专题09 二次函数的应用（解决实际问题）（练）-备战2019年中考数学二轮复习讲练测（解析版）

备战2019中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题09二次函数的应用（解决实际问题）（练案）一练基础——基础掌握1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A．60m2B．63m2C．64m2D．66m2【答案】C．考点：1．二次函数的应用；2．应用题；3．二次函数的最值；4．二次函数的最值．2.厂为扬州三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A． B． C． D．【答案】B．考点：二次函数的应用．3．如图，正三角形ABC的边长为3+3，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为A．32B．32C．3【答案】D【解析】【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝60°，AB＝3＋3，利用含30°的直角三角形三边的关系得BD＝33DN＝33m，CF＝33PF＝33n，则33m＋m＋n＋33n＝3＋3，所以n＝3－m，S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－32）2＋【详解】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，AB＝3＋3，在Rt△ADN中，BD＝33DN＝33m，在Rt△BPF中，CF＝33PF＝33n，∵AD＋DE＋EF＋BF＝AB，∴33m＋m＋n＋33n＝3＋3，∴m＋n＝3，∴n＝3－m，∴S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－32）2＋92，当点在Rt△ADN中，BD＝33DN，CM＝233DN，∴DN＋233DN＝3＋3，解得DN＝33－3，在Rt△CPF中，CF＝33PF，∴33（33－3）＋33－3＋EF＋33PF＝3＋3，解得PF＝63－9，∴63－9≤m≤33－3，∴当m＝324．把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－12

gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是A．1.05米B．－1.05米C．0.95米D．－0.95米【答案】C【解析】【分析】把t=2.1代入h＝v0t－12gt2，求出h的值，然后加2即可【详解】把t=2.1代入h＝v0t－12gt2h＝10×2.1－12×10×2.12=-1.05-1.05+2=0.95（米）.故选C.5．点C为线段AB上的一个动点，AB=1，分别以AC和CB为一边作等边三角形，用S表示这两个等边三角形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当C为AB的三等分点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大C．当C为AB的三等分点时，S最大D．当C是AB的中点时，S最小【答案】D【解析】【分析】根据四个选择项，可知要判断的问题是C在AB的什么位置时，S有最大或最小值．由于点C是线段AB上的一个动点，可设AC=x，然后用含x的代数式表示S，得到S与x的函数关系式，最后根据函数的性质进行判断．【详解】设AC=x，则CB=1-x，S=34x2+34（1-x）即S=32x2-32x+34=32（x-12∵a=32>0∴当x=12时，S此时，C是AB的中点，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据题意建立二次函数的关系式，然后根据二次根式的性质进行解答是关键．6.抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________．【答案】.【解析】试题分析：由题意可得，抛物线y＝x2＋2x＋1和直线y＝2x＋2的交点坐标就是点A、C′的坐标，把y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2联立组成方程组，解得方程组的解即可的得A（—1,0）、C′（1，4）.又因y=ax2+bx+c的顶点为C与C′关于x轴对称，所以C（1,-4）.y=ax2+bx+c的顶点为C（1,—4）且过点A（—1,0）.可设抛物线的解析式为y=a（x—1）2—4，把点A（—1,0）代入即可求得a=1，所以y=（x—1）2—4，即.考点：阅读理解题；求函数的交点坐标；求函数的解析式.学科网7.某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）；（2）果园多种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为60500个．【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．【解析】（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600﹣5x）（100+x）=则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．考点：二次函数的应用．8.某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．（1）求y关于x的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．【答案】（1）y=；（2）30＜m≤75．【分析】（1）根据收费标准，分0＜x≤30，30＜x≤m，m＜x≤100分别求出y与x的关系即可．（2）由（1）可知当0＜x≤30或m＜x＜100，函数值y都是随着x是增加而增加，30＜x≤m时，，根据二次函数的性质即可解决问题．【解析】（1）y=．（2）由（1）可知当0＜x≤30或m＜x＜100，函数值y都是随着x是增加而增加，当30＜x≤m时，，∵a=﹣1＜0，∴x≤75时，y随着x增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30＜m≤75．考点：二次函数的应用；分段函数；最值问题；二次函数的最值9.某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与其价格x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表：（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出）【答案】（1）（180≤x≤300）；（2）当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．【分析】（1）设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），由点的坐标（180，100）、（260，60）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式；（2）设房价为x元（180≤x≤300）时，宾馆当日利润为w元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出”即可得出w关于x的二次函数关式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【解析】（1）设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），依题意得：，解得：，∴y与x之间的函数表达式为（180≤x≤300）．（2）设房价为x元（180≤x≤300）时，宾馆当日利润为w元，依题意得：w=（x+190）（x﹣100）﹣60×[100﹣（x+190）]==，∴当x=210时，w取最大值，最大值为8450．答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．10.小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100110120130…月销量（件）200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接填写结果）（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）①（x-60）；②（-2x+400）（2）售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元试题解析：（1）①（x-60）；②（-2x+400）（2）依题意可得：y=（x-60）×（-2x+400=-2x2+520x–24000=-2（x-130）2+9800当x=130时，y有最大值9800所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元考点：二次函数的应用.11.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）设每天盈利w元，求出w关于x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到8000元？（6分）（2）若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（6分）【答案】（1），不能；（2）5．试题解析：（1）设每千克涨价x元，利润为y元，由题意，得：∴a=﹣20＜0，∴抛物线开口向下，当x=7.5时，y最大值=6125，∴每天盈利不能达到8000元．（2）当y=6000时，，解得：，，∵要使顾客得到实惠，∴x=5．答：每千克应涨价为5元．考点：二次函数的应用．12.技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一个点）的路线是抛物线，已知起跳点A距地面的高度为1米，弹跳的最大高度距地面4.75米，距起跳点A的水平距离为2.5米，建立如图所示的平面直角坐标系，（1）求演员身体运行路线的抛物线的解析式？（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．【答案】（1）；（2）能，理由见试题解析．【解析】试题分析：（1）由题意可知二次函数过A（0，1），顶点（），用顶点式即可求出二次函数的解析式；（2）当时代入二次函数可得点B的坐标在抛物线上．试题解析：（1）由题意可知二次函数过A（0，1），顶点（），设二次函数解析式为：，把A（0，1）代入得：，解得：，∴，即；（2）能成功表演．理由是：当时，．即点B（4，3.4）在抛物线上，因此，能表演成功．考点：二次函数的应用．二练能力——综合运用1．对于每个正整数n，抛物线与x轴交于AnBn两点，若AnA．20162017B．20172018C．2018【答案】C【解析】分析：根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是1n,另一个是1n+1，，根据x轴上两点间的距离公式，得AnBn=1n－详解：∵抛物线与x轴交于AnB∴抛物线与x轴交点的横坐标是1n和1∴AnBn=1n－∴A1B1+A2B2+…+A2018B2019=1-12+1故选C.2．如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=1，在BC的延长线上任取一点P，过点P作PD⊥BC，使得PD=2PC，则当点P在BC延长线上向左移动时，△ABD的面积大小变化情况是（）A．一直变大B．一直变小C．先变小再变大D．先变大再变小【答案】C【解析】试题解析：设PC=x，则PD=2x∴SΔBPD=×PB×PD=(x+1)×2x=x2+xSΔABC=×AC×BC=×1×1=S梯形ACPD=(2x+1)×x=x2+x∴SΔABD=S梯形ACPD+SΔABC-SΔBPD=-x+2∴△ABD的面积先变小再变大.故选C.3．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价2元，其日销售量就增加4个，为了获得最大利润，则售价为________元，最大利润为________元．【答案】90800【解析】设降价x元，利润为y，y=（100－70－x）（20+4×）=－2x2+40x+600=－2（x－10）2+800，当x=10时，y的最大值为800，即售价为90元时，最大利润为800元．故答案为90，800．4．某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系应表示为_____．【答案】y=20(x+1)2【解析】∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，

∴一年后产品是：20（1+x），

∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．

故答案为：y=20（x+1）2.【点睛】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍．5.黄冈市与A市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中．在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下：车厢节数n4710往返次数m16104（1）请你根据上表数据，在三个函数模型：①y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）；②y＝kx（k为常数，k≠0）；③y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）中，选取一个适合的函数模型，求出的m关于n的函数关系式是m＝（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q最多（每节车厢载客量设定为常数p）．【答案】（1）m-2n+24（2）每次挂6节车厢，一天往返12次【解析】试题分析：（1）观察表格中的数值可知：m是n的一次函数，用待定系数法可求出函数解析式；（2）根据Q=pmn求出函数关系式，可知Q是n的二次函数，然后利用二次函数的性质可确定出Q取最大值时，n的值，然后代入（1）中的函数关系式可确定m的值．试题解析：解：（1）m=-2n+24；（2）Q=pmn=pn（-2n+24）=-2pn2+24pn，∵-2p<0，∴Q有最大值，∴当n=时，Q取最大值，此时，m=-2n+24=-2×6+24=12，∴一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次时，一天的设计运营人数最多，考点：1．待定系数法求函数解析式；2．二次函数的应用．6．某商家按市场价格10元/千克在该市收购了1800千克产品，经市场调查：产品的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但仓库存放这批产品时每天需要支出各种费用合计240元，同时平均每天有6千克的产品损耗不能出售（产品在库中最多保存90天）（1）设存放x天后销售，则这批产品出售的数量为千克，这批产品出售价为元；（2）商家想获得利润22500元，需将这批产品存放多少天后出售？（3）商家将这批产品存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）（1800﹣6x），（10+0.5x）；（2）存放50天后出售；（3）这批产品存放90天后出售可获得最大利润，最大利润是29700元【解析】【分析】（1）根据每天的损耗就可计算出x天后的出售数量，根据每天上涨的金额就可计算出x天后的出售价格；（2）设x天后可出售的总额为y，由（1）可知x天后的售价和销售数量，可得y与x的函数关系式，用销售总额减去收购是花费的金额减去存放的费用即可得到利润，从而找到等量关系计算x即可；（3）设利润为w，由（2）可得w与x之间的函数关系式，根据抛物线的性质即可求出.【详解】解：（1）销售数量为：1800﹣6x；存放x天后销售价格为：10+0.5x；故答案为：（1800﹣6x），（10+0.5x）；（2）设x天后可出售的总额为y,由题意y与x之间的函数关系式为y＝（10+0.5x）（1800﹣6x）＝﹣3x2+840x+18000（1≤x≤90，且x为整数）；商家想获得利润22500元时，﹣3x2+840x+18000﹣10×1800﹣240x＝22500解方程得：x1＝50，x2＝150（不合题意，舍去）故需将这批产品存放50天后出售，商家获得利润22500元；（3）设利润为w，由题意得w＝﹣3x2+840x+18000﹣10×1800﹣240x＝﹣3（x﹣100）2+30000∵a＝﹣3＜0，∴抛物线开口方向向下，∴x＝90时，w最大＝29700，∴商家将这批产品存放90天后出售可获得最大利润，最大利润是29700元．7．某服装批发商店销售一款运动鞋，进价为40元/双，售价为100元/双，商店为了促销，规定凡是一次性购买10双以上的运动鞋，每双买1双，每双运动鞋的售价就减少2元，但是售价最低不能低于70元/双，设一次性购买x双运动鞋（x＞10）．（1）若x＝15，则售价应是多少元/双；（2）若以最低售价购买这款运动鞋，求x的值；（3）当x＞10时，求服装批发商店销售运动鞋获得的总利润y（元）与购买数量x（双）之间的函数关系式（利润＝售价﹣进价）（4）一天，顾客甲购买了19双运动鞋，顾客乙购买了23双运动鞋，该商店发现卖给顾客乙23双反而比卖给顾客甲19双所获得的总利润少，在促销条件不变的情况下，为了使每次卖的越多总利润也越多，最低售价应调整到多少元/双？并说明理由．【答案】（1）售价为90元/双；（2）x＝25；（3）当10＜x≤25时，y＝﹣2x2+80x，当x＞25时，y＝30x；（4）最低售价应调整到80元/双，才会使每次卖的越多总利润也越多．【解析】【分析】（1）根据题意超过10双时，售价＝原售价﹣2×（购买数量﹣10）据此可得；（2）根据以上相等关系列出方程100﹣2（x﹣10）＝70，解之可得；（3）分10＜x≤25、x＞25两种情况，根据“总利润＝每双利润×销售数量”列出函数解析式；（4）将（3）中二次函数配方成顶点式，利用二次函数的性质求出递增时x的值，据此再结合一次函数性质验证即可得．【详解】（1）当x＝15时，售价为100﹣2（15﹣10）＝90（元/双）；（2）由题意，得100﹣2（x﹣10）＝70，解得：x＝25．（3）当10＜x≤25时，由题意，得：y＝x[100﹣2（x﹣10）﹣40]＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，当x＞25时，由题意，得：y＝（70﹣40）x＝30x；（4）由（3）的解答过程可知，对于y＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，由二次函数的图象可知，此抛物线开口向下，对称轴为x＝20，若使每次卖的越多总利润也越多，即在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴x≤20，则最低售价应为100﹣2×（20﹣10）＝80（元/双）．当x＞20时，则有y＝（80﹣40）x＝40x，∵40＞0，∴y随x的增大而增大，即卖的越多总利润也越多．综上，最低售价应调整到80元/双，才会使每次卖的越多总利润也越多．8．某食品厂生产一种半成品食材，产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式p=12x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q(百千克销售价格x(元/千克2410市场需求量q/(百千克12104已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克(1)求q与x的函数关系式；(2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围；(3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃.若该半成品食材的成本是2元/千克．求厂家获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式；当厂家获得的利润y(百元)随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围.(利润=售价-成本)【答案】（1）q=-x+14；（2）；（3）鈶爕=-(x-132)2【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）由题意可得：p≤q，进而得出x的取值范围；（3）①利用顶点式求出函数最值得出答案；②利用二次函数的增减性得出答案即可．【详解】（1）设q=kx+b（k，b为常数且k≠0），当x=2时，q=12，当x=4时，q=10，代入解析式得：2k+b=124k+b=10，解得：k=-1b=14，∴q与x的函数关系式为：q=﹣x（2）当产量小于或等于市场需求量时，有p≤q，∴12x+8≤﹣x+14，解得：x≤4，又2≤x≤10，∴2≤x≤4（3）①当产量大于市场需求量时，可得4＜x≤10，由题意得：厂家获得的利润是：y=qx﹣2p=﹣x2+13x﹣16=﹣（x-132）2②∵当x时，y随x的增加而增加．又∵产量大于市场需求量时，有4＜x≤10，∴当4＜x时，厂家获得的利润y随销售价格x的上涨而增加．9．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求：(1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【答案】（1）每件衬衫应降价20元；（2）当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．【解析】【分析】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x件，进而得到商场平均每天盈利（40-x）（20+2x）元，依据方程1200=（40-x）（20+2x）即可得到x的值；

（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．【详解】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），解得x1＝10，x2＝20，经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，所以x＝20，答：每件衬衫应降价20元；（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴当x＝15时，y的最大值为1250，答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．10．某商场在网上和实体店同时销售一批进价为400元/件的某种服饰.规定：销售毛利润=销售收入-买入支出.（1）若商场将这种服装的网上销售价格和实体销售价格分别定500/件和600元/件，且要求网上销售量不少于实体店销售量的13（2）已知：这种服装的销售量y(件)与销售价格x(元/件)满足函数关系y=-0.5x+450.①如果该商场统一将此服装定价为600元/件，求此时售完后商场的销售毛利润；②销售价格统一定价为多少元时，售完后可获得最大销售毛利润？最大销售毛利润为多少？【答案】（1）在网上销售25件，实体店销售75件时，w最大，最大值为17500；（2）①；②定价为650元时，可获得最大毛利润，最大销售毛利润为31250元【解析】【分析】（1）根据题意可以得到利润与网上销售的件数的函数关系式，再根据不等式的性质即可解答本题；

（2）①根据题意可以得到该商场统一将此服装定价为600元件，此时售完后商场的销售毛利润；

②根据题意可以得到相应的函数关系式，即可解答本题．【详解】解：（1）设网上销售件数为n件，由题意,当n=25，即网上销售件数为25件，实体店销售75件,w最大，最大值为17500（2），此时商场的销售毛利润为②销售毛利润w与卖出价格x之间的函数关系式为=-0.5(x-650)2+31250，当价格定为650【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．11．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进价，不高于60元/千克，经市场调查发现：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如调整价格，每降价1元/千克，每日可多销售2千克．（1）已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为元/千克；（2）该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡．①求这种化工原料的进价；②若公司每天的纯利润（收入﹣支出）全部用来偿还一笔10000元的借款，则至少需多少天才能还清借款？【答案】（1）50；（2）①这种化工原料的进价为40元/千克；②公司至少需62天才能还清借款．【解析】【分析】（1）设某天售出该化工原料40千克时的销售单价为x元/千克，根据题意列出关于x的方程，然后求解即可；（2）①设这种化工原料的进价为a元/千克，根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得原料的进价；②根据题意可以求得每天的最大利润，从而可以求得少需多少天才能还清借款．【详解】解：（1）设某天售出该化工原料40千克时的销售单价为x元/千克，（60﹣x）×2+20=40，解得：x=50，故答案为：50；（2）①设这种化工原料的进价为a元/千克，当销售价为46元/千克时，当天的销量为：20+（60﹣46）×2=48（千克），则（46﹣a）×48=108+90×2，解得，a=40，即这种化工原料的进价为40元/千克；②设公司某天的销售单价为x元/千克，每天的收入为y元，则y=（x﹣40）[20+2（60﹣x）]=﹣2（x﹣55）2+450，∴当x=55时，公司每天的收入最多，最多收入450元，设公司需要t天还清借款，则（450﹣108﹣2×90）t≥10000，解得，t≥615981∵t为整数，∴t=62．答：公司至少需62天才能还清借款．12．“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物.某商场销售一种品牌的小米，进价是40元/袋.市场调查后发现，售价是60元/袋时，平均每星期的销售量是300袋，而销售单价每降低1元，平均每星期就可多售出30袋.（1）若每袋小米降价x元，写出该商场销售该品牌小米每星期获得的利润w（元）与x（元）之间的函数关系式.（2）在（1）的条件下，每袋小米的销售单价是多少元时，该商场每星期销售这种品牌小米获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）w=-30x2【解析】【分析】（1）根据销售单价每降价1元，平均每星期的期就多售出30袋，求出销售量，再利用总利润=（实际售价-进价）×销售量，即可得函数解析式；（2）利用配方法求出最值即可．【详解】（1）由题意得w=∴w=-30x（2）由题意得w=-30x对称轴为直线x=5∴当x=5，即每袋小米的销售价为55元时，该商场每星期销售这种品牌小米获得的利润最大，且元.【点睛】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．13.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件.（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式．（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？（4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）；（2）550件，8250元；（3）50元；（4）65元，12250元．【解析】试题分析：（1）根据设每个书包涨价x元，由这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以，代入即可月销售量和销售利润；（3）令，解方程即可；（4）用配方法求出二次函数的最大值即可．试题解析：（1）∵每个书包涨价x元，∴，答：y与x的函数关系式为：；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以月销量=600-10×5=550（件），销售利润=（元）；考点：二次函数的应用．14.为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【答案】（1）；（2）售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；（3）440．【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．考点：二次函数的应用．15.已知某隧道截面积拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部款20米．（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，使y轴为抛物线的对称轴，x轴在地面上．求这条抛物线的解析式；（2）维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架AB-BC-CD（其中B、C两点在抛物线上，A．D两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？（3）在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度AB不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）【答案】（1）；（2）够用；（3）不能．试题解析：（1）设，由题意抛物线经过点（10，0），（0，10），则，解得：，故抛物线的解析式为；（2）设点C的坐标为（m，n），则所需材料长度=，∵，∴当m=5时，所需材料最多，为25米，∴总长为30米的材料够用；（3）当时，，解得，∵，∴高度不超过5米的车不能并排通过隧道口．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的应用．学科网16.为了考察冰川融化的状况，一支科考队在某冰川上设定一个以大本营O为圆心，半径为4km圆形考察区域，线段P1、P2是冰川的部分边界线（不考虑其它边界），当冰川融化时，边界线沿着与其垂直的方向朝考察区域平行移动.若经过n年，冰川的边界线P1P2移动的距离为s（km），并且s与n（n为正整数）的关系是.以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，其中P1、P2的坐标分别是（－4，9）、（－13，－3）.（1）求线段P1P2所在的直线对应的函数关系式；（2）求冰川的边界线移动到考察区域所需要的最短时间.【答案】（1）；（2）6．试题解析：（1）设P1P2所在直线对应的函数关系式是，根据题意，得：，解得：，∴直线P1P2的解析式是：；（2）在中，当，则，当，则，∴与x、y轴的交点坐标是（0，）、（，0），由勾股定理，得，当P1P2与⊙O相切时，此时冰川移动的距离最短，设移动的最短距离是s，O点到直线P1P2的距离为x，则根据面积相等列出等式，，解得：，即s=，∵，∴，解得：，（舍去）答：冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为6年．考点：二次函数的应用．17.鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【答案】（1）y=10x+16