8.6.2.1直线与平面垂直的判定课件-2023-2024学年高一下学期数学人教版

8.6.2.1直线与平面垂直的判定一、直线和平面垂直的定义：

A平面的垂线直线的垂面垂足如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.记作．

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．作用：判定直线与平面垂直．二、直线与平面垂直判定定理：线不在多，相交就灵记忆：线线垂直，则线面垂直(1)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面.()(2)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.()(3)若一条直线与一个梯形的两腰垂直,则这条直线垂直于梯形所在的平面.()判断下列命题是否正确？想一想2.已知下列命题：①如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；④如果直线l⊥α

，则直线l与平面α

内的任意一条直线都垂直.其中正确命题的序号是④例1如图，已知OA、OB、OC两两垂直（1）求证：OA⊥平面OBC（2）求证：OA⊥BCBCOA例2:如图A为△BCD所在平面外一点，AC=AD，BC=BD，E为CD中点。求证:CD⊥面ABEABCDE练习.在三棱锥V-ABC中，VA=VC，BA=BC，求证：VB⊥AC.VABCO证明：取AC中点O，连接VO和BO∵VA=VC，BA=BC∴VO⊥AC,BO⊥AC,即AC⊥OV,AC⊥OB又OV⊂平面VOB,OB⊂平面VOB且0V∩OB=O∴AC⊥平面VOB又VB⊂平面VOB∴AC⊥VB，即VB⊥AC(2)试判断直线BD与直线A´C是否垂直？例3.如图，在直四棱柱ABCD—A´B´C´D´中，已知底面ABCD为正方形，(1)试判断直线BD与平面A´AC是否垂直？ABCDPABCD1、线面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。

小结2、线面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线就垂直于这个平面。线面垂直的定义

线面垂直的判定定理线线垂直线面垂直关键：线不在多相交则行线面垂直的定义PCBA∵AB是圆的直径∴AC⊥BC，∴PA⊥BC，又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC证明:又PA⊥圆面，BC

圆面，

PABCNM如图,点Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是点P到平面的垂线段pQ

过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；

这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。一、新课教学1.斜线在平面内的射影１）.垂线、斜线、射影(１)垂线点P在平面内的射影,线段PQ（2）斜线

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线．

斜线和平面的交点叫做斜足。

从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段PR说明：①平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条思考：平面外一点到一个平面的垂线段有几条？斜线段有几条？PRQST如图：＿＿＿＿是斜线AC在内的射影，线段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．

垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．(３)射影直线BC斜线段AC在内的射影ACBFE说明：②斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。2.直线和平面所成的角１）.定义ABOD1ABA1CB1C1DOA1B1C1D1ABCDO解：作B1E⊥A1B，垂足为E，易证B1E⊥平面A1BCD1所以∠B1D1E就是D1B1与面A1BCD1所成的角．

例4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求BD与平面ADMN所成的角．文字语言垂直于同一个平面的两条直线

.符号语言图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线1.直线与平面垂直的性质定理平行a∥b思考1:已知直线a,b和平面α,若a∥α,b∥α,则a,b的位置关系是

;若a∥α,b⊥α,则a,b的位置关系是

;若a⊥α,b⊥α,则a,b的位置关系是

.平行、相交或异面垂直平行2.线面距、面面距(1)直线到平面的距离.一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.图形语言:如图,A∈l,O∈α,AO⊥α,线段AO的长度就是直线l到平面α的距离.(2)平面到平面的距离.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.图形语言:A∈β,O∈α,AO⊥α,如图,线段AO的长度就是平面β到平面α的距离.思考2:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,a是上底面A1B1C1D1中的任一条直线,P是上底面A1B1C1D1中任一点,则点P到平面ABCD的距离,直线a到平面ABCD的距离,底面A1B1C1D1到平面ABCD的距离是否相等?答案:相等.由此可知,当求点(或直线)到平面的距离,不易直接得到垂线段时,可以先作出过点(或直线)与平面平行的平面,然后所求距离转化为另一个更合适的点到平面的距离.2课堂探究素养培育题型一直线与平面垂直的性质定理[例1]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.证明:(1)如图,连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形,所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1=C1,CC1,A1C1⊂平面A1C1C,所以B1D1⊥平面A1C1C.而A1C⊂平面A1C1C,所以A1C⊥B1D1.(1)求证:A1C⊥B1D1;(2)点M,N分别在B1D1与C1D上,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求证:MN∥A1C.(1)当题中垂直条件很多,但又要证两直线平行关系时,就要考虑直线与平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.(2)要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论.因此,在解题时,要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用.[变式与拓展1-1]如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB.求证:a∥l.证明:因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a.又因为a⊥AB,AB∩EB=B,AB,EB⊂平面ABE,所以a⊥平面ABE.因为α∩β=l,所以l⊂α,l⊂β.因为EA⊥α,EB⊥β,所以EA⊥l,EB⊥l.又因为EA∩EB=E,EA,EB⊂平面ABE,所以l⊥平面ABE.所以a∥l.题型二空间中的距离问题[例2]如图所示,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,点O是四边形A′B′C′D′的中心,则O到平面ABC′D′的距离是(

)√(1)求点到平面的距离时,一般作出距离,然后在三角形中计算距离.作距离的常见方法有:一直接作垂线段,二连接相关两点得线段,证明该线段是平面的垂线段.(2)当直接作点到平面的距离有困难时,可以利用平行直线上任一点到平面的距离相等,转化为另一点到平面的距离,也可以转化为两个平行平面间的距离.[变式与拓展2-1]已知平面α∥β,点A,C∈α,点B,D∈β,如果AB+CD=28,且AB,CD在β内的射影长分别为5和9,则平面α与β间的距离为

.12[例3]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AA1的中点,AC⊥BC,AC=BC,AB=AA1=4.(1)证明:AC1⊥平面BCD;(2)求点D到平面ABC1的距离.如果三棱锥中某顶点到对面的距离不易直接求出,往往把它转化为求另一个顶点到其对面的距离,通过体积相等求之,这种求点面距离的方法,通常称为“等体积转换”.[变式与拓展3-1]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为2,E,F分别是AB,CC1的中点,则点A到平面A1EF的距离为

.

1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是(

)A.相交 B.平行C.异面 D.不确定√解析:因为AB⊂α,AC⊂α,l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以l⊥α.又因为BC⊂α,AC⊂α,m⊥BC,m⊥AC,BC∩AC=C,所以m⊥α.所以l∥m.故选B.√3.若a,b是空间中两条不同的直线,则a∥b的充分条件是(

)A.直线a,b都垂直于直线lB.直线a,b都垂直于平面αC.直线a,b都与直线l成30°角D.直线a,b都与平面α成60°角解析:选项A,a,b都与l垂直,它们还可能相交或异面,A错误;选项B,a,b都垂直于平面α,则a∥b,B正确;选项C,a,b都与l成30°角,可能a,b相交,C错误;选项D,a,b都与平面α成60°角,可能a,b异面,D错误.故选B.√4.直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内,使a∥b的条件是

.(填序号)

①a和b垂直于正方体的同一个面;②a和b在正方体相对的两个面内,且共面;③a和b平行于同一条棱