2021-2022学年浙江省绍兴市新昌县九年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年浙江省绍兴市新昌县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。请选出每小题中一个最符合题意

的选项，不选、多选、错选，均不给分）

1.（4分）成语“水中捞月”所描述的事件是（）

A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定

2.（4分）如图，已知48是△ABC外接圆的直径,ZA=35°,则的度数是（

A.35°B.45°C.55°D.65°

3.（4分）抛物线y=5（x+1）2-3的顶点坐标为（）

A.（1,-3）B.（1,3）C.（-1,3）D.（-1,-3）

4.（4分）在RtZ\ABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,则sinA的值是（）

A.3B.Ac.旦D.A

4553

5.（4分）已知扇形的圆心角为120°,半径为3c加，则弧长为（）

9%兀

A.———cmB.2ncmC.4cmD.cm

33

6.（4分）如图，在下列四个三角形中，与△ABC相似的是（）

7.（4分）如图，A8是。。的弦，0CLA2于点C,连接。8,点尸是半径02上任意一点,

连接AP,若0B=5,0c=3,则AP的长不可能是（）

8.（4分）如图，取一根等宽的纸条打个结再拉紧，重叠部分是正五边形，则FD：8尸的值

为（）

V5+1

A.hD.V5-1

22

9.（4分）如图,圆的半径为4,则图中阴影部分的周长是（

A.473B.873C.24D.2473

10.（4分）如图，在矩形ABCZ）中，A8=8,3C=6,顺次连结各边中点得至!I菱形481C1O1,

再顺次连结菱形421。。各边中点，得到矩形A282c2。2,再顺次连结矩形A222c2。2各

边中点，得到菱形A3B3C3D3,…，这样继续下去.则四边形A2022B2022c2022。2022的面积

为（）

Ci

D

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

11.（5分）布袋中装有1个红球和2个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随

机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率为

12.（5分）如图，点A,B,C是O。上的三个点，NC=50°,则NA08=

13.（5分）将抛物线y=27向左平移义个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的

函数表达式是

14.（5分）如图，在△A8C中，点。，E分别在AB,AC上，ZAED=ZB,AD=^.AC,

4

若四边形BCE。的面积为7,则△ADE的面积为.

15.（5分）某车在弯路上做刹车试验，收集到的数据如表所示:

速度X05101520a

(km/h)

刹车距离y00.7523.75612

（m）

则a=km/h.

16.(5分)如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=6,BD=2,以点B为圆心,

20长为半径作圆.点E为08上的动点，连结EC,作FCLCE,垂足为C,点尸在直

线BC的上方，且满足CF=1CE,连结BF,当点E与点D重合时，BF的值为:

2

点E在08上运动过程中，8尸存在最大值为.

三、解答题(本大题有8小题，第17-20小题每小题0分，第21小题10分，第22,23

小题每小题0分，第24小题14分，共80分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证

明过程)

17.计算：

(1)cos45°-2sin30°+tan60°.

(2)已知线段a=4,6=6,求线段a,b的比例中项c的长.

18.如图，在平面直角坐标系中有一个△48。，其中点A,2的坐标分别为(-4,2),(-

2,4).

(1)以坐标原点。为位似中心，作出△A02的一个位似△4021,并把△AB。的边长

缩小到原来的」.

2

(2)点C(-2.4,3.6)是边上一点，根据你所画图形写出它对应点的坐标.

19.在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小明做摸球试验，他

将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过

程实验〃次，如表是小明“摸到白球”的频数、频率统计表.

摸球试验次数n10100150200500・・・

摸到白球的频数2223139101・・・

m

摸到白球的频率0.2000.2200.2070.1950.202・・・

P

(1)观察表，可以推测，摸一次摸到白球的概率为.

(2)请你估计盒子里白球个数.

(3)若往盒子中同时放入x个白球和y个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是

0.25,求y与x之间的函数关系式.

20.如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰△ABC.经测量，钢条BC=600cm,

/B=38°.(精确到1cm,参考数据：sin38°~0.616,cos38°〜0.788,tan38°—0.781).

(1)求钢条AB的长.

(2)为了加固支架，现在顶部加两根钢条。E和。F,已知DELA8于点E,DF±AC

点F,求的长.

21.如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上.已知△ABC的边长为4,

记矩形。EFG的面积为S,线段8E为尤.

(1)求S关于x的函数表达式.

(2)当S=«时，求尤的值.

22.如图，已知。。是等腰AABC的外接圆，且AB=AC,点。是AB上一点，连结8。并

延长至点E,连结AD,CD.

(1)求证：平分NEDC.

(2)若NED4=72°,求前的度数.

23.在平面直角坐标系尤Oy中，如果抛物线y=o?+6x+cQW0)上存在一对点尸和p,

且它们关于坐标原点。对称，那么我们把点P和P'叫做这条抛物线的成对点.

(1)已知点尸(-2,机)与P是抛物线y=7-2x-4的成对点，求P的坐标.

(2)如图，已知点A与C为抛物线y=-/-2x+c的成对点，且A为该抛物线的顶点.

①求c的值.

②若这条抛物线的对称轴与x轴交于点8,连结AC,8C,点。是射线A8上一点.如果

ZADC=ZACB,求点。的坐标.

24.如图，在矩形A8CD中，AD^4cm,A2=2m,点E从点2出发，沿BC以每秒1的

的速度向点C匀速运动，当点E到达点C时停止运动，设点E的运动时间为f秒.连结

AE,过点E作E/UAE,E为垂足，点尸在直线8c的上方，且里」，以点尸为圆心，

AE2

BE为半径作圆，连结C?

（1）当r=l时，判断点C与OF的位置关系.

（2）当/>1时，OE是否会与矩形ABC。的边所在的直线相切，若相切，求出/的值,

若不相切，请说明理由.

（3）直接写出点尸的运动路径长.

2021-2022学年浙江省绍兴市新昌县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。请选出每小题中一个最符合题意

的选项，不选、多选、错选，均不给分）

1.【考点】随机事件.

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可.

【解答】解：水中捞月是不可能事件，

故选：C.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

2.【考点】圆周角定理.

【分析】由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得NAC2

=90°,又由/A=35°,即可求得NB的度数.

【解答】解：••.AB是△ABC外接圆的直径，

；.ZC=90°,

VZA=35°,

：.ZB=90°-ZA=55°.

故选：C.

【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.

3.【考点】二次函数的性质.

【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标.

【解答】解：：抛物线y=5（x+1）2-3,

...该抛物线的顶点坐标为（-1,-3）,

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标.

4.【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理可以求出AB的长，再根据三角函数的定义就

可以求出函数值.

【解答】解：由勾股定理知，AB=^/AC2+BC2=5.

•*.sinA=-^.=A.

AB5

故选：B.

【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义.

5.【考点】弧长的计算.

【分析】直接根据扇形的弧长计算公式乙=亚三代入求出即可.

180

【解答】解：•扇形的圆心角为120°,半径为3Mb

•••扇形的弧长计算公式乙=亚二=22空2Sl=2TTCd

180180

故选：B.

【点评】此题主要考查了扇形的弧长计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算是解

答本题的关键.

6.【考点】相似三角形的判定.

【分析】根据网格的特点，利用勾股定理求出△ABC各边的长度，求出三边的比，然后

结合四个选项即可得解.

【解答】解：设网格的边长是1,

22=,

贝！IAB=yj^+3/10-

BC=^22+22=2V2-

AC=\]2+]2=①

.".AC：BC：AB=A/2：2V2：-710=1：2：遥，

A、三边之比是，2：4：275=1：2：遥，故本选项符合题意；

B、三边之比是，V5：\f~L7-3近W1：2：娓,故本选项不符合题意；

C、三边之比是，V5：4W1：2：烟,故本选项不符合题意；

D、三边之比是，V2：3A/2：2烟片1：2：述,故本选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，网格图形的性质，分别求出各图形

的三角形的三边之比是解题的关键，计算比较复杂.

7.【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，求出长，再利用三角形边之间的关系进而

：OC_L48于点C,OB=5,OC=3,

：,BC=yl^_22=4,

；.AB=2X4=8,

'：AO^AP^AB,

.♦.5WAPW8,

的长度不可能是：9(答案不唯一).

故选：D.

【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AP的取值范围是解题关键，注意:

垂直于弦的直径平分这条弦.

8.【考点】相似三角形的判定与性质；正多边形和圆.

【分析】根据正五边形的性质得到/BC£)=108°,CB=CD,证明根

据相似三角形的性质计算即可.

【解答】解：：五边形A8COE为正五边形，

NBCD=("、180。=]08。,CB=CD,

5

:.NCBD=NCDB=36°,

由题意得：BF=BC,

：.ZBFC=ZBCF=12°,

：.ZDCF=108°-72°=36°=ZCBD,

.：NCDF=NBDC,

:.△CDFsABDC,

••D•F—=—CD,|Aa|Jn—DF=BF,

CDBDBFDF+BF

整理得：DF2+DF-BF-BF2=O,

解得：FD-.BF=m7,

2

故选：A.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正五边形的性质，掌握相似三角形的

判定定理和性质定理是解题的关键.

9.【考点】正多边形和圆.

【分析】根据正六边形的性质即可解决问题.

【解答】解：如图，连接04OB,过点。作OULAB于C,

根据图形可知：

ZOCB=90°,ZOBA=30°,圆的半径08=4,

0C=2,

:.BC=2如,

：.AB=2BC=443>

图中阴影部分的周长=6X4«=24愿.

故选：D.

【点评】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正六边形的性质.

10.【考点】规律型：图形的变化类.

【分析】根据中点四边形的面积等于原四边形面积的一半即可解决问题.

【解答】解:根据中点四边形的性质可知，AiBiCiDi,4333c3。3…是菱形，

A282c2。2、A484C4D4…是矩形，

四边形A181C1D1的面积=1•$矩形ABCD,

2

四边形A222c2。2的面积=」X四边形AlBlClDl的面积=(工)矩形ABCD,

22

四边形A323c3/)3的面积=(A)3畤矩形ABCD,

2

,•,?

，四边形的面积=(―)"・S矩形ABCD=48・(』)"，

22

四边形A2022B2022C2022D2022的面积为:

48X(A)2022=3义24义_I_=_3_.

22202222018

故选：B.

【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质，中点四边形等知识，解题的关键是

学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，记住中点四边形的面积等于原四边

形面积的一半，属于中考常考题型.

二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)

11.【考点】概率公式.

【分析】根据概率公式求解即可.

【解答】解：•••从布袋里随机摸出一个球，共有3种等可能结果，其中所摸到的球恰好

为红球的只有1种结果，

，所摸到的球恰好为红球的概率为上，

3

故答案为：1.

3

【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率PG4)=事件A可能出现的结果数

个所有可能出现的结果数.

12.【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系.

【分析】直接利用圆周角定理求解.

【解答】解：:/AOB和/ACB都对窟，

.•.NAOB=2NC=2X50°=100°.

故答案为：100.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

13.【考点】二次函数图象与几何变换.

【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可.

【解答】解：抛物线＞=27的顶点坐标为(0,0),

先向左平移工个单位再向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为(-1，-2),

22

所以，平移后的抛物线的解析式为y=2(x+1)2-2.

故答案为：y=2(x+1)2-2.

2

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，

上加下减.并根据规律利用点的变化确定函数解析式.

14.【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积.

【分析】根据NA即=/8可得进而可知其面积之比，再根据四边形

BCED的面积为7,可求出△ABC和△ADE的面积.

【解答】解：；/AED=NB,/DAE=NCAB,

：.ADAEVACAB,

4

•••AD=3—,

AC4

S

.AADE,3x29

,'SAABC-一而，

.7

,,S四边形KDE=^5-SAABC，

,/四边形BCED的面积为7,

••S/^ABC~16,

S/\ADE=9•

故答案为：9.

【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题

关键.

15.【考点】二次函数的应用.

【分析】根据列表给出的点的坐标，设出函数的解析式，然后用待定系数法求出函数的

关系式把y=12代入解析式即可得到结论.

【解答】解：如图，设函数的解析式为y=o?+公+c,

:图象经过点（0,0）、（10,2）、（20,6）,

.*.c=0,

2=100a+10b+0

6=400a+20b+0

1

a-

100

解得

1

b=io-

...函数的解析式为y^—L^r+^x,

10010

当y=12时，即—匚^+，^=12,

10010

解得x=3O（负值舍去）,

§Pa—30km/h,

故答案为：30.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据列表得出函数大致图象，进而求出函数

关系式是解题的关键.

16.【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质.

【分析】第一个问题利用勾股定理求解，第二个问题证明△AC/SZXBCE,推出空=蚂

BECB

=工可得4尸=1,再根据代，求解即可.

2

【解答】解：如图1中，当点E与点。重合时，

：2C=6,BD=2,

：.CD=BC-BD=6-2=4,

•：CF=1CD,

2

；.CF=2,

VZFCB=90",

BF=I/CF2+BC2=722+62=2VIo，

如图2中，连接AF,BE.

VCF±CE,

：.ZFCE=ZACB=90°,

・•・/ACF=/BCE,

VAC=3,BC=6,CF=1-CE,

2

•.•AC一_CF_1,

BCCE2

AACF^ABC£,

•AF=AC=1

"BECBI"

,:BE=2,

：.AF=1,

VZACB=90°,AC=3,BC=6,

AB=lAC24cB2=V32+62=3疾,

BFWAF+AB=1+3遍，

尸的最大值为1+3遥.

故答案为：2y5,375+1.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找

相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题（本大题有8小题，第17-20小题每小题0分，第21小题10分，第22,23

小题每小题0分，第24小题14分，共80分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证

明过程）

17.【考点】比例线段；解直角三角形.

【分析】（1）根据特殊角的三角函数值从左向右依次计算即可；

（2）根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案.

【解答】解：⑴cos45°-2sin30°+tan60°

=亚_2><」+仃

22

=廷_]+V§；

2

(2)由题意得，<?—ab,

'."a=4,b=6,c>0,

:.c=2\f^),

故线段a,b的比例中项c的长为2遍.

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

18.【考点】作图-位似变换.

【分析】(1)根据位似图形的性质，分在同侧和异侧两种情形；

(2)利用位似图形的性质即可解答.

【点评】本题主要考查了作图-位似变换，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键，注

意两种情形.

19.【考点】利用频率估计概率.

【分析】(1)计算出其平均值即可；

(2)根据利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.2,然后根据概率公式计算即可；

(3)由题意列出方程，再整理即可.

【解答】解：⑴:摸到白球的频率为(0.200+0.220+0.207+0.195+0.202)+5仁0.2,

摸一次摸到白球的概率为0.2,

故答案为：0.2；

(2)盒子里白球个数为5X02=1；

(3)依题意得：————=0.25,

l+x+4+y

整理得：y与x之间的函数关系式为y=3x-1.

【点评】本题考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识

点为：部分的具体数目=总体数目义相应频率.

20.【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的性质.

【分析】(1)利用等腰三角形的性质得BD^300cm,再根据双二22_-381

cosB0.788

(cm)；

(2)根据NB的正弦可知。石=5。・5吊3=300*0.616心185(cm).

【解答】解：(1)在等腰△A3C中，ADLBC,

：.BC=2BD=60Qcmf

300cm,

VZB=38°,

一BD=300=381(cm),

cosB0.788

.,.AB的长为381cm；

(2)'：DE±AB

-,.Z)E=BD«sinB=300X0.616«185(cm),

.•.OE的长为185cm.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，熟练掌握锐

角三角形函数是解题的关键，属于常考题型.

21.【考点】根据实际问题列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性

质；矩形的性质.

【分析】(1)用x表示矩形的长和宽即可.

(2)根据函数表达式计算尤.

【解答】解：(1)•.•正△ABC,

/.ZB=60°,

•.•矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上，

AZBED=90°,BE=CF=x,E尸=4-2尤,

DE—BE,tan60°

:.S=EF・DE=6X，（4-2X）=-2愿/+4«尤.

（2）VS=V3-

/.-2Mxi+相&="底

.,.2X2-4x+l=0.

解得：x=l士亚.

2

V0<x<2.

2

【点评】本题考查二次函数的应用，将矩形的长和宽用尤表示是求解本题的关键.

22.【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角

定理.

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到乙M»B+/ACB=180°,根据同角的补角相

等得到根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；

（2）根据（1）的结论、结合三角形内角和定理求出/BAC,根据圆心角、弧、弦的关

系定理解答即可.

【解答】（1）证明：,••四边形AOBC为。。的内接四边形，

AZA£）B+ZACB=180°,

VZADB+ZADE=180°,

ZACB=ZADE,

'：AB^AC,

：.ZACB=ZABC,

：.NABC=ZADE,

由圆周角定理得：ZABC=ZADC,

：.NAOC=ZADE,

平分NEDC.

（2）解：,：4EDA=72°,

AZACB=ZABC=72°,

AZBAC=180°-72°X2=36°,

，前的度数为72°.

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆内接四边形是性质、圆周角定理、

圆心角、弧、弦的关系定理、等腰三角形的性质是解题的关键.

23.【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)先将P代入抛物线求出机，再由新定义“成对点”的概念求出尸'即可；

(2)①先求出抛物线顶点，再由新定义“成对点”的概念得C的坐标，再将C代入抛

物线即可求得c；②根据证明出△AOCS/VICB,再由相似三角形的性质

即可求得。的坐标.

【解答】解：⑴：点尸(-2,相)在函数尸/-2尤-4的图象上，

.•.当尤=-2时，y=(-2)2-2X(-2)-4=4,

...点P(-2,4),

:点尸(-2,4)与P是抛物线y=x2-2x-4的成对点，

.•.点P(2,-4)；

(2)®y=-x2-2x+c的顶点为A(-1,1+c),

：.C(1,-1-c),

-1-c=-1-2+c,

解得C=l；

@"：y=-x2-2x+l,

...函数的对称轴为尤=-L

：.B(-1,0),A(-1,2),

设直线OA的解析式为y=日，

:.k=-2,

・・y=-2x,

令y=-2x=-x2-2x+l,

解得x=l或x=-1(舍)，

：.C(1,-2),

-'-CA=V(-1-1)2+(2+2)2=2^5'

点在对称轴上，

设。(-L力,

,/ZADC^ZACB,

：.AADC^^ACB,

•••AB=AC,

ACAD_

•2媒

••--.——--------，

2娓2-t

.\t=-8,

【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，相似三角形的判定与性

质，解决此题的关键是理解新定义“成对点”以及证明出

24.【考点】圆的综合题.

【分析】（1）过点/作尸GLBC于点G,易证△ABESAEGF,根据相似三角形的性质

可得所=LE=Y1_,EG=LB=1,FG=LBE=L贝!]CG=2,利用勾股定理求出

22222

CP=H,则CF>EF,即可得出结论；

2

（2）过点F作FG±BC于点G,易证AABEs^EGF,根据相似三角形的性质得

四里_理」，在RtZ\ABE中，由勾股定理求出AE2MAB2+8E2M4+/2,可得

ABBEAE24

（4+z2）,FG=lBE=lt,然后分两种情况：①OF与矩形ABC。的边相切，②OF

22

与矩形A2CZ）的边CD相切，根据切线的性质即可求解；

（3）由题意可得点尸的运动路径为MN,作NGL8C于G,连接CN,利用相似三角形

的判定与性质以及勾股定理即可求解.

【解答】解：（1）过点尸作尸于点G,

AZAEB+ZEAB=90°,

VEFXAE,

；・NAEF=NAEB+NFEG=90°,

：.ZEAB=ZFEGf

VFGXBC,

:・NB=/EGF,

：.AABEsAEGF,

・EGJG二FF

*'AB=BE"AE

.,.EF=AAE=AXJ22=£L,EG=1-AB=1,FG=1BE=1

22VARRR2222

・•・CG=BC-BE-EG=2,

CF=A/CG2+FG2=V1L,

JCF>EF,

・••点。在OF外；

(2)过点尸作/GLBC于点G,

•・•四边形A3CD是矩形，

AZB=ZAEB+ZEAB=90°,

VEFXAE,

；・/AEF=NAEB+/FEG=90°,

:・/EAB=/FEG,

VFGXBC,

：.ZB=ZEGF,

：.△ABEs^EGF,

•EG_FG_EF_1；

"AB"BF'AE

*.•A烂=AB2+BE1=4+?,

.\EF=AAE=A(4+?),FG=^BE=kt,

2422

①OF与矩形ABCD的边AD相切时，延长GF于AD交于点P,

•.•四边形ABC。是矩形，

?.ZB=ZBAP+ZAPG=90°,

四边形A8GP是矩形，

；.PG=AB=2,

:.PF=2-FG=2-Ar,

2

,:PF=EF,

：.(2-Ar)2=X(4+P),解得f=2；

242

:EF=FQ,

：.(3-?)2=1(4+及)，解得a=4-生应，也=4+生巨(不合题意，舍去)；

433

综上所述，。尸是与矩形48C。的边所在的直线相切时，f的值为4-生巨或旦;

32

(3)由题意可得点尸的运动路径为MN,作NGLBC于G,连接CN,

ZACB+ZCAB^9Q°,

\'AC±CN,

:./ACN=NACB+NNCG=90°,

:.NCAB=NNCG,

-：NG±BC,

：.ZB=ZNGC,

：.AABCsACGN,

•CG_NG二CN_1,

"AB"CB"AC'2'

.•.CG=Xw=l,NG=%C=2,

22

•.•当点E和点8重合时，点尸在点M处.

2

；.MG=4+1-1=4,

MN=22

VMG+NG=742+22=2炳,

...点F的运动路径长为2后.

【点评】本题是圆的综合题，考查切线的性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，把问题转化为方程解决，学会添加常

用辅助线，构造相似三角形，属于中考压轴题.

考点卡片

1.规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化

规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.

2.二次函数的性质

2

二次函数>=以2+灰+。（〃20）的顶点坐标是（-也.，4ac-b对称轴直线

2a4a2a

二次函数〉=以2+版+。（〃W0）的图象具有如下性质：

①当〃>0时，抛物线y=o?+法+c（〃wo）的开口向上，xV-_L时，y随X的增大而减小；

2a

2

x>-2时，y随X的增大而增大；x=-2时，y取得最小值立二即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当〃V0时，抛物线y=o?+云+c（〃W0）的开口向下，xV-上时，>随1的增大而增大；

2a

2

x>-q_时，y随彳的增大而减小；X=--L时，y取得最大值4ac-b,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线y=ax1+bx+cQW0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-也|个单

2a

位，再向上或向下平移|4ac-b2।个单位得至ij的.

4a

3.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

4.根据实际问题列二次函数关系式

根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问

题.需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数

还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题.

②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数

与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何

知识建立量与量的等式.

5.二次函数的应用

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，

确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有

意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几

何中的最值的讨论.

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中

的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决

一些测量问题或其他问题.

6.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

7.三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底义高.

2

(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

8.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

9.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中

任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

10.等边三角形的性质

(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，

腰和底、顶角和底角是相对而言的.

(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边

的垂直平分线是对称轴.

11.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+/=02.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+/=°2的变形有：tz=>yc2_b2,b=g^及c=也瓦肃.

(4)由于aW=c2>«2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

12.矩形的性质

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在

的直线；对称中心是两条对角线的交点.

(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半.

13.垂径定理

(1)垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)垂径定理的推论

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

14.圆心角、弧、弦的关系

(1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它

们所对应的其余各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”

是指同为优弧或劣弧.

(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，

三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心

旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.

15.圆周角定理

(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.

(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

(3)在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能

技巧一定要掌握.

(4)注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形

的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转

化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，

把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

16.三角形的外接圆与外心

(1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

(2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

(3)概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三

角形的外心在三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆

只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.

17.正多边形和圆

(1)正多边形与圆的关系

把一个圆分成“(〃是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆

的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆.

(2)正多边形的有关概念

①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

18.弧长的计算

（1）圆周长公式：C=2nR

（2）弧长公式：/=迎旦（弧长为/,圆心角度数为“，圆的半径为R）

180

①在弧长的计算公式中，”是表示1。的圆心角的倍数，”和180都不要带单位.

②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长.

③题设未标明精确度的，可以将弧长用7T表示.

④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧

不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.

19.圆的综合题

圆的综合题.

20.比例线段

（1）对于四条线段八