1.1.1空间向量及其线性运算(第1课时)课件-2023-2024学年高二上学期人教版数学

第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算新知探究问题1平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？一、空间向量的有关概念平面向量的概念空间向量的概念

平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作

或|a|.

空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作

或|a|.新知探究问题2如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？平面向量的表示法空间向量的表示法

(1)有向线段

A(起点)B(终点)a(2)字母

a，b，c，…(3)坐标表示：a＝(x，y)(1)有向线段(2)字母a，b，c，…(3)坐标表示：a＝(x，y，z)新知探究二、空间向量的线性运算和运算律追问1空间向量的线性运算如何进行？ba.Oα空间向量的线性运算

转化平面向量的线性运算新知探究二、空间向量的线性运算和运算律平面向量的运算律空间向量的运算律

①交换律：②结合律：③分配律：①交换律：②结合律：③分配律：a+b＝b+a；a+(b+c)＝(a+b)

+c，λ(μa)＝(λμ)a；(λ+μ)a＝λa+

μa，λ(a+b)＝λa+

λb.a+b＝b+a；a+(b+c)＝(a+b)

+c，λ(μa)＝(λμ)a；(λ+μ)a＝λa+

μa，λ(a+b)＝λa+

λb.问题5空间向量线性运算律的证明和平面向量有哪些异同，如何证明空间向量的加法结合律？新知探究探究1：如图1.1-6,在平行六面体

中,分别标出

表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗?一般地,三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?平行六面体法则：共起点，连对角新知探究探究2：对任意两个空间向量

如果

有什么位置关系？反过来，

有什么位置关系时，平面向量共线的充要条件空间向量共线的充要条件

对任意两个平面向量

a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，

使a＝λb

.

追问(1)

你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？

对任意两个空间向量

a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，

使a＝λb

.新知探究如右图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确定的实数λ

，使得=λa.也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.新知探究追问(2)

任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？ab.Oαcp

任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面.

如何判断三个向量是否共面呢？

新知探究追问(3)

你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？ab.Oαpp＝xa+yb若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)

，使得：

p＝xa+yb.ab.Oαp若p在α内，则有p＝xa+yb；若p＝xa+yb，则p在α内.p新知探究平面向量基本定理空间向量共面的充要条件

若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)

，使得：p＝xa+yb.ab.Oαp两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使得：p＝xa+yb.ABC新知探究三、共面向量定理及其推论①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使②P、A、B、C四点共面的充要条件是对空间任意一点O，ACBP典例剖析例1

如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使求证：E，F，G，H四点共面.典例剖析证明:·追问：最终的结果你还有没有其他的表示方法？你能得到什么结论？一、知识回顾重温基础问题1：什么叫共线向量？提示：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量，也叫平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.二、探究本质得出新知探究一：空间向量的共线的充要条件.二、探究本质得出新知问题6：阅读课本第4页中间部分，回答下面问题：方向向量二、探究本质得出新知提示：反映直线的倾斜方向.二、探究本质得出新知二、探究本质得出新知二、探究本质得出新知探究二：共面向量及共面向量定理阅读课本第4页中下方部分，回答下面三个概念：向量a平行与直线l如何描述？向量a平行与平面α如何描述？什么是共面向量？二、探究本质得出新知问题10：空间任意两个向量是否共面？三个向量呢？提示：共面，不一定.问题11：什么是平面向量基本定理？二、探究本质得出新知问题12：若向量a,b是空间两个不共线的向量，如果p=xa+yb，则向量p与向量a,b有什么位置关系？反之，当向量p与向量a,b有什么位置关系时，p=xa+yb？二、探究本质得出新知问题13：若去掉不共线这个条件，上述问题是否成立？二、探究本质得出新知问题14：结合前面三点共线的充要条件，探究空间四点共面的充要条件？二、探究本质得出新知三、举例应用掌握定义三、举例应用掌握定义三、举例应用掌握定义四、学生练习加深理解－33a＋3b－5c四、学生练习加深理解五、归纳小结提高认识1.两个概念：共线向量、共面向量2.两个定理：向量共线、共面的充要条件4.两种方法：类比、转化3.两个推论：三点共线、四点共面的充要条件新知探究

空间向量夹角定义新知探究

新知探究

不能.向量没有除法

例题讲解

答案：×，×，×，×，×.例题讲解

例题讲解

为什么？小结运算律空间向量的数量积运算夹角数量积常见题型

垂直模长夹角

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的夹角和数量积，都可以像平面向量来定义.

空间向量的夹角1定义

已知两个非零向量a、b,在空间任取一点O，作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作<a,b>.

空间向量夹角的范围：[0,].π

如果<a,b>=，那么向量a、b互相垂直，记作a⟂b.说明练一练

如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.则（1）与的夹角大小为

;（2）与的夹角大小为

;（3）与的夹角大小为

.90°135°60°

空间任意两个非零向量a和b，则|a||b|cos

叫做a与b的数量积，记作a•b，即

a•b=|a||b|cos

空间向量的数量积2

特别地，零向量与任意向量的数量积为0.

a⊥b

a•b=0

a•a=|a||a|cos0=|a|2练一练

如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，则

(1)=

；(2)

=

.••01

空间向量的投影向量3abc

将空间向量a平移到与向量b共起点后，可作出a在b上的投影，进而得到投影向量c(如图1）.显然c=|a|cos<a,b>;

同理可以作出a在直线l上的投影向量(如图2）

alcacABB'A'

分别过空间向量a的起点A和终点B向平面α作垂线，垂足分别为A'、B',得到a在平面α上的投影向量c(如图3）.

图1图2图3练一练

如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，则

(1)在直线AB上的投影向量为

；(2)在平面BCC’B’上的投影向量为

.(3)在上投影向量的长度为

.

空间向量数量积的运算律4

空间向量的数量积满足如下的运算律：

(λa)•b=λ(a•b),λ∈R；

a•b=b•a(交换律)；

a•(b+c)=a•b+a•c(分配律).

对于空间向量a，b，c，判断下列命题是否正确：

（1）若a≠0，则对于任意非零向量b，有a•b≠0;（2）若a≠0，且a•b=a•c，则b=c;（3）对于任意空间向量a，b，c，都有(a•b)•c=a•(b•c).练一练(1)错误！当a⊥b时也有a•b=0成立；(2)错误！只要a⊥(b-c)，就有a•b=a•c成立；(3)错误！(a•b)•c=λc

，a•(b•c)=μa(λ,

μ∈R)知识篇素养篇思维篇1.1.2空间向量的数量积

问题分析方法总结核心素养之

逻辑推理

+数学运算

因为p⊥q，所以p•q=0，即(3a-b)(λa+17b)=3λa2-17b2+(51-λ)ab=12λ-425-5(51-λ)=17λ-680=0得λ=40

将两个向量垂直这一条件转化为它们的数量积为0，也就把求值问题转化为解方程问题.1.2.正三棱台ABC-A'B'C'中，AB=4,A'B'=AA'=BB'=2,求.

问题方法核心素养之

逻辑推理

+数据分析

几何体中向量的有关运算，往往先选择一组基底将目标向量表示出来，再根据基向量的条件和运算法则求解.分析第一步，用不共面的一组向量表示：，；第二步，由已知条件知：两两夹角均为60°.从而可得

==-23.

问题分析方法核心素养之

数学建模

+逻辑推理要证l⊥α，即证l垂直于内的任意一条直线.设g为内任意一条直线，分别在l、m、n、g上任取一非零向量l、m、n、g；存在唯一实数对(x,y)使g=xm+yn,则l•g=xl•m+yl•n=0,所以l⊥α选择基底并构建数量积模型是解决问题的关键.先将几何关系先转化为向量运算结果，再回到几何中去.B知识篇素养篇思维篇1.1.2空间向量的数量积

1.正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，M、N分别是对角线

DA'、AC上的动点.(1)试用线性表示;(2)求MN长度的最小值.

数学思想之

函数思想

+主元思想问题解答(1)====(2)==

(0≤λ,μ≤1)1.正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，M、N分别是对角线

DA'、AC上的动点.(1)试用线性表示;(2)求MN长度的最小值.

数学思想之

函数思想

+主元思想问题方法总结（1）要用一组基向量表示目标向量，先将目标向量表示成首尾相连的若干向量的和，再用基向量一一表示相关向量，最后合并同类项即可.

（2）含有两个变量的二次多项式求最值，可选一变量作为主元配方，再将含另一变量的二次式配方，根据完全平方式的非负性可得最值.

2.已知P是边长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'内部(含表面)

的动点，满足条件：，求点P轨迹的长度.数学思想之

转