专题26 含绝对值的一元一次方程（解析版）

专题26含绝对值的一元一次方程1．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了，比如求解：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得．所以原方程的解是或．请你依据上面的方法求解方程：，则得到的解为或．【解答】解：，或，解得或，故答案为：或．2．我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程．解：当时，，方程化为，解得（符合题意）；当时，，方程化为，解得（符合题意）．方程的解为或．（1）方程的解为；（2）方程的解为．【解答】解：（1）当时，即时，方程化为，解得，因为，所以不合题意；当时，即时，方程化为，解得，因为，所以符合题意；所以方程的解为．（2）当时，原方程化为：，解得，因为，所以不符合题意；当时，原方程化为：，解得，因为，所以符合题意；当时，原方程化为：，解得，因为，所以不符合题意；故方程的解为．3．某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法．例如解绝对值方程：．解：分类讨论：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化为，它的标是．原方程的解为或．（1）依例题的解法，方程的解是或．（2）在尝试解绝对值方程时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程；（3）在尝试解绝对值方程时，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，表示数，在数轴上对应的两点、之间的距离，则表示数与3在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是；（4）在理解上述解法的基础上，自选方法解关于的方程；（如果用数形结合的思想，简要画出数轴，并加以必要说明）．【解答】解：（1）当时，原方程可化为，它的解是，当时，原方程可化为，它的解是，原方程的解为或，故答案为：或；（2）当时，原方程可化为，它的解是，当时，原方程可化为，它的解是，原方程的解为或，故答案为：或；（3）数轴上与3的点距离是5的点分别是8或，方程的解是或，故答案为：或；（4）当时，，解得；当时，，可得；当时，，解得；当时，方程有无数解；当时，方程无解；当时，或．4．【我阅读】解方程：．解：当时，原方程可化为：，解得；当时，原方程可化为：，解得．所以原方程的解是或．【我会解】解方程：．【解答】解：当时，原方程可化为：，解得；当时，原方程可化为：，解得．所以原方程的解是或．5．现场学习定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，，都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由，可得或．例解方程：．我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得或．解这两个一元一次方程，得或；经检验可知，原方程的解是或．解决问题解方程：．解：根据绝对值的意义，得或，解这两个一元一次方程，得或，经检验可知，原方程的解是．学以致用解方程：．【解答】解：解决问题，根据绝对值的意义，得或，或，解这两个一元一次方程，得或，经检验可知，原方程的解是；故答案为：，，，，；学以致用，根据绝对值的意义，得或，解这两个一元一次方程，得或，经检验可知，原方程的解是或．6．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程．解：当时，方程可化为：，符合题意．当时，方程可化为：，符合题意．所以原方程的解为：或．仿照上面解法，解方程：．【解答】解：当时，，解得；当时，，解得；原方程的解为：或．7．阅读下题和解题过程：化简，使结果不含绝对值．解：①当时，即时，原式；②当，即时，原式这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解下列方程：（1）；（2）．【解答】解：（1）①当时，即，，解得：；②当，即，，解得：；方程的解为或；（2）①当时，即，，解得：；②当，即，，解得：；方程的解为或．8．阅读下列问题：例．解方程．解：当，即时，，；当，即时，，．方程的解为或．请你参照例题的解法，求方程的解．【解答】解：当时，即，，；当时，即，，；方程的解为或．9．阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点表示的数为，表示的数为，则、两点的距离可用式子表示．例如：5和的距离可用或来表示．【知识应用】我们解方程时，可用把看作一个点到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点表示的数为与5的距离为2，所以该方程的解为或．所以，方程的解为或．（直接写答案，不需过程）【知识拓展】我们在解方程时，可以设表示数5，表示数，表示数，该方程可以看作在数轴上找一点使得，因为，所以由图可知，在线段上都可，所以该方程有无数解，的取值范围是．类似的，方程的解（填“唯一”或“不唯一”，的取值是．“唯一”填的值，“不唯一”填的取值范围）；【拓展应用】解方程．【解答】解：【知识应用】，可以看成是数轴上点所表示的数与的距离，或，解得：或，故答案为：或；【知识拓展】设表示数，表示数6，表示数，方程可以看作在数轴上找一点使得，点必在线段上，该方程的解不唯一，的取值范围是，故答案为：不唯一，，【拓展应用】，设表示数，表示数6，表示数，①当点位于线段上时，（不合题意，舍去），②当点位于点左侧时，，解得：，③当点位于点右侧时，，解得：，综上，或．10．先阅读下列解题过程，然后回答问题．解方程：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得．原方程的解是或．根据上面的解题过程，解方程：．【解答】解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得．所以原方程的解是或．11．阅读下面的解题过程：解方程：．解：（1）当时，原方程可化为一元一次方程，解得；（2）当时，原方程可化为一元一次方程，解得．请同学们仿照上面例题的解法，解方程．【解答】解：（1）当时，原方程可化为一元一次方程，解得；（2）当时，原方程可化为一元一次方程，解得．12．（1）阅读下列材料并填空．例：解方程解：①当时，，，所以，所以原方程可化为（1）解得②当时，，，所以，所以原方程可化为所以此时原方程无解③当时，，，所以，所以原方程可化为解得（2）用上面的解题方法解方程：．【解答】解：（1）①当时，，，所以，所以原方程可化为：解得：②当时，，，所以，所以原方程可化为所以此时原方程无解③当时，，，所以，所以原方程可化为解得故答案为：，，，，，0（2）令，时，或．当时，，，，，（不符合题意，所以无解）当时，，，（不符合题意，所以无解）当时，，，．综上所述，的解为：．13．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：解：①当时，原方程可化为一元一次方程为，它的解是②当时，原方程可化为一元一次方程为，它的解是．（1）请你模仿上面例题的解法，解方程：（2）探究：当为何值时，方程①无解；②只有一个解；③有两个解．【解答】（1）解：当时，原方程可化为一元一次方程为，方程的解是；②当时，原方程可化为一元一次方程为，方程的解是；所以方程的解是或；（2）解：，当，即时，方程无解；当，即时，方程只有一个解；当，即时，方程有两个解．14．先阅读，后解题：符号表示的绝对值为2，表示的绝对值为2，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或，利用上面的知识，解方程：．【解答】解：移项得，，根据绝对值的意义，得或，解得或．15．定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．如，，，，都是含有绝对值的方程．含有绝对值的方程的解题思路是将含有绝对值的方程转化为不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由，可得或．例解方程：．解析：我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得或．解这两个一元一次方程，得或．检验：（1）当时，原方程的左边，右边，因为左边右边，所以是原方程的解．（2）当时，原方程的左边．右边，因为左边右边，所以是原方程的解．综合（1）（2）可知，原方程的解是或．【解决问题】解方程：．【解答】解：，，或，解得或，检验：当时，原方程的左边，右边右边，因为左边右边，所以不是原方程的解，（2）当时，原方程的左边．右边，因为左边右边，所以是原方程的解，原方程的解是．16．阅读所给材料，解决问题：分类讨论思想是求解带绝对值的方程的常用方法，例如，解方程时，我们需要讨论的正负性，当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，即，解得，所以原绝对值方程的解为，或．（1）求解方程；（2）若关于的方程只有1个解，求方程的解及的值．【解答】解：（1），当时原方程可化为；解得，当时，原方程可化为程；解得，原方程的解为或；（2），当时，原方程可化为，解得，当时，原方程可化为，解得，方程只有一个解，当时，，则，此时方程无解；当时，，则，此时方程有一个解，，方程的解为．17．阅读理解：在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论：当时，原方程可化为，解得：，符合．当时，原方程可化为，解得：，符合．原方程的解为：或．解题回顾：本题中，2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．尝试应用：（1）仿照