串讲05 立体几何（考点串讲）（原卷版）

串讲05立体几何知识网络二、常考题型三、知识梳理1.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．（4）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．（5）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．（6）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2.空间直线的位置关系（1）位置关系的分类（2）异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：.3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系（1）空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内a⊂α有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α（2）空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a4.空间中线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b5.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b6.直线与平面垂直（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．（2）判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．（3）推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（4）直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．7.直线和平面所成的角（1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.（3）直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.8.二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（3）二面角的范围是0°≤θ≤180°.9.平面与平面垂直（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直四、常考题型探究考点一平面的基本性质例1.能确定一个平面的条件是（

）A．一个点和一条直线B．空间三个点C．无数个点D．两条相交直线例2.下列说法中正确的是（

）A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内【变式探究】下列命题一定正确的是（

）A．三点确定一个平面 B．依次首尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面 D．两条直线确定一个平面考点二空间中直线与直线的位置关系例3.如图，在正方体中，直线与的位置关系是（

）

A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交例4.分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是．【变式探究】如果异面直线a、b所成角为α，那么α的取值范围是．考点三异面直线所成角例5.已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．例6.是边长为a正方体，与所成角的大小．【变式探究】如图，已知长方体中，，，．

(1)BC和所成的角是多少度？(2)和BC所成的角是多少度？考点四直线与平面平行例7.“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例8.已知直线l、平面，“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【变式探究】空间中有平面和直线，，若，，则下列说法中一定错误的是（

）A．直线平行于平面 B．直线在平面内C．直线与平面交于一点 D．直线和共面考点五直线与平面垂直例9.空间中有平面和直线，，若，，则下列说法中一定错误的是（

）A．直线平行于平面 B．直线在平面内C．直线与平面交于一点 D．直线和共面例10.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式探究】一条直线与一个平面的位置关系有.考点六直线与平面所成角例11.如图在正四面体中，直线OA与平面OBC所成的角为，则=（

）A． B． C． D．例12.直线与平面所成角为，则与平面内任意直线所成角的取值范围是.【变式探究】如图所示，在长方体中，直线与长方体的六个面之间的位置关系如何？考点七平面与平面平行例13.已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则例14.已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题为（

）A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则【变式探究】若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．在内 D．无法判定考点八平面与平面垂直例15.下列命题中正确的是（

）A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β例16.在如图所示的正方体中，垂直于平面的平面有.（写出两个，多写不加分，写错扣分）

【变式探究】如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线