维尔斯特拉斯的数学工作

第第页维尔斯特拉斯的数学工作维尔斯特拉斯写的

L0URMT]MTQEDWIRTAS'EVEAH~AIUEEESRSPAR

H.POINCAREPARIS.

loCequimefrappedanslacarri~remath~matiquedeWeierstrass,c'estlaremarquableunit~delapens~e,persistantktraversl'6tendueetlavari6tddesonoeuvre.D4sled~but,ils'estpropos6unbutbiend~termin6,ilacrY6desm~thodespourratteindre;et,s'ilaessay6quelquefoiscesm6thodessurd'autresprobl~mes,iln'ajamaisperdudevuel'objetfinaldesesrecherches.Auresteilaprissoinlui-mdmedenousenavertir.EnI857,ilentraitkl'Acad6miedeBerlinetdanssondiscoursderdception,ils'e*primaitainsi:))Jedotsmaintenante*pliquerenquelquesrootsquellea~t~jusqu'icilamarchedemes6tudesetdansquelledirectionjem'efforceraidelespoursuivre.Depuisletemps,offsousladirectiondemonmaitreGudermann,jefispourlapremiereloisconnaissanceaveclath~oriedesfonctionselliptiques,cettebranchenouvelledel'Analysemath6matiqueae*erc6surmonintelligenceunpuissantattraitdontl'influencesurled6veloppementdemapens~ea6t6d6cisive.Cettediscipline,fonddeparEuler,cultiv6eavecardeuretsucc~sparLegendre,s'~taitd'aborddtenduedunsunedirectionunique;matsellevenaitdepuisdi*ansd'etreboulevers4eenti~rementparl'introductiondesfonctionsdoublementp~riodiquesd6couvertesparAbeletJacobi.Cestranscendantes,dotantl'AnalysedegrandeursnouvellesdontlesAatamath~ti~a.22.Imprim6le26f6vrier1898.1

维尔斯特拉斯写的

2

H.Poincar~.

propri6t6ssontremarquables,trouvaientaussidesapplicationsenG6om6trieetenM6canlque,etmontraientpar1~qu'elles6talentlefruitnormald'und6veloppementnatureldelascience.MaisAbel,habitu6~seplacertoujoursaupointderueleplus61ev6,avaittrouv6unth6or6mequis'6tend~touteslestranscendantesr6sultantdel'int6grationdesdiff6rentiellesalg6briquesetquiestpourellesenquelquesortecequ'estceluid'Eulerpourlesfonetionselliptiques.Enlev6~lafleurdel'~ge,iln'avaitpupoursuivrelui-m6mesagranded6couverte,maisJacobienavaitbient6tfaitunesecondenonmoinsimportante;ilavaitd6montr6l'e*istencedefonctionsp6riodiquesdeplusieursargumentsdontlespropri6t6sprincipalessontfond6essurleth6orSmed'Abeletparl~ilavaitfaitconnaltrelav6ritablesignificationdeceth6orne.Larepr6sentationeffectivedecesgrandeurs,dontl'analysen'avaitencoreaucune*emple,l'6tuded6taillSedeleurspropri6t6sdevenaitdoncl'undesprobl~mesfondamentau*desMath6matiques;et,d~squej'eneuscomprislesensetl'importance,jer6solusdem'yessayer.C'efit6t6unev6ritablefolie,sij'avaisseulementvoulupenser~lasolutiond'unpareilprobl~me,sansm'y~trepr6par6parune6tudeapprofondiedesmoyensquidevaientm'yaideretsansm'~tree*erc6d'abordsurdesprobl~mesmoinsdifficiles...))Ainsi,ilaeudepuis~esd6buts,l'ambitiondecr6eruneth6oriecompleteet

coh6rentedesfonctionsab61iennes.D~ssonentr6cdanslacarri~re,encore615vedeGudermann,ilvoltavecnettet6lebutverslequelilmarcheratoutesavie,ilnel'oublierajamaisetchercherasanscesse~s'enrapprocher.Oncroiraitvoirunsavanting6nieurattaquantuneplacetr~sforte;traverslacomplicationdestravau*d'approche,~traversleslonguesp~rip6tiesdusi~ge,l'unit6desapens6epersisteetrestetoujoursvisible.Cependant,bienentendu,lesinstrumentsqu'ilcr6aitainsipouvaientservir~biend'autresbesognes;~droiteet~gauchedelagranderoutequ'ilsuivait,ilaouvertbiendesvoieslat6ralesetils'yestengag6assezavantpournousmontreroffellesconduisaient.I1yaguid6lespremierspasdeses618yesetleuraassign6~chacununbut.Aussiquelquenombreu*qu'aient6t6ces61~ves,sonh6ritagea6t6assezrichepourquechacund'eu*aitpus'ytaillerunelargepart.

维尔斯特拉斯写的

L'oeuvremathgmatiquedeWeierstra

0

Pouratteindresonbut,legrandg~om~treavaittrois~chelonsgravir:i~Approfondirlath~orieg4nSraledesfonctions,d'abordcelledesfonctionsd'unevariable,puiscelledesfonctionsdedeu*variables;c'~taitl~labasesurlaquelletoutelapyramidedevaits'~lever.2~Lesfonctionsab~liennes~tantl'e*tensionnaturelledesfonctionselliptiques,ilfallaitperfectionnerluth~oriedecesderni~restranscendantesetlamettresousuneformeohlag~ndralisationdevlntfacile.3~I1restaitenfin~attaquerleafonctionsab~lienneselles-m~mes.

Q

Maisceseraitreallecomprendrequedepenserqu'enpoursuivantundesseinunique,ilan~glig6lesautrespartiesdel'Analyse.Quandilabordaitd'autresprobl~mes,cen'6taitpasuniquementpours'e*ercer,commepourraitlefairecroireunedesphrasesdesondiscoursacad6miquequej'aicit6esplushaut.Nulaucontrairen'avai~l'espritpluslarge,et,s'ilrestaitainsiattach6~sonplandecampagne,c'estqu'i|enattendaitdesr6sultatsd'uneport6euniverselle.Telung6n6ralmarchedirectementsurlacapitaledel'ennemi,sachantbienque,d6squ'ill'auraatteinte,toutlepaystomberaensonpouvoir.I1r6vaitdoncsinonpourlui-m6me,aumoinspoursessuccesseurs,debienplusvastesconqu~tes.Sicesesp6rances,qui~sesd6butsdevaientluisemblerbienlointaines,ontfiniparser6aliserengrandepattie,c'estqu'iln'estpasrest6seul.Sonenseignemen~aform6denombreu*disciples,etadonn6aumaitrerouteunearm6e,quiacceptaitsadirection,etqu'illan~aitenavant,nepouvantallerpartoutlui-m~me.C'estpourcelaqu'ilestsidifficilederendreuncomptee*actdestravau*math6matiquesdeWeierstrass;cen'estpasseulementparcequesonoeuvreimprim6eestconsid6rable;c'estsurtoutparcequecetteoeuvrenelecontientpastoutentier.

维尔斯特拉斯写的

4

H.Poinoar4.

Longtempslesplusimportantsdesesouvragessontrest6sin6ditsetc'6taitdanssonenseignementoralqu'ilprodiguaitlestr6sorsdesascience;

quederichessesencoreaujourd'hui,nenoussontconserv~esqueparlam6moiredesesauditeurs.Heureu~ementles61~vessepressaientenfouleautourdesachaireetailmentensuiteporterauloinsoninfluence.L'espritdeWeierstrassinspiraitaussinonseulementceu*quiavaienteulebonheurd'entendresaparole,maisceu*quin'enavaientre~uqu'un6choindirect.Aussidans1'oeuvredebeaucoupd'entrenous,ilpourrait16gitimementrevendiquerunepart.Danssesderni~resann6es,sasant6l'avaitoblig6~abandonnercetenseignement;ilvieillissaitentourddurespectetdel'admirationdetous,s'occupanttranquillementdelapublicationdesestravau*aveclajoiedevoirsonoeuvrecontinu6eparleshommesqu'ilavaitanim6sdesonesprit.

Th~oriedesfonctions.o

Aucommencementdusi~cle,l'id6edefonction6taitunenotionlaloistroprestreinteettropvague.D'uneparteneffetlesfonctionsdiscontinues,lesfonctionsd6pourvuesded6riv6es,ou6taientinconnuesou6talentregard~escommedescr6ationspurementartificielles,indignesdel'attentiondug6om~tre.One*c]uaitdoncdel'analysetoutundomainequ'elles'estdepuisanne*6;maisd'autrepartonaurait6t6bienembarrass6s'ils'6taitagid'6noncer,d'unemani~renetteetpr6cise,lesconditionsn6cessairesetsuffisantespourconf6rcr~unefonctionledroitdecit6.LafrontiSreentrelesfonctionsanalytiquesetlesautres6taitloind'etrecomplStementtrac6e.Enr6alit6,commeparunh6ritagedfiau*fondateursducalculinfinit6simal,quis'6taientd'abordpr6occup6sdesapplications,onsereportaitinconsciemmentaumodulequinousestfourniparlesfonctionsconsid6r6esenm6caniqueetonrejetaittoutcequis'6cartaitdecemodule;onn,6taitpasguid6paruned6finitionclaireetrigoureuse,maisparunesorted'intuitionetd'obscurinstinct.

维尔斯特拉斯写的

L'oeuvremath~matiquedeWeierstrass.

5

Cetted6finition,ilfallaitladonner;carl'analysenepouvaitqu'~cepri*acqu6rirlaparfaiterigueur.Aujourd'huitoutestbienchang6;ondistinguedeu*domaines,Funsanslimites,Uautreplusrestreint,maismieu*cultivd.Lepremierestceluidelafonctioneng6n6ral,lesecondceluidelafonctionanalytique.Danslepremier,touteslesfantaisiessontpermiseset~chaqueinstantnoshabitudessontheurt6esetnosassociationsd'id6esrompucs;nousyapprenonsainsi~nousd6fierdecertainsraisonnementspar~peupr6squiparaissaieI~tconvaincantsknosp6res;~,nousabstenirdetellesconclusionsqui1curauraientparu16gitimes.Danslesecond,aucontraire,cesconclusionssontpermises;maisnoussavonspourquoi;ilasuffideplaceraud6butunebonned6finition;etonavureparaltreunerigoureuselogique.Voil~lecheminparcouru;nousallonsvoircommentWeierstrassacontribu6knousyguider.Jeciteraid'abordunenoteluegl'Acad6miedeBerlinleI8juilletI872,eto{1Weiers~rassacit6dese*emplesdefonctionscont

inuesd'unargumentr6el,quipouraucunevaleurdecetargument,neposs6dentuned6riv6ed6termin6e.I1yacentans,unepareillefonctioncut6t6regard6ecommeunoutrageausenscommun.Unefonctioncontinue,aurait-ondit,estparessencesusceptibled'etrerepr6sent6eparunecourbeetunecourbea6videmmenttoujoursunetangente.Unpareilraisonnementn'aaucunevaleurmath6matique;ilestfond6suruneintuition,ouplut6tsurunerepr6sentationsensible.Maiscetterepr6sentationestgrossi6reettrompeuse.Nouscroyonsnousrepr6senterunecourbesans6paisseur;maisnousnenousrepr6sentonsqu'untraitd'unefaible6paisseur.Nousvoyonsdem~melatangentesouslaformed'unebanderectilignedefaible6paisseur;etquandnousdisonsqu'elletouchelacourbe,nousvoulonsdiresimplementquecesdeu*bandesempi6tentl'unesurl'autresanssetraverser.Sic'estlkcequ'onappelleunecourbeetunetangente,ilestclairquetoutecourbeaunetangente;maiscelan'aplusrienb~voiraveclath6oriedesfonctions.Onvoi~~,quelleserreursnouse*poseunefolleconfiancedanscequ'onprendpourl'intuition.Parlad6couvertedecete*emplefrappant,Weierstrassnousadonedonn~unutileavertissementetnousaappris

维尔斯特拉斯写的

6

H.Poinear~.

mieu*appr6cierlesm4thodesimpeccablesetpurementarithm6tiquesdontila,plusquepersonne,contribu6~doterlaScience.Dum~mecoup,ilenrichissaitledomainedesfonctionsnonanalytiques,offtantdesurprisesnousattendentencore.

1

Maiscen'Staitlhqu'unecourtee*cursionhorsducheminsidroitqu'ils'6taittrac6etdontilnes'estjamaislongtemps6cart6.SurCechemin,cequ'ilrencontrait,c'6taitledomainedesfonctionsanalytiques,qu'ildewfitd'oborde*plorer~fond,s'ilvoulaitatteindresonbut.Lathdoriemodernedesfonctionsanalytiquesaeuquatrefondateurs,Gauss,Cauchy,l~iemannetWeierstrass.Gaussn'arienpubli5desonvivant;iln'avaitpourainsidireriencommuniqu6~personneetsesmanuscritsn'ont6t5retrouvdsquelongtempsapr6ssamort.I1n'adonce*erc6aucuneinfluence.Lestroisautresg6om6t.resjquiontcontribu6~crSerlanotionnouvelledefonctionontsuividesvolesbiendi~drentes.Cauehyapr6c6d6lesdeu*autresetleuramontr6lechemin;maisnSanmoinslestroisconceptionsrestentdistinctesetcelaestfortheureu*,puisquenousavonsainsitroisinstrumentsentrelesquelsnouspouvonschoisiretdontnouspouvonssouventcombinerl'action.PourCauchyladdfinitiondelafonctionconserveencoreunpeudel'inddcisionqu'elleavaitchezsesdevanciers.I1imposeseulementau*fonctionsanalytiquesquelquesconditionsrestrictives,commecelled'avoiruned6riv6econtinue.Toutreposesurunth6or6metr6ssimplerelatifau*intdgralesimaginairesetsurlanotionder6sidu.Unefonctionquelconquepeutdtrerepr6sent6eparuneint6graled6finieetdevientainsimaniablepourl'anulyste,quelquevaguementd

dfiniequ'ellenitdt6aud6but.C'estl~unavantagepr6cieu*etaujourd'huiencoreles))r6sidus))nousdonnentlasolutiondeprobl6mesquenousnepourrionsrdsoudreSailseu*.

Lath.6oriedeCauchycontenaitengermeh10foislaconceptiongdom6triquedeRiemannetlaconceptionarithm6tiquedeWeierstrass,et

维尔斯特拉斯写的

I?oeuvremath~matiquedeWeierstrass.

7

ilestais6decomprendrecommentellepouvait,ensed6veloppantdansdeu*sensdiff6rents,donnernaissance~l'uneet~l'autre.PourRiemann,l'imageg6om6triquejouelerbledominant;unefonctionn'estqu'unedesloisd'aprbslesquclleslessurfacespeuventsetransformer;oncherche~serepresentercestransformationsetnon~lesanalyser;leurpossibilit6mdmen'est6tabliequeparunraisonnementsommaireauquelonn'apu,beaucoupplustard,donnerlarigueurqu'aupri*demodificationsprofondesetded6tourscompliqu6s.Weierstrassseplace~l'e*trdmeoppose;lepointded6partestlas6riedepuissances,))l'616mcntdelafonction))quiestconfin6dansunccrcledeconvergence;pourpoursuivrelafonctionendehorsdececercle,nousavonsleproc6d6delacontinuationanalytique;toutdevientainsiunecons6qucncedelath6oriedess6riesetcetteth6orieestelle-mOne6tablicsurdesbasesarithm6tiquesetsolides.Noussommesd6barrass6sdesdoutesqui,ausi6cledernieretdanslapremi6remoiti6deccsi6cle,assaillaientsouventlespenseurs~proposdesprincipesducalculinfinit6simal,etaussideceu*quepouvaitprovoquerparseslacuneslath6oriedesfonctionsanalytiquesdeLagrange.Toutcelan'estplusaujourd'huiquedel'histoireancienne.LaconceptiondeWeierstrassprSsenteundoubleavantage:I~Elleest,commenousvenonsdelevoir,parfaitementrigourcuseetcetterigueurestobtenuepardesmoyenslesplussimples.2~Ellesladapteavecunegrandefacilit6b~lag6n6ralisation,etpeuts'6tendreau*fonctionsdeplusieursvariables.Entrecestroisconceptionsgardons-nousdechoisir;chacuneasonr61en6cessaire.Avecl'instrumentdel~iemann,l'intuitionverrad'unseulcoupd'oeill'aspectg6n6raldeschoses;commeunvoyageurquie*amineduhautd'unemontagnelatopographicdelaplainequ'ilvavisiteretapprenddelasorte~s'yorienter.Avecl'instrumentdeWeierstrass,l'analyse6clairerasuccessivementtouslesrecoinsetyferap~n6trerl'absolueclart6.Enunmot,'lam6thodcdeRiemannestavanttoutunem6thodeded6couverte,celledeWeierstrassestavanttoutunem6thodeded6monstration.

维尔斯特拉斯写的

8

H.Poinear6.

o

LaprincipalecontributiondeWeierstrassau*progr~sdelath6oriedesfonctionsestlad6couvertedesfacteursprimaires.Lesplussimplesdestranscendantessontlesfonctionsenti~resquin'ontdepointsingulierqu'~l'infini.Unepareilletranscendanteesttoujoursleproduitd'uneinfinit6de))facteursprimaires));chacundecesfaeteursestlui-m~meleproduitd'unpolynSmedupremierdegr6parunee*ponentielle

dontl'e*posantestunpolynSmededegr6q;lefacteurprimaireestditalorsdegenreq.Acetted6couverteserattachelaclassificationdesfonctionsenti~resengenresdontl'importancearithm6tiquea6t6r6cemmentmiseen6videneeparM.Hadamard.Unefonctionestdegenreq,lorsquetoussesfacteursprimairessontdegenreqauplus.Weierstrassatrouv6l~6galementlemoyendeconstruireunefonc.tionentiSreayantdeszSrosdonn6s.Aceth6orSmeserattachedireciementceluideM.Mittag-Lefflersurlesfonctionsm6romorphes.Cesdeu*th6or~mespermettentlaconstructionfaciledesfonctions6(u)etfd(u)quiont6t6commenousleverronsplusloin,lesprincipau*instrumentsdeWeierstrassdansla~hdoriedesfonctionselliptiques.C'estsansdoutecetteperspectivequiadirig6danscettevoleleseffortsdugrandg6omStreallemand;maisil..enaretir6biend'autresfruits.Laportdedelam6thodenouvelled6passaiteneffetdebeaucoup]aquestionparticuliSrequ'ilavaitvoulur6soudreetpourlaquelleill'avaitcr56e.Elles'6tenditsanspeine,grsau*travau*personne]sdeWeierstrassethceu*deM.Mittag-Leffler,au*fonctionsquipr6sententdespointssinguliersessentielsisol6s,puis~cellesquiadmettentdes~si~larit6spluscompliqu6esetm~medeslignessinguli6res.C'estdoncunedesmdthodeslesplusgdn6ralesdel'analyse.C'estdanscetordred'id6esqueWeierstrassa6t6conduit~6tudierlarepr6sentationdesfonctionsparless6riesdontlestermessontdesfractionsrationnelles.

维尔斯特拉斯写的

L'oeuvremathdmatiquedeWeierstrass.

I1a,enmultipliant,lese*emples,bienmontr6commentunepareilles6riepeutrepr6senterdansdeu*domainesdiff6rentsdeu*fonctionsdiff6rentes;kcetteoccasion,ila6claircilanotiondeslimitesnaturellesd'unefonctionetparlklanotionfondamentaledefonetionanalytiqueelle-m~me.C'estdepuiscem6moirequerouteobscurit6aenfindisparu.

o

Mais,pourl'6tudedestranscendantesab61iennes,lath6oriedesfonctionsd'unevariablenesuffitpas;ilfautapprofondircelledesfonctionsdeplusieursvariables.Aussil'illustreg6om~treallemandn'acess6des'enp%occuper;ildevaityrencontrerdesdifficult6snouvelles;carilsetrouvaitpriv6del'usagedesfacteursprimairesquiluiavaient~t6siutilesdanasesrecherchessurlesfonctionsd'uneseulevariable.Ilapun6anmoins,mettrehorsdedouteunefouledeth6o%mesquilui6taientn6cessairespoursonobjet,etqu'onadmettaitsouventsansenavoircomprislev6ritablesensetlaport6e.Sat~cheluia6t6facilitdeparl'emploicontinueld'unedesnotionsqu'ilavaitcr66es,celledes$16mentsdefonetion.

o

Pouravoirledroitderepr6senterainsitouteslesfonctionspardess6riesetpourpouvoirsanscrainteseservirdecetterepr6sentationdanstouteslesquestionsdecalculint6gral,ilfallaitfairevoirqu'onpeut6galer~unes6riedepuissancestoutefonctionimplicitetir6ed'unsyst~med'6qu

ationsdontIespremiersmembressontdess6riesdepuissances;oul'int6graled'une6quationdiff6rentielledontleacoefficientssontdess6riesdepuissances.Cetimportant~h6or~medevuitdtrepourWeierstrassunedespierresfondamentalesdesonsyst~me.Onsaitqu'ila6t66tablipourlapremiereloisparCauchy.En1842,Weierstrasspubliaunem6moireoffild6montredenouveaucettepropositiond'unemani~reanaloguekcelledeCauchy.I1avait6tedevanc6~soninsuparlesavantfran~ais,maisilconserven6anmoinsunelargepartd'originalith.L'uniformit6delaconAsiamatl~maF~aa.22.Imprim6le26f6vrier1898.2

维尔斯特拉斯写的

10

H.Poincar~.

vergence,lafagondontles616meritsdefonctionssed6duisentlesunsdesautresparcontinuationanalytiquesontdesquestionsqu'il6tudiekfond.D'unautrec6t6,aupointdevuedidactique,sonmoded'e*positionpr6sentedegrandsavantages;sa))fonctionmajorante))estplussimpleetplusmaniablequecelledeCauchy;lesin6galit6sdud6butsonttir6esdespropri6t6s616mentairesdess6ries,etnonplusdelaconsiderationd'int6gralesimaginaires.C'estlkunprogr6s,ilyavaitint6rgtkmontrerquandcetteconsid6rationestindispensableetquandonpeuts'enpasser.Onvoltparcete*emplecommentlafagondontlemath6maticienallemandcon~oitlafonctionddrivedelaconceptiondeCauchy,maisenl'all6geantd'unbagageinutile.Weierstrassaappliqu6lui-mgmeeettem6thodekunefouledequestionsetmgmeklad6monstrationdel'e*isteneedesracinesd'une6quationalg6brique.Maisc'estsurtoutentrelesmainsdesesdisciplesqu'elleadonn6sesprincipau*r6sultats.Mm~Kowalevskiraappliqu6eau*6quationsau*d6riv6espartielles,etM.Fuchsau*6quationsdiffrentielleslin6airesaveclesuec6squeronsalt.

e

Underniertravailquiserapporteindirectementklath6oriedesfonctionsestceluiquel'illustremath6maticienaconsacr6auprincipedeDirichlet.Parune*emplefrappant,ilamontr6combienestfragilelad6monstrationdeceprincipedontons'6taitlongtempscontent6.C'estsurceprincipepourtantqueRiemannavaitvoulub/rtirroutesathdoriedesfonctions;cetteassisefondamentalen'dtaitpassolideetsionnevoulaitlavoirs'6croulerenentralnanttoutl'6dificedanssachute,ilfallaitsoigneusementl'6tayer;c'estcequ'ontfaitdepuisM.Schwarzetd'autresdisciplesdeWeierstrass

Fonctionselliptiques.

10.LaformequeJacobiavaitdonn6eklath6oriedesfonctionselliptiques6taitloind'gtreparfaite;lesd6fautsensautentau*yeu*.

维尔斯特拉斯写的

L'oeuvremathdmatiquedeWeierstrass.

11

Alabasenoustrouvonstroisfonctionsfondamentalessn,cnetdn.Cesfonctionsfrontpuslesm6mesp6riodes;pourrune4Ket2iK,pourl'autre4Ket2K+2iK';pourlatroisi6me2Ket4iK'.Sionveutlesrapportertoutestrois~unmdmesyst~medep6riodes,ilfautprendre4Ket4iK';maisparmilestranscendantesquiadmettentcesp6riodes,lesf

onctionsdeJacobisn,cn,dnnesontpaslesplussimples;ellesontquatreinfinisetlesplussimplesn'enontquedeu*.Danslesyst6medeWeierstrass,aulieudetroisfonctionsfondamentales,nousn'enavonsplusqu'uneSo(u)etc'estlaplussimplederoutescellesquiontmdmesp6riodes.Ellen'aqu'unseulinfinidouble;etenfinsad6finitionesttellequ'ellenechangepasquandonremplaceunsyst~medep6riodesparunautresyst6me6quivalent;aucontrairecettesubstitutionproduiraitentrelesfonctionsdeJacobidespermutationsdontlaloiestinutilementcompliqu~e.Danslaplupartdesprobl6mes,ilsuffitdeconsid6rerSo(u)et1'introductiondesn,cn,dnneseraitqu'unecauseartificielledecomplication.Sansdouteilenestd'autresohcetteintroductionseraitplusnaturelle;maisdansceu*-l~mdme,WeierstrasslesremplaceavecavantageparlestroisfonctionsLesformulesquilesrelientlesunesau*autressontremarquablementsym6triquesetpeuventsed6duirelesunesdesautresparpermutationcirculaire.I1n'en6taitpasdem~meaveclesanciennestranscendantessn,cn,dn;lemoduleentraitdanslarelationquireliesnhdn,iln'entraitpasdanscellequireliesn~cn.Riennejustifiaitcettedissym6triequi6taitparfoisgdnante.

ll.D'autrepart,lerblepr6pond6rantquejouelemoduleksecomprendreal.Lemodulekn'estpaslaplussimplederouteslesfonctionsmodulaires,puisqu'~unm6mesyst6medep6riodespeuventcorrespondreplusieursvaleursdumodule.Ler61edumodulen'estpaslem~meparrapportau*deu*p6riodesetilenr6sulteunedissym6trieartificielledanslesformules.

维尔斯特拉斯写的

12

H.Poinoar~.

Pourcalculerlemodule,ilfautr6soudreune6quationdu4~degr6;cetter6solutionest6vit6e,sionprendpourargumentsfondamentau*lescoefficientsdupremiermembredecettedquation,ouplut6tlesinvariantsdecepolyn6me.CesontcesinvariantsqueWeierstrassaappel~sg~etgsL'invariantabsolu

j=g_

estlaplussimpledetouteslesfonctionsmodulaires;e'estl'616mentessentieletnaturelquidoitremplacerk,comme9(u)aremplae6gl~en~dn.

12.Uneuutrecat6goriedetranscendantesdontl'importanceestfondamentale,cesontlesfonctionsO.L~encorelesnotationsdeJacobinesontpassansinconv6nient.Lesformulesdetransformationrebutentlam6moireparleurd~fautdesym6trie.LesquatrefonctionsOet/IdeJacobinesontqu'uncasparticulierdefonetionsbeaucoupplusg6n6rales,lesfonctions0desdiff6rentsordres,commeM.}Iermitel'amontr6dansunm6moireaussiconcisquesubstantiel.MaiscesfonctionsdeM.Hermitepeuventelles-mdmes~treg6n~ralis6esetile*isterouteunecat6goriedefonStionsqueBriotetBouquetont,jenesaispourquoi,appel6esinterm6diairesetquisereproduisentmultipli6esparunee*ponentiellequandlavariableaugmented'unep6riode.Parmielles,quelleeatcellequidoit5trechoisiecomme616mentsimple?Cenepeuvent

dtrelesquatrefonctionsdeJacobidontlesrapportssontlesquantit6ssn,cnetdnd6j~condamn6espourlesraisonsquenousavonse*pos~esplushaut.Cenepeut~trenonplusunedesfonctionsdeM.Hermite,cardanscesfonctionslesdeu*p6riodesnejouentpaslem~mer61e;desortequecestranscendantesprennentuneinfinit6deformesdiff6rentesquandonremplaceunsystgmedepgriodesparunautre6quivalent.Weierstrasss'estpr6oceup6dgssesd6butsdecechoi*d'un616mentsimpleetilaadopt6d'abordlafonctionqu'ilaappel~eAletquinechangepasquandonchangelesystgmedep6riodesmaisdefagonquelemodulerestelemSme.

维尔斯特拉斯写的

L~oeuvremath~matiquedeWeierstrass.

13

I1aabandonn6plustardcettefonctionAlenm~metempsquelemodulelui-m~me,etilachoisicomme616mentnouveaulafonction6qui,d'aprsad6finition,nechangepasquandonremplacelesyst~medesp~riodesparunautresystne6quivalentquelconque.Lesformulesatteignentainsilearma*imumdesimplicit6.Maiscependantlafonction6n'apasd6finitivementd6trSn6lesfonctions0etenparticuliereellesdeM.Hermitecomme~o(u)ad6trSn6sn,cnetdn.Lasimplieitddud6veloppementdesO,larapidit6delaconvergence,l'616gancedeleurspropri6t6s,leurassureuneplaceimportanteetdecetteplaceellesneserontj.amaisd61og6es.I1fautseulementsavoirpasserrapidementde6au*0etdes0~t6.

13.I1yabiendesmani6resdecommencerl'e*positiondecetteimportanteth6orie.CellequeWeierstrassaprdfdr6eestbiencurieuse;ilsedemandesquellesconditionsunefonctionpeutadmettreunth6or~med'addition.Cettepr6dilections'e*pliqueais6ment;carc'estainsiqu'ilseproposaitd'introduiresesauditeursdansledomainedesfonctionsab61iennesquandiIenauraitachevdlath6orie;cettefa~ondeprdsenterleschosesluiplaisaitparsag6n6ralit6,quirendaitfacilel'e*tensionqu'ilavaitenvue.OntrouveralesformulesdeWeierstrassrelativesau*fonctionselliptiquesr6uniesdansunrecueilqueM.Schwarzpublieavecunsoine*tr6me;maisonneserendracomplementcomptedelamarchedesesid6esqu'ensereportantau*m6moiresoriginau*.

Fonctionsabdliennes.

14.Weierstrass,commejel'aidit,s'esttoutesaviepr6occup6desfonctionsab61iennes;danslapremierep6riodedesacarri~re,ils'efforeed'6tendre~cestranscendantes,etenparticulierau*fonctionshyperelliptiques,lespropri~t6srdesn,cnetdn;~cette~poque,iln'a

维尔斯特拉斯写的

14

H.Poinear~.

pasencoredonn6saformed6finitive~sath6oriepersonnelledesfonctionselliptiques;ildevradoncplustardremettreaupointlesr6sultatsqu'ilaobtenusalors.Mais~cemomentsurvintlapublicationdum6moiredeRiemannqui