2020-2021学年湖南省常德市临澧一中高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2020-2021学年湖南省常德市临澧一中高一(下)期末数

学>、建试卷2U4

一、单选题(本大题共20小题，共100.0分)

1.设i是虚数单位，则复数刍在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合4={x|y=8+3、+2},集合B={-2,-1,0,1,2},则4nB=()

A.{-1,0,2}B.{-1,0,1,2)

C.{-2,—1,0,1}D.{-2,—1,0,1,2}

3.已知集合4={y|y=log?%中>1},B={y\y=(^)x,x>1},则2nB=()

A.{y|0<y<|}B.{y|0<y<1}C.{y||<y<1}D.0

4,定义域为R的四个函数中y=x3,y=«,y-2sinx,y=?；中,奇函数的个

数是()

A.4B.3C.2D.1

5,给出下列说法：

①回归直线:-:恒过样本点的中心底,亍)；

VLhJy人+IIX

②相关系数厂越小，表明两个变量相关性越弱；

③在回归直线方程y=3-0,5x中，当解释变量X增加一个单位时，预报变量y平

均减少05个单位；

④若所有样本点都在回归直线J=bx+0上，则这组样本数据的线性相关系数为1.

其中正确的说法有()

A.①④B.①③C.③④D.②③④

6,若a=2°，7,b=log7r2.9,c=log20.4,则()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

7,将正偶数数列2,4,6,8,10……依次按一项，二项，三项分组如下：(2),(4,6),

(8,10,12),(14),(16,18),(20,22,24)……称(2)为第1组,(4,6)为第2组，以

此类推，则原数列中2020位于分组序列中的()组

A.1010B.1011C.506D.505

8.若关于x方程/+(m-l)x+m2-2=0的一个实根小于一1,另一个实根大于1,

则实数机的取值范围是()

A.(-V2,V2)B.(-2,0)C.(-2,1)D.(0,1)

9.函数y=式洋。>1)的值域是()

A.[1,+8)B.(—00,1]C.(—00,0]D.[0,+8)

10.设f(X)是定义域为R的奇函数，且f(1+久)=〃一久).若则/(|)=()

A.-|B.C.|D.|

11.函数/(久)={2〃：(a>0,且a41)值域是R,则实数a范围是()

[logax,x>-

A.(0,f)B.(0,f]C.(0,1)D.[^,1)

12.已知函数/(x)=/+g(X)=G)x,对任意/6存在%2e使

得fOl)N。(久2)，则实数力的取值范围是()

A.[-7,+8)B.[2,+8)C.弓,+8)D.卷+8)

OO

13.若复数z满足(1-i)z=i,其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

14.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件力=“第一枚硬币正面向上”，设事件B=”第

二枚硬币正面向上”，贝女)

A.事件A与8互为对立事件B.事件A与8为互斥事件

C.事件A与事件B相等D.事件A与B相互独立

15.在A4BC中，BC=1,48=同C=g,则4=()

A.何？B.£C.氯？D.=

o6o33o

16.在△ABC中，为8C边上的中线，E为的中点，则丽=()

A.-AB--ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

17.已知一个正三棱锥的高为3,如图是其底面用斜二

测画法所画出的水平放置的直观图，其中。B'=

O'C'=1,则此三棱锥的体积为()

A.V3

第2页，共35页

B.3V3

C.遗

18.PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,

即PM2.5日均值在35〃g/zn3以下空气质量为一级，在35〃。/爪3〜75〃g/m3之间空气

质量为二级，在7549/巾3以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到io日PM2.5

日均值（单位：乩9/爪3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）

A.从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低

B.这10天的PM2.5日均值的中位数是45

C.这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3

D.从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概

率是|

19.在直三棱柱ZBC-a/iG中，AB=2,AC=遮,/.BAC=30°,AA1=V5，则其

外接球的体积是（）

A.V67TB.yc.WD.等

20.已知三条不重合的直线机，n,I,三个不重合的平面a,0,y,贝U（）

A.若mua,nca,n〃0,贝!|a〃£

B.若Z1a,mu§,I1m,贝！Ja〃8

C.若a1y,81y,aC0=l,贝！|Z1y

D.若jn〃7i,nua,则m〃a

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

21.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆.为检验该公

司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（）

A.应采用分层随机抽样抽取

B.应采用抽签法抽取

C.三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆

D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

22.设i为虚数单位，复数z=（a+i）（l+2E）,则下列命题正确的是（）

A.若z为纯虚数，则实数。的值为2

B.若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数。的取值范围是（一1,2）

C.实数a=-称是z=为z的共轨复数）的充要条件

D.若z+|z|=%+5i（xeR）,则实数a的值为2

23.在△ABC中，D,E,尸分别是边BC,AC,A8中点，下列说法正确的是（）

A.AB+AC-AD^0

B.Dl+EB+FC=0

C.若点P是线段上的动点，且满足前=4^1+〃同，则4+2〃=1

D.若A/IBC所在平面内一点尸满足於=2（儡+券）（420）,则点P的轨迹一定

通过△ABC的内心

24.如图，点”是正方体4BCD-的侧面4DD1&上--------矛］

的一个动点，则下列结论正确的是（）^11;-------------1^1

A.点M存在无数个位置满足CMlADi；

B.若正方体的棱长为1,则三棱锥8-/MD体积的最大

值为：

C.在线段上存在点使异面直线B1M与C。所成的角是30。

D.点M存在无数个位置满足BM〃平面Bi/C

三、单空题（本大题共8小题，共40.0分）

25.比较大小：V10-V6V7-V3.

26函数/⑺=忑霁病的定义域为凡则实数〃的取值范围为一

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29.已知数据久1，久2,久3，…，%的平均数为10,方差为2,则数据2/一1,2久2-1，

2X3-12/-1的平均数为,方差为.

30.已知五=(1,2),K=(0,-1)，则五在3方向上的投影为.

31.如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M

点的仰角NAMN=60。，C点的仰角NC4B=45。以及NAL4C=75。；从C点测得

^MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.

32.如图,在正方体4BCD-中，点。为线段加»的中点，设点P在线段CC1上,

直线OP与平面4遇。所成的角为a,贝!Jsina的最小值______,最大值.

四、解答题(本大题共13小题，共152.0分)

33.已知复数z=+(m2—4m)i.

(1)当实数机取什么值时，复数z是实数；

(2)当实数机取什么值时，复数z是纯虚数;

(3)当实数相取什么值时，复数z=2+5i.

34.某课外研究性学习小组为研究喜欢综艺节目与男女生性别的关系，统计了某高中的

相关信息，其中被统计的学生中男生的人数与女生的人数相同，其中女生中不喜欢

综艺节目的人数约占女生人数的男生中不喜欢综艺节目的人数约占男生人数的，

现设被统计的男生人数为5%.

(1)请完成下面2x2列联表:

不喜欢喜欢合计

女生

男生5x

合计

(2)若研究得到有99%的把握认为喜欢综艺节目与性别有关，计算被统计的男生至

少有多少人？

P也2>fc0)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

35.设函数/(x)=m/—小久—1,若对于xe[1,2],/'(久)<一小+4恒成立，求实数相

的取值范围.

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36.某商场在六一分别推出支付宝和微信扫码支付活

动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内

使用扫码支付优惠力度较大，吸引越来越多的人开

始使用扫码支付.统计了活动刚推出一周内每一天

使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，

y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，

统计数据如表所示:

X1234567

y611213466101196

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.

(1)根据散点图判断,在推广期内，y=a+法与y=c-#(c,d均为大于零的常数)哪

一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数尤的回归方程类型？(给出判断

即可，不必说明理由)；

(2)根据(1)的判断结果及下表中的数据，求y关于龙的回归方程；

77

A，%W%Ui100.54

yu

i=li=l

661.542.71150.123.47

(3)预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.

参考数据：其中以=匈%,u=^=1Ui,b=玄匕84)(孕;)=Dry「口工

7Sili(xi-x)2E匕犹-nN

37.已知函数/(%)=ex—x2+Inx,g(%)=2—ex-Inx.

(1)设曲线y=/(%)在点(1)(1))处的切线斜率为七，曲线y=g(%)在点(l,g(l))处

的切线斜率为B，求心十矽的值；

(2)若/i(x)=/(久)+g(x),设曲线y=旗久)在点(t,h(t))处的切线与坐标轴围成的三

角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.

38.在平面直角坐标系尤0y中，直线/的参数方程为为参数)，以坐标原

点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为「2(1+

8s-2。)=9,点尸的直角坐标为(0,2).

(1)求直线/的普通方程及曲线C的参数方程；

(2)若a=8,。为曲线C上的动点，求。到直线/的距离的最大值.

39.已知函数/(%)=|x+1|+|2x-1|.

(1)解不等式/(%)<2；

(2)若f(%)>2a2+2a对任意％eR恒成立，求a的取值范围.

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40.已知向量五=(1,2),4=(3,%)，c=(2,y),且五〃方,ale.

(1)求后与3；

(2)若沆=2五一己n=a+c,求向量记，元的夹角的大小.

41.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且ccos/+acosC=3a.

(1)求?的值；

(2)若a=l,c=V6,求△ABC外接圆的面积.

42.如图，在四棱锥U—ABCD中，底面ABC。是矩形，UD，平面A8CQ,过A。的平

面分别与Vfi,ye交于点M,N.

(1)求证：BC1平面VCD-

(2)求证：AD//MN.

43.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每

位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知

在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为g1；在第二轮比赛中，甲、乙胜

出的概率分别为|,|;甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

44.由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻于2019年10月21日至22日首次公开测产,

经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以推动

我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展.某企业引进一条先进

的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知

该产品的质量以某项指标值k(70<k<100)为衡量标准，质量指标的等级划分如

表：

质量指标值

90</c<10085<fc<9080<fc<8575</c<8070<fc<75

k

产品等级ABCDE

为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，

测量了每件产品的指标值，在以组距为5画频率分布直方图(设“禁=『’时，发

组距

r3n—39V]6

现y满足：Y=300,n-,TIGN*,5n<k<5(n+l).

la-220-n,n>16

(1)试确定"的所有取值，并求a；

(2)从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽

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取7件产品，然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，求至少有1件A级品

的概率；

(3)求样本质量指标值k的平均数底各分组区间的数据以该组区间的中点值代表).

45.仇章算术》是中国古代的一部数学专著，是痴经十书

中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性

的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的

出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.仇章算术

》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖膈”，已

知在三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC.

(1)从三棱锥P-力BC中选择合适的两条棱填空：1

，则三棱锥P—ABC为“鳖腌”；

(2)如图，已知4D1PB,垂足为。，AE1PC,垂足为E,AABC=90°.

(回)证明：平面ADE1平面PAC；

(助设平面ADE与平面ABC的交线为/,若24=2B，AC=2,求二面角E-/-C

的大小.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础.

先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论.

【解答】

解：^=i（l+i）=-l+i,对应复平面上的点为（一1,1）,在第二象限，

故选：B.

2.【答案】D

【解析】解:■-A={x\x2+3x+2>0]={x\x<-2或x>-1],B={-2,-1,0,1,2},

：.Ar\B={-2,-1,0,1,2）.

故选：D.

可求出集合4然后进行交集的运算即可.

本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，一元二次不等式的解法，考

查了计算能力，属于基础题.

3.【答案】A

___-1-1

【解析】解：由题意可得：A=（y\y>0],B={y|0<y<-},AnB={y|0<y<-}.

故选：A.

由题意首先求得集合A和集合B,然后进行交集运算即可求得最终结果.

本题考查了集合的表示方法，交集的定义及其运算等，重点考查学生对基础概念的理解

和计算能力，属于中等题.

4.【答案】C

【解析】解：丫=炉的定义域为R,为奇函数，

y=«的定义域为[0,+8）,为非奇非偶函数，

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y=2s讥％的定义域为R,为奇函数，

y=后二的定义域为R,/(-%)=二者=f(x),则/(x)是偶函数，不满足条件.

故奇函数的个数是2个，

故选：C.

根据奇函数的定义分别进行判断即可.

本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键，是基础题.

5.【答案】B

【解析】解：①回归直线y=6久+a恒过样本点的中心G，y)，正确；

②相关系数r越小，表明两个变量相关性越强；故②错误；

③在回归直线方程1=3-0.5x中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量;平均减

少0.5个单位，正确；

④若所有样本点都在回归直线y=bx+展上，则这组样本数据的线性相关系数为-1或

1.故④错误，

故选：B.

①根据回归直线的定义和性质进行判断

②相关系数越小，变量相关性越强

③回归斜率为-0.5,则平均减少量为0.5

④若所有样本点都在回归直线上，则线性相关系数的绝对值为L

本题主要考查命题的真假关系，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，是基础题.

6.【答案】A

【解析】解：因为a=20,7>2°=1,0<log"<b=log夕<log*=1,

c=log尸<logl—0,

所以a>b>c,

故选：A.

根据指数函数，对数函数的单调性以及数据0,1即可判断求解.

本题考查了指数，对数的比较大小的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：由题可得，每3组共6个偶数为一大组，其中第一小组1个数，第二小组

2个数，第三小组3个数，

因为2020为第1010个偶数，且1010=168x6+3,

故2020在第168大组的第二小组内，即2020位于分组序列中的第168x3+2=506组

中，

故选：C.

根据条件可得每3小组共6个数为一大组，进而可判断2020所在组数.

本题考查归纳推理能力，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解:令/⑺=%2+(m-l)x+m2-2,则由题意可得力”=rn2-m<0

1/(1)=m^+m-2<0

求得0<m<1,

故选：D.

令f(久)=x2+(m-l)x+m2-2,则由题意利用二次函数的性质求得实数m的取值范

围.

本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数

学思想，属于基础题.

9【答案】D

【解析】解：•••当》>1时，函数y=力士型=空空，且0—2)220,久一1>0,

•1.y>0,即函数的值域为［0,+8),

故选：D.

把函数的解析式变形为y学，再根据(尤-2尸20,%-1>0,求得y的范围.

本题主要考查求函数的值域，属于基础题.

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10.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，属于基础题.

由已知/'(-X)=一及+x')=一/0)进行转化得/(2+x)=f(x),再结合f(|)=

f(2一》=f(-9从而可求.

【解答】

解：由题意得/■(-%)=-/(%),

又f(l+X)=/(-X)=

所以f(2+x)=-/(I+x)=f(x),

又fH

则发)=/(2_}=/(-5=£

故选：C.

11.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的值域，函数单调性与最值的计算，属于基础题.

求出当xw1时，/⑶=(2广5的值域，根据a>1和0<a<1时判断f(x)=log/的增

减性结合/(x)的值域为R即可求解.

【解答】

解：当久<手寸，/吟=6)若单调递减，；♦f⑺>超)=(I)-1=2,

当a>l时，显然/'(%)=logaX在G，+8)上是增函数，与((久)的值域为R矛盾，不符合

题意；

-1

0<a<1,/(%)=1。8鹏在(2，+8)上是减函数，

loga|>2,解得当<a<1.

故选：D.

12.【答案】C

【解析】解：Xi£［一1,3］时，/(%i)=%i+m,

广(%1)=2%「令((%i)=0，解得：勺=0，

故/。1)在［-1,0)递减，在［0,3］递增，

所以9(0)</(%i)</(3)，即血</(%i)<m+9,

所以f(%i)值域为［m,7n+9］,

%2G［—1,3］时，9。2)=(3切是减函数，

所以g(3)Wg(X2)Wg(-l),即上9(犯)<2,

所以9(久2)的值域为弓,2］；

根据题意可得/'(xJmin>g(%2)m讥，

所以爪>I，

O

故实数m的取值范围是弓,+8),

O

故选：C.

先分别求出/'01)和9(久2)的值域，再根据f(久l)min2g(久2)小讥列式可解得.

本题考查了指数函数、二次函数的单调性、最值问题，属中档题.

13.【答案】B

【解析】解：由(lT)z=i,得z=±=U=-H3，

・•・在复平面上复数Z对应的点的坐标为(-%》，位于第二象限.

故选：B.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

14.【答案】D

【解析】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，

设事件4="第一枚硬币正面向上”，

设事件B="第二枚硬币正面向上”，

第16页，共35页

事件A发生与否与事件B无关，事件B发生与否与事件A无关，

事件A与事件B相互独立.

故选：D.

事件A发生与否与事件B无关，事件B发生与否与事件A无关，从而事件A与事件B

相互独立.

本题考查两个事件的相互关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义

等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

15.【答案】B

【解析】解：BC=1,AB=V3,C=p

1V3

由正弦定理可得，痂=逅，

2

..1

・••sinA=

2

•••4£（0,兀）且/8>8。，

・•.C>A,

则a=7

故选：B.

由己知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可求解.

本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题.

16.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查向量的加减和数乘运算，考查运算能力，属于基础题.

运用向量的加减和数乘运算，计算可得结果.

【解答】解：如图,

在ATIBC中，AQ为BC边上的中线，E为的中点,

则丽=AB-AE=AB-^AD

=XB-1x|(^B+XC)

=-4AB4--XC.

故选A.

17.【答案】A

【解析】解：由直观图可知：正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，底面面积为《X

2X2X—2=V3,

a三棱锥的体积为：|xV3X3=V3,

故选：A.

由直观图可知：正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，由此可以求出底面面积，从而

求出棱锥的体积.

本题主要考查了直观图，是基础题.

18.【答案】B

【解析】解：由图表可知，选项A,C,£＞正确，

对于选项2,这10天的PM2.5日均值的中位数是竺罗=47,

故8错误，

故选：B.

先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解.

本题考查了频率分布折线图，考查数据处理和分析能力，属中档题.

第18页，共35页

19.【答案】B

【解析】解：直三棱柱4BC—41B1C1中,

如图所示：

已知AB=2,AC=V3,ABAC=30。，

所以利用余弦定理：BC2=AC2+AB2-2-AC-AB-COS30°,

整理得叱=22+（V3）2-2x2xV3Xy,

解得BC=1,

所以AB?=a。？+8。2,故AABC为直角三角形；

所以点。为△ABC的外接圆的圆心，

直三棱柱的外接球的球心在平面441当8的中心位置，

由于=V5,

所以R=OC=J（多2+12=|,

故‘=”•（|）3=T-

故选：B.

首先利用余弦定理求出BC的长，进一步判断△ABC为直角三角形，再求出球的球心和

半径，最后求出球的体积.

本题考查的知识要点：三棱柱体和外接球的关系，余弦定理，外接球的球心的确定，球

的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

20.【答案】C

【解析】解：若mua,nua,m//p,n//p,则a〃。或a与£相交，添加条件机与w

相交时，才有a〃0,故A错误；

若I1a,11则mua或m〃a,又mu0,贝1Ja〃/?或a与£相交，故8错误;

若aly,£ly,an£=l,如图，

设aCiy=a,0Cy=b,在y内直线a与匕外任取一点P,作PA1a,PB1b,

则P21Z,PB1l,可得lly,故C正确；

若m〃几，riua,则m〃a或mua,故。错误.

故选：C.

由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判定ABD；直接证明C正确.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空

间想象能力与思维能力，是中档题.

21.【答案】ACD

【解析】解：某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检

验该公司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，

所以该检验采用分层抽样的方法，故选项A正确，选项B错误.

对于选项C：1500+6000+2000=9500,所以抽样为57x筮=9,57x鬻=36,

57X髭=12,故选项C正确.

对于选项。对于分层抽样的每一辆轿车被抽到的可能性相等，故选项。正确.

故选：ACD.

直接利用分层抽样的应用和比值的应用确定选项A正确，选项B错误，选项。错误.

本题考查的知识要点：分层抽样的方法，数的比值，主要考查学生的运算能力和转换能

力及思维能力，属于基础题.

22.【答案】ACD

【解析】解：复数z=(a+i)(l+2t)=(a-2)+(2a+l)j；

对于人当a=2时，z为纯虚数，故A正确；

第20页，共35页

对于以z在复平面内对应的点在第三象限，可得图一;解得a<故B不对;

12a+1<02

对于C：共辗复数Z，需满足2a+1=-2a-1,可得a=-去故C正确；

对于。：由z+|z|=x+5i,即2a+l=5,可得a=2,故。正确；

故选：ACD.

根据复数的性质依次对各选项判断即可；

本题考查复数的运算和性质，共朝复数，属于基础题和易错题.

23.【答案】BCD

【解析】解：•••£»，E,歹分别是边BC,AC,AB中点,

A.AB+AC-AD=2AD-AD=AD,故A错；

B.AD+BE+CF=^AB+AC+BA+BC+CA+

CB)=0,

Dl+EB+FC=0，故B正确;

C.SP=4瓦？+=ABA+2/iBC，,:A,P,。三点共线，典M+2〃=1,故C正确;

D-：黑是与同同向的单位向量，黑是与前同向的单位向量，

|4B|\AC\

.,.点P在NB4C的角平分线上，则点尸的轨迹一定通过AABC的内心，故。正确.

故选：BCD.

对于A,由通+正—而=2而—而=同即可判断；对于2，由而+而+方=6

即可判断；对于C,利用A,P,D三点共线，可得4+2〃=1,即可判断；对于。，利

用需是与同同向的单位向量，需是与前同向的单位向量即可判断.

\AB\\AC\

本题考查了平面向量的线性运算、三角形的三心、平面向量的基本定理，属于中档题.

24.【答案】ABD

【解析】解：在正方体4BCD-&B1GA中，CD1侧面

ADD^,贝（JCDlADi，

^AD11ArD,ArDP\DC=D,二力。1_L平面AOC,

可知当M在线段&D上时，有CM14D],故A正确；

由正方体的性质可知，4C_L平面BQ。，可知若正方体的

棱长为1,

则M与4重合时，三棱锥B-GMD的体积取最大值，

为工义工X&X&X宜x2=匕故8正确；

32233

异面直线与C。所成角，即为当M在线段4区上运动时，

M取力Di的中点时，乙生B］M最小，其正切值为孝〉个，故C错误；

易得平面&DB//平面/。传，所以当M在线段&D上时，满足BM〃平面当。住，故。

正确.

故选：ABD.

由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定判断A；求出三棱锥B-GMD的体积最大

值判断氏由线面角的概念判断G由抛物线的定义判断D

本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定

及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.

25.【答案】<

【解析】解：•・•(VTU+b)2=13+2府，(V6+V7)2=13+2V42,

A(Vio+V3)2<(V6+77)2,g+V3<V7+V6.

AV10-V6<V7-V3.

故答案为：<.

利用平方求出(同+百/<(V6+V7)2,得到VTU+遮<V7+痣，再移项即可求解.

本题考查了利用平方法判断不等式的大小，属于基础题.

26.【答案】［0$

【解析】解：・函数/(x)=/,的定义域为R，■■■ax2-4ax+2>0恒成立，

"a=0,或1*7)2—8a<(V

求得a=0,或0<a<

综合，可得实数。的取值范围为log),

故答案为：［0j).

第22页，共35页

由题意可得，a/-4ax+2>0恒成立，再利用二次函数的性质，求得。的范围.

本题主要考查求函数的定义域、函数的恒成立问题，二次函数的性质，属于基础题.

27.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查了线性回归直线的性质，属于基础题.熟练掌握回归直线必过样本的中心点是

解答本题的关键.

利用平均数公式计算样本中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案.

【解答】

解：由题意，得

X=1.5,y—4

・•.样本中心点坐标为(15等).

・・・回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为亨=3%-|,

8+mrYLYL

------3x1.5—1.5j

4

••・m=4.

故答案为4.

28.【答案】1

【解析】解：•."(©是奇函数，

・•・/(-1)=-/(1),

即］CL—3=—(3ci——)=—3a+—,

Zpzt1010Zrzt.

待3a=倚a=1,

故答案为：1

利用奇函数的性质，利用/(-1)=-/(1)建立方程进行求解即可.

本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇偶性的定义和性质建立方程是解决本题的关键,

是基础题.

29.【答案】198

【解析】解：•.•样本数据比1，%2,叼，…久n的平均数是I。，方差是2,

—]

・•・%=7(11+12+%3------hXn)=10,

22

S=:[(]1-I。/+(%2-I。/+(%3-I。/+--F(%n-10)]=2;

数据2/-1,2X2-1,2X3-1,....2xn-1的平均数是7=；[(2/-1)+(2x2-1)+

(2冷-1)+-11+(2%„-1)]=2X(xt+x2+x3+•••+xn)-1=19,

222

方差是s'?=i{[(2%1-1)-19]+.•.+[(2%n-l)-19]]=2-i[(%!-IO/+(%2-

222

10)+(x3-10)+(xn-10)]=4X2=8.

故答案为：19,8.

根据平均数与方差的公式即可求出数据2/-1,2X2-1,2%3-1，…2马一1的平均数

与方差.

本题考查了计算数据的平均数与方差的问题，解题时应根据公式进行计算，也可以利用

平均数与方差的性质直接得出答案.

30.【答案】-2

【解析】解：五在另方向上的投影为萼=二=一2,

故答案为：-2.

根据向量投影的定义代入计算即可.

本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量的坐标运算，向量投影的求法，属于基

础题.

31.【答案】150

【解析】

【分析】

本题主要考察了正弦定理的应用，考察了解三角形的实际应用，属于中档题.由题意，

可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RTAMNA中,AM=100V3m,

AMAN=60°,从而可求得MN的值.

【解答】

解：在R7△ABC中，Z.CAB=45°,BC=100m,所以AC=100V2m.

第24页，共35页

在△4MC中，ZM4C=75°,^MCA=60°,从而NAMC=45。，

由正弦定理得，壬=%,因此AM=100V3m,

sin45°sin60°

vv

在RT△MNA中，AM=100V3m,4MAN=60°,由\=.行〃60,

AM

得MN=100V3Xy=150m.

故答案为150.

32.【答案】,1

3

【解析】解：由题意，直线。尸与平面&BD所成的角a的取值范围是[乙404,§U

[41OA1申

不妨取48=2.

在.△2。4中，如〃。&=悬=嬴=字

sinZ.C1OA1=sin(7r—2Z-AOA1)=sin2Z-AOAr

o.A/-IAAOArV6y/s2V2V6

=2smzXOX1cosz>lOX1=2x-xT=—>-,

•1•s讥a的取值范围是,1].

・•・s讥a的最小值为渔，最大值为1.

3

故答案为：虫，最大值1.

3

由题意，直线。尸于平面所成的角a的取值范围是亿404，§”"1。&,」然后

利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出s出a的取值范围，再确定其最值.

本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力,

属于中档题.

33.【答案】解：(1)对于复数2=肾+(62—4m)i,要使复数Z是实数,

需产27°,n-可得爪=4,即当皿=4时，复数Z是实数•

—4m=0

(2)对于复数z=降i+(m2-4m)i,要使复数z是纯虚数，

需jm—1=°且爪力0,可得巾=1,即当爪=1时，复数z是纯虚数.

(3)对于复数z=+(m2-4m)i,要使复数z=2+5i,

吗=2

需，m,可得m=-1,即当m=—1时，复数z=2+5i.

Im2—4m—5

【解析】(1)由题意利用复数为实数的条件，求得加的值.

(2)由题意利用复数为纯虚数的条件，求得优的值.

(3)由题意利用复数相等的充要条件，求得加的值.

本题主要考查复数的有关概念和运算，属于基础题.

34.【答案】解：(1)被统计的男生的人数与女生的人数相同，

女生且不喜欢综艺节目的人数约占2,男生且不喜欢综艺的人数约占支

由被统计的男生的人员人数为5x,

填写2X2列联表如下：

不喜欢喜欢合计

女生X4x5x

男生3x2x5x

合计4x6xlOx

n(ad-bc')2_10x-(x-2x-4x-3x)_5%

Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)5x-5x-4x-6x3

又•••有99%的把握认为喜欢综艺节目与性别有关，

•••y>6.635,BP5x>19.905,

故被统计的男生的人员人数至少为20人.

【解析】(1)根据题目所给的数据填写2x2列联表即可.

(2)计算左2,对照题目中的表格，得出统计结论.

第26页，共35页

本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，属于基础题.

35.【答案】解：函数/(%)=mx2一mx-1,

若对于第6［1,2］,/(%)<-m+4,

即_MX+TH—5<0对于％G［1,2］恒成立，

令g(%)=mx2—mx+m—5,

当m=0时，—5<0恒成立；

当机<0时，g(%)在［1,2］递减，可得=g(l)=m-5<0,解得m<5,

则zn<0；

当机>0时，g(%)在［1,2］递增，可得自(乃瓶。％=g(2)=4m-2m-1+TH-4<0,

解得0Vm<?.

综上所述，实数机的取值范围为(-8,|).

【解析】由题意可得tn/_mx+m-5<0对于iG［1,2］恒成立，讨论?n=0,m>0,

m<0,结合二次函数的图象和单调性，求得最大值，解不等式可得所求范围.

本题考查函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

36.【答案】解：(1)根据散点图中点的走势，y=L/适宜作为扫码支付的人数y关于

活动推出天数x的回归方程类型.

(2)y=c'dx,

两边同时取常用对数得，匈y=lg(c,胪)=Ige+Igd-x,

设Zgy=u,

••・u=Ige+Igd-x,

%=4,u=1.54,=140,阳%=50.12,

,XiUi-lxu50.12-7x4xl.547八cl

7；—=—=

•••Iqd=3£?=1*:一7%>2=--14-0-7-X42280.25,

把样本中心点(4,1.54)代入&=Ige+Igd•x,可得Ige=0.54,

••・Igy=0-54+0.25%，

•••y关于x的回归方程式为y—100.54+0.25%—100.54乂(100.25)%—3.4?X10025x-

(3)把第=8代入上式可得，y—347x102=347，

活动推出第8天使用扫码支付的人次为347人次.

【解析】(1)根据已知条件，结合散点图中点的走势，即可求解.

(2)根据已知条件，结合对数函数的公式，以及回归方程的公式，即可求解.

(3)将久=8代入到回归方程中，即可求解.

本题主要考查了回归方程的求解，以及对数函数的应用，属于中档题.

37.【答案】解：(1)因为f(久)=ex-x2+Inx,所以((久)=ex-2x+^,故灯=((1)=

e—1,

-1

又因为g