新型住房。使得从2001年开始每年年底的新型住房面积都比上一年底增加20%，用表示第年底(2001年为第一年)该地区的居民住房总面积。(1)分别写出，，的表达式，并归纳出的计算公式，不必证明。(2)危旧住房全部拆除后，至少再过多少年才能使该地区居民住房总面积翻两番？(精确到年、、)3.某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计伺候每年报废上年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？4.某国采用养老储蓄金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储蓄金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加(),因此，历年所交纳的储备金数目，，…，是一个公差为的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为()，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，…，以表示到第年末所累积的储备金总额。(1)写出与()的递推关系式；(2)求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列。5.据报道，我国森林覆盖率逐年提高，现已达国土面积的14%，某林场去年底森林木材储存量为立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为立方米，为了实现经过20年木材储存量两番的目标，问每年砍伐的木材量的最大值是多少？6.某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年(今年为第一年)的利润为万元(为正整数)。(1)设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元(须扣除技术改造资金)，求、的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

第八节分形几何——柯克雪花面积问题教学目标：1.学生了解分形几何的产生背景以及实际意义，初步了解分形几何的研究范围及其发展方向。2.学生利用分形几何的“自相拟”性，利用数列的相关知识，讨论、探究柯克雪花的长度和面积最大值求解方法。3.培养学生发现美、欣赏美、感受美的思想情感，提高数学学习的趣味性。19世纪大数学家高斯说过：“数学是科学中的皇后”，它具有简洁美、抽象美、符号美、统一美、和谐美、对称美、形式美、奇异美、有限美、神秘美等特征。美是一个困难问题的简单解答，一个复杂问题的简单答案，美在种种图案、建筑物、衣服式样、家具及装饰等事物的对称性上；美在人们对和谐、有规律的事物的喜爱以及从事物中发现普遍性与统一性的秩序和规律中。上个世纪80年代，由于电子计算机特别是图像显示系统的发展，数学的逻辑形式、结构与证明所构成的美才通过在计算机屏幕上显示出结果使得数学家和门外汉都有目共睹。1967年，法国数学家蒙德尔布罗在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线有多长？统计自相似性和维数”的论文。在这篇论文中他指出：任何海岸线在一定意义下都是无限长的，它依赖于所选取的尺度。若用1公里的尺度测量海岸线，那么小于1公里的弯曲部分就会被忽略不计。若用1米的尺度测量海岸线，那么会得到较长的海岸线。因为它会捕捉到一些曲折的细节。若通过卫星观察来测量海岸线，则一定会得出较短的长度。反之，若通过蜗牛爬过的路程来测量海岸线，那么测得长度必然大得惊人。总之，尺度越小测得的海岸线长度就越大。当然在物理世界，这种越来越精细的测量过程必然会有终结。就人的限制而言，你可能会在使用1米间隔的量具后就停止测量，而物理学家可能认为这种测量过程必会在原子层上达到一个理论的极限。但若从数学家理想化的观点出发，这种越来越精细的测量过程应该会无限进行下去。这意味着测量结果将无限增大。也就是说，对于海岸线长度这一问题并没有确切的数学定义，而仅仅是一种选择，甚至于这种选择都不能看作是某个“真实”答案的近似值。1904年冯柯克考虑出一种几何图形，为蒙德尔布罗的不可捉摸的海岸线问题提供了理想的数学模型，我们把这个几何图形成为柯克岛，也有称柯克雪花，用来描述自然界中雪花形态的一种手段。这个问题的具体描述是：当一艘太空飞船飞往地球，第一次观测时发现一个正三角形岛屿(我们记其边为);第二次观测时，发现它并非正三角形，而是每边中央三分之一处向外有一正三角形半岛，形成正六边形，第三次观测时，发现原先每一小边的中央三分之一处又都有一向外突出的半岛(正三角形，如图1)，…，把这个过程无限继续下去，就得到著名的数学模型——柯克雪花。显然，这个图形的边长是无限的，面积是有限的。下面我们来研究柯克雪花的最大面积。图1问题：如图1，已知图形序列{|}，其中是一个正三角形(设其边长为)；是的每边中央的段向外作正三角形，形成正六角形；是的每边中央的段向外作正三角形……把这个过程无限继续下去，所形成的图形被数学家称为“柯克雪花”。求“柯克雪花”的最大面积是多少？解：设的边数为，面积为，则。由于每一边都突出一个三角形，使原来的每一边变成4条边，则，所以数列是一个首项为3，公比为4的等比数列，即。设的一条边的长为，则。因为，所以数列{}是一个首项为，公比为的等比数列，即。由于的面积等于的面积再加上向外突出的边长为的共个正三角形的面积，所以，即所以所以所以，“柯克雪花”的最大面积是。数学对象以形式上的对称、和谐、简洁，总给人的观感带来美丽、漂亮的感受。而数学上的许多的东西，只有认识到它的正确性，才能感觉到它的“美好”。分形几何学已在自然界与物理学中得到了广泛应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不断地作无规则的布朗运动，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞，每秒钟多达十亿亿次下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要是足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。数学之美妙，往往来自于“意料之外”但在“情理之中”的事物。分形在生活中的应用十分普遍。分形理论的根本出发点是局部与整体的相似性。应用于预测时，往往是由局部推及整体，探索事物的发展规律。因而分形理论在滑坡预测报中有着重要的应用。同时，分形理论还应用于医学。美国克拉克森大学的研究人员发现，与健康细胞相比，癌细胞在外观上具有更为显著的分形特征。以此为据，他使用新的图像检测方法，对来自12位患者的300个细胞样本进行检查的结果表明，其准确度接近100%。据此他断言，基于物理的方法，将达到甚至超过传统生化检测方法在单细胞水平上的检测能力。在服饰艺术、绘画作品、动漫设计等方面，分形几何也得到了广泛的应用。传统的图案设计受到人脑想象力的限制，而且后续的修改过程也比较繁琐，而利用分形的自相似性，再结合计算机，可以在短时间内构造出千变万化而又具有任意高分辨率的结构的分形图案。不止这样，分形还可以用来描述许多其他领域的事物，如股票市场的价位变化、湍流的波动起伏、地质活动、行星轨道、动物群体行为、社会经济学模型、甚至音乐也可以通过图形来表达。在当今的社会中，分形已经得到了广泛的应用，分形理论应用的前景是不容小视的，它具有强大的潜力，在不久的将来必定会开阔更广大的空间。美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。学生练习：1.谢尔宾斯基海绵的生成原理为：将一个立方体沿其各个面等分为27个小立方体，舍弃位于立方体面心的六个小立方体，以及位于体心的一个小立方体。对余下的20个立方体按相同的方法逐步递归…如下图2。试讨论极限情况下这个小立方体的体积和表面积大小。图22.按照分形的自相拟原理，设计一个严格自相拟分形集。

第九节图论的思想解决实际问题教学目标：1.学生学会将一类具体的实际问题抽象为图形语言，利用图论的思想解决现实中纷乱复杂的现实问题。2.通过漂亮的图形和巧妙的证明，千变万化的解题方法，增强数学学习的趣味性。3.培养学生转化的思想，激发学习兴趣，体验数学建模过程的快乐。图论是以图为研究对象的数学分支，图论中的图指的是一些点以及连接这些点的线的总体。通常用点代表事物，用连接两点的线代表事物间的关系。在自然界和人类社会的实际生活中，用图形来描述和表示某些事物之间的关系既方便又直观。图论的内容十分丰富，应用相当广泛。许多学科诸如信息论、控制论、网络理论、博弈论、计算机科学等，都以图作为工具来解决实际问题和理论问题。从七桥问题谈起：18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？图1瑞士数学家欧拉在1736年发表了一篇论文讨论这个问题，指出这个问题无解。上面的问题可以抽象成数学图形如下，将每一块陆地视为点，陆地之间架起的桥视为线，则实际问题的图像描述如下图2。而一次走遍七座桥，且每座桥只走一次的问题转化为图形的一笔划成问题。通过观察发现能一笔画出的图形,一定只有一个起点和一个终点(这里要求起点和终点重合),中间经过的每一点总是包含进去的一条线和出来的一条线,这样除起点和终点外,每一点都只能有偶数条线与之相连。图2上面的结论用定理描述为：欧拉定理:如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。显然上面的七桥问题中奇顶点的个数为4，由欧拉定理可知，它不能一笔画出，也就是不可能一次走遍七座桥，且每座桥只走一次。例题1：举行一个国际会议，有A，B，C，D，E，F，G7个人。已知下列事实：A会讲英语；B会讲英语和汉语；C会讲英语、意大利语和俄语；D会讲日语和汉语；E会讲德语和意大利语；F会讲法语、日语和俄语；G会讲法语和德语；试问这7个人应如何排座位，才能使每个人都能和他身边的人交谈？分析：我们还是用图来解决这个问题。依然是建立一个图的模型，确定结点和边。这里有“人和语言”，那么我们用点来代表人，于是点集合V={A，B，C，D，E，F，G}。对于任意的两点，若有共同语言，就在它们之间连一条无向边，如下图3：图3如何排座位使每个人都能和他身边的人交谈？问题转化为在图中找到一条“通过每个点一次且仅一次的回路”。而A—B—D—F—G—E—C—A即是图中的一条回路。照这个顺序排座位就可以解决问题了。例题2：设有个机场，每个机场起飞一架飞机，飞到离出发机场最近的另一个机场降落，且任何两机场之间距离不相等，试证明：任一机场降落的飞机不能超过5架。分析：显然，如果机场的个数不超过6个，其结论成立。如果机场的个数超过6个，我们可以将原题利用图形化的方法转化为数学模型：平面上不存在这样的点，它到六个点，，，，，的距离，，，，，满足：……图4事实上,如图4所示，如果设点在其多边形的内部，由于，，则为不等边三角形的最大边，所以。同理可得：，，，，。所以+++++。显然这是不可能的，故这样的点是不存在的。如果多边形边数大于6，我们同样可以证明。如果点在多边形的边上或外部，我们也同样可证明这样的点不存在。从而命题总是成立的，即任一机场降落的飞机不能超过5架。学生练习：1.判断下列图形哪些可以一笔画出?2.(1)格尼斯堡的居民能否通过建一座新桥来找到一条可以接受的路线？如果可以，该怎么作？(2)格尼斯堡的居民能否通过建两座新桥来找到一条可以接受的路线？如果可以，该怎么作？(3)格尼斯堡的居民能否通过拆除一座桥来找到一条可以接受的路线？如果可以，该怎么作？(4)格尼斯堡的居民能否通过拆除两座桥来找到一条可以接受的路线？如果可以，该怎么作？3.(哈密顿环球旅行问题)如下图5，十二面体的20个顶点代表世界20个城市，能否从某个城市出