广东省汕尾市红城中学高三数学理联考试卷含解析

广东省汕尾市红城中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（

）（A）4

（B）8

（C）10

（D）12参考答案：B略2.函数的单调递减区间是（

）A．（，+∞）

B．（－∞，）C．（0，）

D．（e，+∞）参考答案：C略3.已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．?a＞0，?x＞0，f（x）≥0 B．?a＞0，?x＞0，f（x）≤0C．?a＞0，?x＞0，f（x）≥0 D．?a＞0，?x＞0，f（x）≤0参考答案：C【考点】全称命题．【专题】导数的综合应用；简易逻辑．【分析】先利用导数求出函数f（x）的最小值，再转化为函数f（x）≥0恒成立，构造函数设g（a）=e2a﹣1+a，再利用导数求出a的值，问题的得以解决【解答】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0，∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x=，函数有最小值，最小值为f（）=e2a﹣1+a∴f（x）≥f（）=e2a﹣1+a，若f（x）≥0恒成立，只要e2a﹣1+a≥0，设g（a）=e2a﹣1+a，∴g′（a）=1﹣e2a﹣1，令g′（a）=0，解得a=当a∈（，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，当x∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增∴g（a）＜g（）=0，∴e2a﹣1+a≤0，当且仅当a=时取等号，存在唯一的实数a=，使得对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，当a≠时，f（x）＜0，故C错误故选：C【点评】本题考查了利用导数函数恒成立的问题，关键构造函数g（a），属于中档题4.如图，AB是平面的斜线段，A为斜足。若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（

）A．圆

B．椭圆

C．一条直线

D．两条平行直线参考答案：B略5.已知，，，则下列不等关系正确的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D，，故，选D.

6.已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（A） （B）（C） （D）参考答案：A分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.

7.设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x|x2＞4}，则A∩B=（）A．（﹣2，0） B．（﹣2，3） C．（0，2） D．（2，3）参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，B={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故选：D．8.已知函数，，当时，取得最小值，则函数的图象为（

）参考答案：9.在约束条件下，目标函数的最

大值为

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：C略10.下列命题错误的是(

) A.命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为则”；B.若命题，则；C.中，是的充要条件；D.若向量满足，则与的夹角为钝角.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

A：（极坐标参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知曲线、的极坐标方程分别为，曲线的参数方程为（为参数，且），则曲线、、所围成的封闭图形的面积是

.参考答案：12.某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为

分．参考答案：1513.已知，则

．参考答案：因为，所以，所以，所以＝＝14.设向量，，则向量在向量方向上的投影为

．参考答案：

【知识点】平面向量数量积的含义与物理意义．F2解析：向量在向量方向上的投影为．故答案为。【思路点拨】根据投影的定义，应用公式在方向上的投影为||cos＜，＞=求解．15.若f（x）=1+lgx，g（x）=x2，那么使2f[g（x）]=g[f（x）]的x的值是

．参考答案：【考点】函数的零点；函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的解析式，列出方程，求解即可．【解答】解：∵2f[g（x）]=g[f（x）]，∴2（1+lgx2）=（1+lgx）2，∴（lgx）2﹣2lgx﹣1=0，∴lgx=1±，x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，对数运算法则的应用，考查计算能力．16.的重心，则”,设分别为的内角的对边，点M为的重心.如果,则内角的大小为

参考答案：17.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球O的表面上，且三棱柱的体积为，则球O的表面积为．参考答案：7π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，设出三棱柱的底面边长，由棱柱的体积公式得到三棱柱的底面边长，可得球的半径，由球的表面积求出球的表面积．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，设三棱柱的底面边长为a，则∵三棱柱的体积为，∴=，∴a=．设球的半径为r，上底面所在圆的半径为a=1，且球心O到上底面中心H的距离OH==，∴r==，∴球O的表面积为4πr2=7π故答案为：7π三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知的角所对的边分别是，设向量，，.（1）若//，求证：为等腰三角形；(2)若⊥，边长，，求的面积.参考答案：解:（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径，…………5分为等腰三角形

……………6分（2）由题意可知，……8分由余弦定理可知，

…………10分………12分

略19.（12分）已知{an}是等差数列，满足a1=1，a4=﹣5，数列{bn}满足b1=1，b4=21，且{an+bn}为等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）设出数列的公差与公比，利用已知条件列出方程，求解数列{an}的通项公式然后求解{bn}的通项公式．（2）利用数列的通项公式，拆项，通过等差数列和等比数列分别求和即可．【解答】解：（1）设{an}的公差为d，{an+bn}的公比为q，∴，∴an=a1+（n﹣1）d，=1+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+3．∵a1+b1=2，a4+b4=16，∴，∴q=2，∴，∴．（2）Sn=b1+b2+b3+…+bn=（21﹣1）+（22+1）+（23+3）+…+（2n+2n﹣3）=（21+22+23+…+2n）+（﹣1+1+3+…+2n﹣3）==2n+1+n2﹣2n﹣2【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和，考查计算能力．20.

（14分）已知某椭圆的焦点是，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且。椭圆上不同的两点满足条件：成等差数列。（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围。参考答案：解析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力。（1）解：由椭圆定义及条件知，得，又所以，故椭圆方程为（4分）（2）解：由点B（4，）在椭圆上，得因为椭圆右准线方程为，离心率为根据椭圆定义，有由成等差数列，得由此得出，设弦AC的中点为P（）则

（9分）（3）解：由在椭圆上，得

①

②①－②得即将代入上式，得由上式得（当时也成立）（11分）由点P（4，）在弦AC的垂直平分线上，得所以由P（4，）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得，所以（14分）21.（本小题满分12分）等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

（2）当b=2时，记，求数列的前项和.参考答案：∵对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上∴得,当时,,当时,,又∵{}为等比数列,

∴,

公比为,

∴（2）当b=2时，,则