2023-2024学年山东省临沂市高二上学期期末学科素养水平监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3山东省临沂市2023-2024学年高二上学期期末学科素养水平监测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，且，所以.故选：B2.已知三棱锥，点M，N分别为BC，PA的中点，且，用表示，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故选：D3.已知，若点A,B,C共线，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意可知，，即，解得：.故选：B4.已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由焦半径公式可得，解得，故抛物线，故，当时，，直线的斜率为，当时，，直线的斜率为，综上，直线的斜率为.故选：D5.中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（）A.52 B.54 C.58 D.60〖答案〗A〖解析〗将他们年龄从小到大依次排列为，所以，，解得.故选：A.6.已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切或相离〖答案〗D〖解析〗直线的斜率为，，直线经过点且与线段相交，直线的斜率的范围为,,，直线的方程为，即，由圆，可得圆心，，可知圆心在直线的右侧，且圆心的直线的方程的距离为，直线方程为，即，由圆，可得圆心，，圆心的直线的方程的距离为，故直线与圆相切或相离．故选：D．7.一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位:)是小球相对于平衡点的位移，(单位:)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故当时，此时瞬时速度最大，,所以时，此时瞬时速度首次达到最大，故选：C8.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A,B（不重合），且A,B在以点为圆心的圆上，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗联立，得；联立，得；不妨设，，则线段中点为，由题意可知，，整理为，所以双曲线为等轴双曲线，离心率.故选：B二、选择题:本共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗，所以A错误；，所以B正确；，所以C正确；，所以D错误.故选：BC10.设数列的前项和为的前项和为，满足，且且，则（）A.是等差数列 B.时，的最大值为26C.若，则数列是递增数列 D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由题意，解得，所以，，当时，，当时，有，故，故A正确；对于B，令，解得，故B正确；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，故D正确.故选：ABD.11.已知曲线的方程是.则（）A.若是双曲线，则或B.若，则表示焦点在轴上的椭圆C.若，则的离心率为D.若是离心率为的双曲线，则的焦点到其渐近线距离为1〖答案〗BCD〖解析〗A选项，若是双曲线，则，解得，A错误；B选项，若，，则，所以表示焦点在轴上的椭圆，B正确；C选项，若，则，则，的离心率为，C正确；D选项，若是离心率为的双曲线，，故，解得，的焦点坐标为，渐近线方程为，焦点到其渐近线距离为，D正确.故选：BCD12.如图,在棱长为2的正方体中，M,N分别为棱的中点，则（）A. B.点到平面的距离为C.平面与平面的夹角为 D.直线与平面所成的角为〖答案〗BC〖解析〗如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，由，可知与不平行，故A错误；设平面的法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离为，故B正确；设平面的法向量为，则，令，则，所以，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角为，故C正确；设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角为，故D错误.故选：BC三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与互相垂直，则____________.〖答案〗〖解析〗由题意得，解得.故〖答案〗为：14.已知空间向量，则在上的投影向量的坐标是____________.〖答案〗〖解析〗，，，故在上的投影向量的坐标.故〖答案〗为：15.已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为____________.〖答案〗〖解析〗由题意知椭圆的离心率为，故，，设，由题意知l的斜率存在，则，设线段AB的中点为，则直线l的斜率为，直线的斜率，由，两式相减得，即得，即，故，故〖答案〗为：16.已知数列中，，若函数导数为，则____________.〖答案〗64〖解析〗因为，所以，当时，，所以.因为也满足，所以.令，则，，所以.故〖答案〗为：64.四、解答题:本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数在处的切线方程为.（1）求的值;（2）若过点的直线与曲线相切，求的方程.解：（1）由题可得，由的斜率为1，得，即.（2）由(1)知，，设切点为，则，又直线过点，整理得，，直线的方程为，即.18.已知等比数列的各项均为正数，且.（1）求的通项公式;（2）设，求数列的前项和.解：（1）设数列的公比为.由,得,,解得,由,得,解得,的通项公式为.（2）,，①，②①-②得，，.19.已知以点为圆心的圆与圆相外切.（1）求圆的方程;（2）若直线与圆相交于，求的最小值及此时的方程.解：（1）由已知得圆的圆心坐标为,半径，圆的半径，圆的方程为；（2）由已知得直线过定点，，在圆内，由圆的几何性质可知，当时，弦最小，此时，又，，当最小时，，，直线的方程为，即.20.如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，是与的交点.（1）在线段上找一点，使得平面;（2）在（1）的条件下，求PQ与平面的距离.解：（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，即，令，得，是平面的一个法向量，设，则，若平面，则，从而，即，解得，，当为线段上靠近的三等分点时，平面;（2）由(1)知，，到平面的距离为.21.已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，.（1）求的通项公式;（2）求.解：（1）设等差数列的公差为，，，整理得，解得；（2）当n为偶数时，；当为奇数时，，，当时，上式也成立；.22.欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且.（1）求的方程;（2）设点，若斜率不为0的直线与交于点均异于点，且在以MN为直径的圆上，求到距离的最大值.解：（1）不妨设是的右焦点,则轴,又,,不妨设点,则,又,的方程为.（2）设,直线的方程为,由，整理得,则故,点在以MN为直径的圆上,，，,,即,整理得:,,或,当时,直线,过定点,易知点在椭圆内,当时,直线,过定点,此时定点为点，两点中的一个与点重合,所以舍去,直线方程:,且直线恒过定点点到的距离最大值为.山东省临沂市2023-2024学年高二上学期期末学科素养水平监测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，且，所以.故选：B2.已知三棱锥，点M，N分别为BC，PA的中点，且，用表示，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故选：D3.已知，若点A,B,C共线，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意可知，，即，解得：.故选：B4.已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由焦半径公式可得，解得，故抛物线，故，当时，，直线的斜率为，当时，，直线的斜率为，综上，直线的斜率为.故选：D5.中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（）A.52 B.54 C.58 D.60〖答案〗A〖解析〗将他们年龄从小到大依次排列为，所以，，解得.故选：A.6.已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切或相离〖答案〗D〖解析〗直线的斜率为，，直线经过点且与线段相交，直线的斜率的范围为,,，直线的方程为，即，由圆，可得圆心，，可知圆心在直线的右侧，且圆心的直线的方程的距离为，直线方程为，即，由圆，可得圆心，，圆心的直线的方程的距离为，故直线与圆相切或相离．故选：D．7.一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位:)是小球相对于平衡点的位移，(单位:)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故当时，此时瞬时速度最大，,所以时，此时瞬时速度首次达到最大，故选：C8.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A,B（不重合），且A,B在以点为圆心的圆上，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗联立，得；联立，得；不妨设，，则线段中点为，由题意可知，，整理为，所以双曲线为等轴双曲线，离心率.故选：B二、选择题:本共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗，所以A错误；，所以B正确；，所以C正确；，所以D错误.故选：BC10.设数列的前项和为的前项和为，满足，且且，则（）A.是等差数列 B.时，的最大值为26C.若，则数列是递增数列 D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由题意，解得，所以，，当时，，当时，有，故，故A正确；对于B，令，解得，故B正确；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，故D正确.故选：ABD.11.已知曲线的方程是.则（）A.若是双曲线，则或B.若，则表示焦点在轴上的椭圆C.若，则的离心率为D.若是离心率为的双曲线，则的焦点到其渐近线距离为1〖答案〗BCD〖解析〗A选项，若是双曲线，则，解得，A错误；B选项，若，，则，所以表示焦点在轴上的椭圆，B正确；C选项，若，则，则，的离心率为，C正确；D选项，若是离心率为的双曲线，，故，解得，的焦点坐标为，渐近线方程为，焦点到其渐近线距离为，D正确.故选：BCD12.如图,在棱长为2的正方体中，M,N分别为棱的中点，则（）A. B.点到平面的距离为C.平面与平面的夹角为 D.直线与平面所成的角为〖答案〗BC〖解析〗如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，由，可知与不平行，故A错误；设平面的法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离为，故B正确；设平面的法向量为，则，令，则，所以，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角为，故C正确；设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角为，故D错误.故选：BC三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与互相垂直，则____________.〖答案〗〖解析〗由题意得，解得.故〖答案〗为：14.已知空间向量，则在上的投影向量的坐标是____________.〖答案〗〖解析〗，，，故在上的投影向量的坐标.故〖答案〗为：15.已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为____________.〖答案〗〖解析〗由题意知椭圆的离心率为，故，，设，由题意知l的斜率存在，则，设线段AB的中点为，则直线l的斜率为，直线的斜率，由，两式相减得，即得，即，故，故〖答案〗为：16.已知数列中，，若函数导数为，则____________.〖答案〗64〖解析〗因为，所以，当时，，所以.因为也满足，所以.令，则，，所以.故〖答案〗为：64.四、解答题:本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数在处的切线方程为.（1）求的值;（2）若过点的直线与曲线相切，求的方程.解：（1）由题可得，由的斜率为1，得，即.（2）由(1)知，，设切点为，则，又直线过点，整理得，，直线的方程为，即.18.已知等比数列的各项均为正数，且.（1）求的通项公式;（2）设，求数列的前项和.解：（1）设数列的公比为.由,得,,解得,由,得,解得,的通项公式为.（2）,，①，②①-②得，，.19.已知以点为圆心的圆与圆相外切.（1）求圆的方程;（2）若直线与圆相交于，求的最小值及此时的方程.解：（1）由已知得圆的圆