二次函数综合题中考真题（解析版）

二次函数综合题中考真题1．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案】（1）（0＜x＜40）；（2）当x=20时，y有最大值，最大值是300平方米．【详解】试题分析：（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．试题解析：（1）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE，设BE=a，则AE=2a，∴8a+2x=80，∴a=-x+10，3a=-x+30，∴y=（-x+30）x=-x2+30x，∵a=-x+10＞0，∴x＜40，则y=-x2+30x（0＜x＜40）；（2）∵y=-x2+30x=-（x-20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为-＜0，∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．考点：二次函数的应用．2．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x/(元/千克)506070销售量y/千克1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）y＝－2x＋200（2）W＝－2x2＋280x－8000；（3）当时，W随x的增大而增大，当时，W随x的增大而减小，售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元．【分析】（1）用待定系数法求一次函数的表达式；（2）利用利润的定义，求W与x之间的函数表达式；（3）利用二次函数的性质求极值．【详解】解：（1）设，由题意，得，解得，∴所求函数表达式为．（2）．（3），其中，∵，∴当时，W随x的增大而增大，当时，W随x的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元．3．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？【答案】（1）W1=-2x²+60x+8000，W2=-19x+950；（2）当x=10时，W总最大为9160元．【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，②花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W1，W2与x的关系式；（2）由W总=W1+W2可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得．【详解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由题意得W1=(50+x)(160-2x)=-2x²+60x+8000，W2=19(50-x)=-19x+950；（2）W总=W1+W2=-2x²+60x+8000+（-19x+950）=-2x²+41x+8950，∵-2＜0，=10.25，故当x=10时，W总最大，W总最大=-2×10²+41×10+8950=9160．【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准数量关系列出函数解析式是解题的关键．4．一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）,W取得最小值7.【分析】（1）把（1,2）分别代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为（0,4），可得c=4，然后计算得到a的值；（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可.【详解】解：（1）由题意得，k+4=2，解得k=-2，∴一次函数解析式为：y=-2x+4又二次函数顶点横坐标为0，∴顶点坐标为（0,4）∴c=4把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，∴W=OA2+BC2=∴当m=1时，W取得最小值7【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，将二次函数图像与直线的交点问题转化为求一元二次方程的解，得到B，C坐标是解题的关键.5．在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．判断点是否在直线上．并说明理由；求的值；平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）【分析】（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．【详解】（1）点在直线上，理由如下：将A（1，2）代入得，解得m=1，∴直线解析式为，将B（2，3）代入，式子成立，∴点在直线上；（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A，C两点，将A，C两点坐标代入得，解得：a=-1，b=2；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，∵顶点在直线上，∴k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，∵-h2+h+1=-（h-）2+，∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．6．已知抛物线的对称轴为直线．（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．【答案】（1）；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：（2）抛物线对称轴为直线，且当时，y