大学物理波动方程

关于大学物理波动方程波的传播方向特点：具有波峰和波谷横波质点的振动方向纵波波的传播方向质点振动方向特点：具有疏密相间的区域下面以横波为例观察波的形成过程第2页,共22页，2024年2月25日，星期天静止

12345678910111213

12345678910111213振动状态传至4

12345678910111213振动状态传至7振动状态传至10

12345678910111213第3页,共22页，2024年2月25日，星期天振动状态传至13

12345678910111213结论(1)波动中各质点并不随波前进；(2)各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播；(3)波动曲线与振动曲线不同。波面和波线在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。波面:第4页,共22页，2024年2月25日，星期天沿波的传播方向作的有方向的线。柱面波在各向同性均匀介质中，波线⊥波面。波线:波前:在某一时刻，波传播到的最前面的波面。注意xyz波面波线球面波波面波线波面波线平面波第5页,共22页，2024年2月25日，星期天同一波线上相邻两个相位差为2

的质点之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。波长反映了波的空间周期性。三、波长周期频率和波速波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率与周期的关系为振动状态在介质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为第6页,共22页，2024年2月25日，星期天(1)

波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。纵波的波速为：(2)

波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于介质的性质，与波源及波的频率无关。说明—固体棒的杨氏模量—固体棒的密度固体既可以传播纵波也可以传播横波第7页,共22页，2024年2月25日，星期天液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出固体媒质中传播的横波速率由下式给出：—固体的切变弹性模量—固体密度—流体的容变弹性模量—流体的密度稀薄大气中的纵波波速为—气体摩尔热容比—气体摩尔质量—气体摩尔常数第8页,共22页，2024年2月25日，星期天三、简谐波的波动方程波面为平面的简谐波介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大介质中传播的平面简谐波。平面简谐波平面简谐波说明简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。简谐波:第9页,共22页，2024年2月25日，星期天yxxPO简谐振动从时间看,P点

t时刻的位移是O点简谐振动平面简谐波的波函数时刻的位移;从相位看，P点处质点振动相位较O点处质点相位落后

若P为任意点第10页,共22页，2024年2月25日，星期天其它形式由波函数可知波的传播过程中任意两质点x1和x2振动的相位差为x2>x1,Δ<0，说明x2处质点振动的相位总落后于x1处质点的振动；讨论第11页,共22页，2024年2月25日，星期天u实际上是振动相位的传播速度。t1时刻x1处的振动状态经Δt时间传播到x1+Δx处，则可得到若波沿轴负向传播时，同样可得到波动方程:其它形式第12页,共22页，2024年2月25日，星期天如图，在下列情况下试求波动方程：(3)若u沿x

轴负向，以上两种情况又如何？例(1)以A为原点；(2)以B为原点；BA已知A点的振动方程为：

(1)在x轴上任取一点P，A点振动方程为：波函数为：解P

BA

第13页,共22页，2024年2月25日，星期天(2)B点振动方程为：(3)以A为原点：以B为原点：波动方程:第14页,共22页，2024年2月25日，星期天表示在t1

时刻的波形ytot与x都发生变化yxo表示x1处质点的振动方程波动方程的物理意义x=x1（常数）t=t1（常数）表示介质中任何质点在任意时刻的位移第15页,共22页，2024年2月25日，星期天已知t1时刻的波形图（紫色），要确定t=t1+Δt时刻的波形图，只须将其沿波的传播方向平移uΔt的距离即可（红色）oytt=t1时t=t1+Δt时y第16页,共22页，2024年2月25日，星期天可以证明三维的波动方程为：其中ξ为质点的位移从上两式可得波动方程：波动方程的一般形式第17页,共22页，2024年2月25日，星期天y(m)ox(m)波速

u=400m/s,t=0s时刻的波形如图所示。写出波动方程。4p2设波动方程为t=0s时刻yo=2m，vo＞0，所以O点处的质点的位移及速度例解第18页,共22页，2024年2月25日，星期天同理，对于P点有t=0s时刻yP=0，vP＜0，所以波动方程为y(m)ox(m)4p2第19页,共22页，2024年2月25日，星期天沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图，设波速u=0.5m/s求原点0的振动表达式。x0y0.5-112t=2st=0由图知t=0原点0:例解第20页,共22页，2024年2月25日，星期天一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为 (