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文档简介

复变函数项级数一、复变函数项级数定义其中各项在区域

D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作

第2页,共25页，2024年2月25日，星期天部分和级数收敛第3页,共25页，2024年2月25日，星期天称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那末它的和一定和函数

第4页,共25页，2024年2月25日，星期天二、

幂级数（函数项级数的特殊情形）或级数称为幂级数.第5页,共25页，2024年2月25日，星期天1.幂级数的收敛集合

定理1(阿贝尔定理)第6页,共25页，2024年2月25日，星期天所以由定理4.3因此存在一个正常数M,对于任意的非负正数n均有，证明：第7页,共25页，2024年2月25日，星期天收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，收敛，从而级数绝对收敛.第8页,共25页，2024年2月25日，星期天定理1的几何意义说明：第9页,共25页，2024年2月25日，星期天推论推论的几何意义第10页,共25页，2024年2月25日，星期天第11页,共25页，2024年2月25日，星期天第12页,共25页，2024年2月25日，星期天2.收敛半径的求法方法1:比值法:那末收敛半径方法2:

根值法那末收敛半径说明:如果第13页,共25页，2024年2月25日，星期天解答课堂练习试求幂级数的收敛半径.第14页,共25页，2024年2月25日，星期天3.幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?注意:

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.例1：求下列级数的收敛半径,并讨论它们在收敛圆周上的敛散性。第15页,共25页，2024年2月25日，星期天16例2求幂级数的收敛半径:(并讨论时的情形)解说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，第16页,共25页，2024年2月25日，星期天三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算第17页,共25页，2024年2月25日，星期天2.幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那末当时,说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.第18页,共25页，2024年2月25日，星期天第19页,共25页，2024年2月25日，星期天第20页,共25页，2024年2月25日，星期天性质设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内的解析函数

.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质第21页,共25页，2024年2月25日，星期天(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即第22页,共25页，2024年2月25日，星期天例3

求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为第23页,共25页，2024年2月25日，星期天级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内,级数绝对收敛

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